Импульсная характеристика оптимального фильтра

Отклик любого фильтра на входное воздействие f(t) описываетcя интегралом свертки или интегралом Дюамеля

,

где v(t) - импульсная характеристика фильтра, представляющая собой его отклик на дельта-функцию

, .

Для определения импульсной характеристики оптимального фильтра v₀(t) приравняем с точностью до сомножителя К его отклик на сигнал в момент t = t_r + t₀ (t₀ - постоянная задержка в фильтре) значению корреляционного интеграла для ожидаемого сигнала с запаздыванием t_r и доплеровским сдвигом Ω_дс :

,

откуда

или заменяя t_r + t₀ - τ =t , получим

.

Таким образом, импульсная характеристика оптимального фильтра с точностью до сомножителя К есть зеркальное отображение сигнала относительно момента времени t = t₀/2 с учетом доплеровского смещения частоты принятого сигнала:

.

Импульсная характеристика оптимального фильтра для ЛЧМ сигнала показана на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Импульсная характеристика оптимального фильтра для ЛЧМ сигнала. Пояснение минимальной задержки в фильтре.

Минимально возможное значение задержки в фильтре t₀ следует из условия физической реализуемости фильтра, согласно которому импульсная характеристика фильтра при отрицательных значениях аргумента равна нулю:

v(t) = 0 , t < 0 .

Поэтому, как видно из рис. 5.1, минимально возможное значение задержки в фильтре определяется длительностью сигнала

t_0min = T₀.

5.2. Отклик оптимального фильтра на принятый сигнал.
Сжатие сигнала во времени.

В ответ на принятый сигнал

на выходе фильтра формируется отклик, который аналитически представляется следующим образом:

Таким образом, на выходе оптимального фильтра формируется радиоимпульс (рис. 5.2), форма которого определяется корреляционной функцией сигнала С₀(τ) , а его положение во времени относительно принятого сигнала характеризуется задержкой в фильтре t₀ , минимальное значение которой равно длительности Т₀.

Действитель­но, после поступления сигнала на вход максимум отклика может быть достигнут за счет энергии всего сигнала только в конце его длительности. Сигнал на выходе оптимального фильтра оказывается сжатым во времени. Его длительность обратно пропорциональна ширине спектра сигнала Δτ = 1 / Δf₀, а коэффициент временного сжатия определяется базой сигнала:

.

Таким образом, эффект временного сжатия сигнала на выходе оптимального фильтра относится лишь к сложным сигналам (Т₀ · Δf₀ >> 1).

Простые сигналы эффекту сжатия не подвержены.

Рис. 5.2. Отклик нормального фильтра на принятый ЛЧМ сигнал.

Заметим, что фильтр обладает свойством инвариантности ко времени запаздывания: на любой принятый сигнал на выходе фильтра формируется отклик, положение которого; определяется временем запаздывания принятого сигнала t_r относительно излученного (зондирующего). Свойство инвариантности фильтра ко времени запаздывания эквивалентно многоканальности устройства обработки по дальности. Для сравнений напомним, что просмотр элементов разрешения по дальности при корреляционной обработке предполагает наличие многоканального обнаружителя (параллельный или одновременный просмотр) или перестройку опорного сигнала по времени запаздывания (последовательный просмотр).

Длительность отклика оптимального фильтра на принятый сигнал Δτ определяет разрешающую способность РТС по времени запаздывания (Δt_r = Δτ = 1/Δf₀).