Теорема сложения скоростей при составном движении точки.
| Формулировка теоремы и векторное уравнение | Графическое нахождение  Из векторного уравнения | Аналитическое нахождение из векторного уравнения |
Абсолютная скорость точки равна векторной сумме переносной ско-рости  точки и отно-сительной скорости  точки:  . (1) | Находим  ,  и в соответствии с уравнением (1) строим векторный параллелограмм (или треугольник).  или  Если построение выполнено в масштабе, то из чертежа находим модуль V. Можно также вычислить V, используя известные стороны и углы построенных треугольников и формулы тригонометрии (например, теорему косинусов). | Находим , ; выбираем оси координат и уравнение (1) проектируем на эти оси:  Далее находим модуль  и направление вектора  |
Теорема сложения ускорений при составном движении точки (теорема Кориолиса).
| Формулировка теоремы и вектор- ное уравнение | Графическое нахождение  из векторного урав-нения | Аналитическое нахождение из векторного уравнения | Ускорение Кориолиса |
Абсолютное ускорение  точки в случае, когда переносное движе-ние точки не по-ступательное, равно векторной сумме переносного уско-рения  точки, относительного ускорения  точки и ускорения Корио-лиса  :  . (1) В случае, когда переносное движе-ние точки – посту-пательное,  , и  . | Находим  ,  , . Выбираем мас-штаб и в соответ-ствии с уравнением (1) строим век-торный многоуголь-ник. Вектор, прове-денный из начала первого в конец последнего вектора, дает абсолютное ускорение  точки.  | Находим  ,  , . Выбираем оси ко-ординат и проекти-руем уравнение (1) на эти оси:  Далее находим модуль  и направление вектора  |  ; модуль  , где  ,  – модуль переносной угловой скорости,  – модуль относительной скорости точки. Определить направление можно двумя способами. 1) Правило векторного произведения: вектор направлен перпендикулярно плоскости перемножаемых векторов  и , в ту сторону, |
 | откуда кратчайший по-ворот от вектора к вектору выглядит происходящим против хода часовой стрелки. 2) Правило Жуковского: составляющую вектора , которая перпенди-кулярна вектору , надо повернуть на  в сторону переносного вращения – получим вектор . |
Рассмотрим два типовых примера (в примере К3а ось переносного вращения перпендикулярна пластине, в примере К3б – лежит в ее плоскости).
Пример K3a. Пластина OEAB1D (ОЕ = OD, рис. К3а) вращается вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, по закону j = f1(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К3а дуговой стрелкой). По дуге окружности радиуса R движется точка В по закону 
(положительное направление отсчета координаты s на траектории – от A к В).
 Рис. К3а. | Дано: R = 0,5 м, j = t2- 0,5t3, s = pRcos(pt/3) (j – в радианах, s – в метрах, t – в секундах). Определить: абсолютную скорость Vабс и абсолютное ускорение аабс в момент времени t1 = 2 с. |
Решение. Рассмотрим абсолютное движение точки В как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины – переносным движением (подвижные оси B1xy связаны с пластиной). Тогда абсолютная скорость 
и абсолютное ускорение 
точки найдутся по формулам:
(1)
где учтено,что
Определим все, входящие в равенства (1) величины.
1. Относительное движение (мысленно остановим пластину). Это движение задано естественным способом (см. задачу К1б). Закон движения точки по траектории:
(2)
Сначала установим, где будет находиться точка В на дуге окружности в момент времени t1. Полагая в уравнении (2) t1 = 2 с, получим
Тогда 
Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t1 = 2 с находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. К3а в этом положении (точка B1).
Теперь находим числовые значения 
где 
- радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу окружности R. Для момента времени t1 = 2с, учитывая, что R = 0,5 м, получим
(3)
Знаки показывают, что вектор 
направлен в сторону положительного отсчета координаты s, а вектор 
в противоположную сторону; вектор 
направлен к центру С окружности. Изображаем все эти векторы на рис. КЗа.
2. Переносное движение (мысленно остановим точку на пластине). Это движение (вращение) происходит по закону 
(см. задачу К2). Найдем угловую скорость w и угловое ускорение e переносного вращения:
и при t1 =2 с
(4)
Знаки указывают, что в момент t1 =2 с направления w и e противоположны направлению положительного отсчета угла j; отметим это на рис. К3а соответствующими стрелками.
Для определения 
и 
найдем сначала расстояние h1 = ОВ1 точки В1от оси вращения О. Из рисунка видно, что h1 = 
Тогда в момент времени t1 = 2 с, учитывая равенства (4) , получим
(5)
Изображаем на рис. КЗа векторы и 
с учетом направления 
и 
и вектор 
(направлен к оси вращения).
