Основные сведения из теории операторов

Из опытов по дифракции и интерференции электронов, а особенно по интерференции одиночных электронов (опыт Юнга), следует, что даже один электрон способен создать интерференционную картину, то есть интерферирует сам с собой. Таким образом, электрон может в одно и то же время находиться в двух различных точках пространства. Очевидно, что понятие траектории для микрочастицы не определено; можно лишь говорить о вероятности нахождения частицы в данный момент времени в данной точке пространства. Одна из основных задач квантовой механики состоит в определении вероятности получения того или иного значения динамических переменных, характеризующих частицу или квантовую систему. Причём в квантовой физике не только координаты и скорости, но и другие физические величины не могут иметь определённые значения. Поэтому говорят лишь о вероятности системы иметь то или иное значение величины её характеризующей: энергии, импульса, координаты и т. д. В связи с эти в квантовой физике физическая величина характеризуется её не численным значением, а оператором, который эта физическая величина представляет. Оператором называют правило, по которому любой функции из некоторого пространства сопоставляется другая функция из этого же пространства, то есть Ău=v. Операторы, используемые в квантовой механике, всегда линейные. Оператор Ă называется линейным, если для произвольных функций u и v, и произвольных постоянных α и β выполнено равенство: Ă(αu+βv)=αĂu+βĂv.

Операторы Ĉ,Ĉ₁,Ĉ₂ называют суммой, разностью и произведением операторов Ă и соответственно, если справедливы равенства: Ĉu=Ău+ u,Ĉ₁u=Ău- u,Ĉ₂u=Ă( u).

При этом произведение операторов в общем случае не коммутативно. Это значит, что Ă ≠Ă . Если же Ă =Ă ., то такие операторы называются коммутирующими. Если Ă =-Ă ., то такие операторы называются антикоммутирующими. Запись Ă -Ă =[Ă, ] называется коммутатором операторов Ă и . Запись Ă + =[Ă, ] называется антикоммутатором операторов Ă и . Если результатом действия оператора Ă на функцию u является функция u, умноженная на некоторое число λ, то это число называют собственным значением оператора Ă, а функцию u – собственной функцией оператора, соответствующей этому собственному значению: Ă u= λ u. Причём, собственные функции в квантовой механике должны удовлетворять свойствам конечности, непрерывности, однозначности и гладкости. Совокупность собственных значений оператора называется его спектром. Спектр оператора может быть как дискретным, так и непрерывным. Причём, возможны случаи, часть спектра дискретна, а часть непрерывна. Возможны также случаи, когда одному собственному значению соответствует несколько собственных функций. Такое собственное значение называют вырожденным. Помимо линейности, на квантово-механические операторы накладывается требование самосопряжённости. Оператор Ă называется самосопряжённым или эрмитовым,если для произвольных функций u и v справедливо равенство: ∫_vu^*ĂvdV=∫_vvĂ^*u^*dV. Это требование обусловлено тем, что собственными значениями самосопряжённых операторов являются действительные числа. Собственные значения, как-либо описывающие физическую величину, измеряются в эксперименте. Вообще говоря, физическую величину можно измерить, если её оператор эрмитовый.

Теорема 1. Собственные функции линейного эрмитового оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, то есть ∫_vu_n^*u_mdV=0, если λ_m≠λ_n и m≠n.

Док-во: Запишем по определению собственного значения: Ă^*u_n^*=λ_nu_n^* и Ău_m=λ_mu_m (1). Из условия самосопряжённости мы можем записать: ∫_vu_n^*Ău_mdV=∫_vu_mĂ^*u_n^*dV. Теперь, подставляя сюда формулы (1), получим: ∫_vu_n^*λ_mu_mdV=∫_vu_mλ_nu_n^*dV. Так как λ_m и λ_n – константы, то мы можем вынести их за знак интеграла. Перенося интеграл в левую часть, получим: λ_m∫_vu_n^*u_mdV-λ_n∫_vu_mu_n^*dV=0, (λ_m -λ_n) ∫_vu_mu_n^*dV=0. По условию λ_m≠λ_n, поэтому, ∫_vu_mu_n^*dV=0.

Так как собственная функция определяется лишь с точностью до произвольного множителя, то этот множитель можно выбрать так, чтобы функции были ортонормированными: ∫_vu_mu_n^*dV=δ_nm, где δ_nm – символ Кронекера.