Уравнения Максвелла в комплексной форме

Если Н и Е изменяются во времени синусоидально, то можно воспользоваться символическим методом и записать в иной форме.

Пусть Н= и .

Можно записать (Im – мнимая часть) или, условно, ( значок соответствия), где комплексная амплитуда . В свою очередь .

Так как напряженности Е и Н, кроме того, что они меняются во времени по синусоидальному закону, являются функциями векторными, то есть определенным образом ориентированными в пространстве векторами, то над ними ставят стрелку и точку: и . Стрелка означает, что речь идет о векторе в пространстве, а точка – о том, что проекции этого вектора на любую из координатных осей во времени изменяются синусоидально.

Тогда можно заменить на , а

– на и

– на .

как постоянную величину, не зависящую от координат, можно вынести за знак ротора). При этом первое уравнение Максвелла запишем так:

.

После сокращения на получим

.

(45.1)

Аналогично, второе уравнение Максвелла в комплексной форме

.

(45.2)

2. Теорема Умова – Пойнтинга для мгновенных значений

Теорема Умова – Пойнтинга описывает энергетические соотношения в поле. Она связывает изменение энергии в каком-либо объеме с потоком ее через поверхность, ограничивающую этот объем.

Известно, что энергия электрического поля в единице объема равна Энергия магнитного поля в единице объема – Суммарная энергия электромагнитного поля в объеме V

(45.3)

Она непрерывно изменяется во времени.

Изменение (увеличение) энергии в указанном объеме

Запишем уравнения Максвелла для среды с и

Из этих уравнений найдем:

Тогда изменение энергии электромагнитного поля можно выразить следующим образом:

Из курса векторного анализа известно, что

Следовательно,

Обозначим векторное произведение

Его называют вектором Пойнтинга.

Величина П измеряется в ваттах на квадратный метр (вт/м²).

По теореме Остроградского

и, следовательно,

(45.4)

Полученное выражение носит название теоремы Умова – Пойнтинга: поток вектора Пойнтинга, входящий в замкнутую поверхность S, равен сумме двух мощностей, одна из которых является мощностью тепловых потерь внутри объема V, ограниченного поверхностью S, а другая соответствует изменению энергии электромагнитного поля в том же объеме.

Мощность тепловых потерь р_тепл всегда положительна. Мощность р_эм, соответствующая изменению энергии электромагнитного поля, может быть и положительной и отрицательной. Если она положительна, то электромагнитная энергия внутри объема V увеличивается.

Положительная нормаль к замкнутой поверхности и вектор направлены в наружную сторону. Поэтому, для того, чтобы поток вектора , входящий через поверхность S, был положительным, вектор должен быть преимущественно направлен внутрь объема V.

При выводе теоремы Умова – Пойнтинга мы предполагали, что в объеме, ограниченном замкнутой поверхностью S, нет источников энергии. Если в объеме V такие источники имеются, причем мгновенная мощность источников равна р_ист, то теорему необходимо записать следующим образом:

Мощность источников в объеме V равна сумме мощностей: тепловых потерь, мощности изменения энергии электромагнитного поля в объеме V и мощности энергии, выходящей через граничную поверхность S рассматриваемого объема.

3. Теорема Умова – Пойнтинга в комплексной форме