3. Ускорение Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса определяем по формуле 
где a – угол между вектором и осью вращения (вектором 
). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор . В момент времени t1= 2 с, учитывая, что в этот момент 
и 
, получим
(6)
Направление 
найдем по правилу Н.Е.Жуковского: так как вектор лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90° в направлении , т.е. по ходу часовой стрелки. Изображаем 
на рис. К3а. (Иначе направление можно найти, учитывая, что 
) Изображаем вектор на рис. К3а.
Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (1) векторов найдены и для определения 
и 
остается только сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.
4. Определение . Проведем координатные оси В1ху (см. рис. К3а) и спроектируем почленно обе части равенства 
на эти оси. Получим для момента времени t1 = 2 с:
После этого находим
Учитывая, что в данном случае угол между и равен 45°, значение можно еще определить по формуле
5. Определение . По теореме о сложении ускорений
(7)
Для определения спроектируем обе части равенства (7) на проведенные оси В1xy. Получим
Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени t1 = 2 с, найдем, что в этот момент 
Тогда 
Ответ: = 3,95 м/с, = 12,08 м/с2.
 | Пример К3б. Треугольная пластина ADE вращается вокруг оси z, совпадающей со стороной АЕ, по закону j = f1(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К3б дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка В по закону s = АВ = f2(t); положительное направление отсчета s – от A к D. Дано: j = 0,1t3 - 2,2t; s = АВ = 2 + 15t – 3t2; (j – в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Определить: абсолютную скорость и абсолютное ускорение в момент времени t1 = 2 с. |
Решение. Рассмотрим абсолютное движение точки В как сложное, считая ее движение по прямойAD относительным, а вращение пластины – переносным (подвижные оси B1xyz связаны с пластиной). Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение 
найдутся по формулам:
(1)
где учтено,что
Определим все входящие в равенство (1) величины.
1. Относительное движение (мысленно остановим пластину). Это движение задано естественным способом (см. задачу К1б). Закон движения точки по прямолинейной траектории:
s = AB = 2 + 15t – 3t2, (2)
поэтому 
, 
, так как для прямой линии 
.
В момент времени t1 = 2 с имеем
s1 = AB1 = 20 см, Vотн = 3 см/с, аотн = - 6 см/с2. (3)
Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета координаты s, а вектор 
– в противоположную сторону. Изображаем эти векторы на рис. К3б.
2. Переносное движение(мысленно остановим движение точки по пластине).Это движение (вращение) происходит по закону j = 0,1t3 - 2,2t.
Найдем угловую скорость w и угловое ускорение e переносного вращения (см. задачу К2): w = 
= 0,3t2- 2,2; e = 
= 0,6t и при t1 = 2 с,
w = -1 с-1 , e = 1,2 с-2. (4)
Знаки указывают, что в момент t1= 2 с направление e совпадает с направлением положительного отсчета угла j, а направление w ему противоположно; отметим это на рис. К3б соответствующими дуговыми стрелками.
Из рисунка находим расстояние h1 от точки B1 до оси вращения z:
h1 = АВ1 sin 30° = 10 см. Тогда в момент t1 = 2 с, учитывая равенства (4), получим
(5)
Изобразим на рис. К3б векторы и (с учетом знаков w и e) и ; направлены векторы и перпендикулярно плоскости ADE, а вектор – по линии В1С к оси вращения.
3. Ускорение Кориолиса. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 30°, то в момент времени t1 = 2 с
(6)
Направление найдем по правилу Н.Е. Жуковского. Для этого вектор спроектируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору ) и затем эту проекцию повернем на 90° в сторону , т. е. по ходу часовой стрелки; получим направление вектора . Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как вектор (см. рис. К3б).
4. Определение . Так как , а векторы и взаимно перпендикулярны, то 
; в момент времени t1 = 2 с = 10,44 см/с.
5. Определениеаабс. По теореме о сложении ускорений
(7)
Для определения проведем координатные оси В1xyz1ивычислим проекции 
на эти оси. Учтем при этом, что векторы 
и лежат на оси х, а векторы 
расположены в плоскости В1yz1, т.е. в плоскости пластины. Тогда, проектируя обе части равенства (7) на координатные оси В1хyz1 и учитывая одновременно равенства (3), (5), (6), получим для момента времени t1 = 2с:
Отсюда находим значение : 
Ответ: Vабс = 10,44 см/с, аабс = 16,64 см/с2.