Приклади розв’язування задач. Задача 13. Знаючи постійну розпаду l ядра, визначити імо­вірність Р того, що ядро розпадеться за проміжок часу від 0 до t.

Задача 13. Знаючи постійну розпаду l ядра, визначити імо­вірність Р того, що ядро розпадеться за проміжок часу від 0 до t.

Розв'язання

З’ясуємо, що потрібно розуміти під шуканою імо­вірністю Р. Процес радіоактивного розпаду має статистичний ха­рактер: при багатократних дослідах за проміжок часу від 0 до t розпадеться щоразу одна і та ж частина ядер , яка характе­ризує відносну частоту події розпаду ядер і приймається за імовірність Р розпаду ядра впродовж даного проміжку часу. Отже,

,

де N – число ядер, які не розпалися до моменту t. Підставивши в цю рівність замість N його значення за законом радіоактивного розпаду

,

одержимо

.

Задача 14. Визначити скільки ядер радіоізотопу церію розпадається впродовж проміжків часу: 1) Dt₁ = 1 c; 2) Dt₂ = 1 рік в препараті масою m₀ = 1,0 мг. Період напіврозпаду церію Т = 285 діб.

Розв'язання

Використаємо закон радіоактивного розпаду.

1) Dt₁ = 1 c, тобто Dt₁ << T і можна вважати, що впродовж всього проміжку часу Dt₁ кількість ядер, що не розпались, залишається практично постійною і рівною їх початковому числу N₀. У цьому випадку для знаходження кількості DN ядер, що розпались, застосуємо закон радіоактивного розпаду в формі

,

або, враховуючи, що

,

одержимо

.

Для обчислення початкової кількості ядер N₀, визначимо кіль­кість молів n церію, що містяться в даному препараті, і помножимо його на число Авогадро N_A :

, (1)

де m₀ – початкова маса препарату, m – молярна маса ізотопу церію, чисельно рівна його масовому числу. З врахуванням попереднього співвідношення (1)

.

Обчисливши, одержимо

DN = 1,2×10¹¹ .

2) Dt₂ = 1 рік; тут величини Dt₂ i одного порядку і ди­ференціальна форма закону радіоактивного розпаду в цьому випадку не може бути застосована. Потрібно скористатися інтегральною формою закону:

,

або, враховуючи, що і співвідношення (1), одержимо

.

Оскільки 2, то рівняння набуде вигляду

= 2,5×10¹⁸ .

Задача 15. Визначити початкову активність А₀ радіоактивного магнію масою m = 0,2 мкг, а також його активність А через проміжок часу
t = 1 година. Припускається, що всі атоми ізотопу радіоактивні.

Розв’язання

Початкова активність ізотопу

, (1)

де l – постійна радіоактивного розпаду, N₀ – кількість атомів ізо­топу в початковий момент часу (t = 0).

Якщо врахувати, що , , то формула (1) набуває вигляду

5,15×10¹² Бк.

Активність ізотопу зменшується з часом за законом

. (2)

Підставивши в формулу (2) співвідношення для l через період напіврозпаду Т, одержимо:

.

Оскільки e^ln2 = 2, то

= 8,05×10¹⁰ Бк.

§5. Дефект маси і енергія зв'язку

атомного ядра. Ядерні реакції

Основні формули

Дефект маси атомного ядра:

де Z – зарядове число (число протонів у ядрі), N і А–Z – число нейтронів (A – масове число), m_р і m_n – маси протона і нейтрона відповідно; m_я – маса ядра.

Цю ж формулу можна подати у вигляді, який на практиці для розв'язування задач використовується частіше:

, (6.26)

де – маса атома водню, m_а – маса атома.

Енергія зв'язку ядра:

E_зв= с²D m, (6.27)

де D m – дефект маси, с – швидкість світла у вакуумі;

с² = 8,987×10¹⁶ Дж/кг = 8,987×10¹⁶ м² /с² .

Якщо енергія виражена у мегаелектронвольтах, а маса – в атомних одиницях маси, то c² = 931 МеВ/а.о.м.

Питома енергія зв'язку (енергія зв'язку на нуклон):

E_пит = E_зв/ A . (6.28)

В ядерних реакціях виконуються закони збереження:

а) числа нуклонів: А₁ + А₂ = А₃ + А₄ ;

б) заряду: Z₁ + Z₂ = Z₃ + Z₄ ;

в) релятивістської повної енергії: Е₁ + Е₂ = Е₃ + Е₄ ;

г) імпульсу: р₁ + р₂ = р₃ + р₄ .

Енергія ядерної реакції:

Q = с² [(m₁ + m₂ ) – (m₃ + m₄ )] = с² Dm', (6.29)

де m₁і m₂ – маси спокою ядра-мішені та бомбардуючої частинки; m₃і m₄ – маси спокою ядер продуктів реакції; Dm' – різниця мас продуктів реакції.

Якщо m₁+ m₂ > m₃+ m₄, то енергія вивільнюється, енергетичний ефект реакції додатній, реакція ендотермічна. Якщо m₁+ m₂ < m₃+ m₄, енергія поглинається, енергетичний ефект від'ємний, реакція екзотермічна.