Изучение магнитного поля соленоида

С ПОМОЩЬЮ ДАТЧИКА ХОЛЛА

Цель работы. Знакомство с принципом действия датчика Холла и использование его для измерения магнитной индукции вдоль оси соленоида.

Введение

Соленоид, представляющий собой пустотелый цилиндр с нанесенной на него обмоткой, широко используется в технике и, в частности, может служить для создания в определенном объеме однородного поля или быть использован для компенсации внешних магнитных полей. Соленоиды применяются, в основном, в тех случаях, когда необходимо создать достаточно интенсивное поле, а размеры устройства, создающего это поле, ограничены,

Получим с помощью закона Био-Савара-Лапласа выражения для индукции магнитного поля на оси кругового тока и оси соленоида. Предположим, что виток круглый и можно пренебречь поперечным сечением провода. Для этих условий вектор индукции магнитного поля в вакууме будет равен

, (1)

где – элемент проводника с током;

– единичный вектор, направленный от элемента dl к исследуемой точке М;

r – длина отрезка, соединяющего элемент контура dl с точкой М (рис. 1).

Интегрирование ведется по замкнутой линии тока, создающего магнитное поле, В точках, лежащих на оси кругового тока, вектор индукции по условиям симметрии направлен вдоль этой оси, и поэтому достаточно просуммировать проекции на ось векторов индукций от каждого элемента . Поскольку элемент составляет с вектором прямой угол, то

|[ , ]| = dl.

Кроме того, как видно из рис. 1,

r² = R² + x₀²,

sinq₀ = ,

причем как угол q₀, так и расстояние r до точки М одинаковы для всех элементов длины кольца.

Проекция на ось X индукции dB_X, создаваемой отдельным элементом длины,

dB_X = ,

поэтому сумма этих проекций будет определяться выражением

(2)

Выражение (2) позволяет определить индукцию магнитного поля на оси цилиндрической катушки (соленоида) с равномерно распределенными витками. Действительно индукция магнитного поля в точке М (рис. 2), лежащей на оси соленоида, направлена вдоль этой оси и равна сумме индукций магнитного поля, создаваемых в точке М всеми витками. Если w – число витков, приходящееся на единицу длины соленоида, то на малый участок длины dх приходится wdх витков, создающих в точке М поле, индукция которого

dB_X = w×dх. (3)

Как следует из рис. 2,

r = x = R×ctgq,

откуда

dx = -R .

С учетом этих соотношений получим

dB_X = -m₀ sinqdq.

Приведя интегрирование по всем значениям q, получим

B_X = - = m₀ (cosq₂ - cosq₁), (4)

где

cosq₁ = - , cosq₂ = .

Пока точка наблюдения находится внутри соленоида и не слишком близко к его краям, магнитное поле остается приблизительно однородным. Нетрудно заметить, что максимальная величина магнитной индукции будет в центре соленоида при х₀ = 0.

Если длина соленоида во много раз больше его радиуса (L >> R), то соленоид можно считать бесконечно длинным. Для точек, расположенных на оси такого соленоида и достаточно удаленных от его концов, q₁ » p и q₂ = 0, и, следовательно, индукция магнитного поля в вакууме будет

B = m₀wI. (5)

Так как магнитная проницаемость воздуха приблизительно равна единице (m » 1), можно считать верной эту формулу и для расчета В в воздухе.

Для изучения распределения индукции магнитного поля по длине соленоида в данной работе применяются полупроводниковые элементы, использующие эффект Холла – явление, заключающееся в возникновении э. д. с. при воздействии магнитного поля на ток, протекающий через полупроводник.

Получим выражение для э. д. с. Холла в полупроводнике. Выберем направление вектора и тока I_X, как указано на рис. 3. Тогда силу Лоренца , которая действует на носители тока в полупроводнике n-типа, движущиеся в магнитном поле, можно записать в виде

= - e[ , ], (6)

где – средняя скорость носителей тока в направлении линии тока.

Под влиянием этой силы электроны отклоняются к верхней грани пластины. В результате того, что у нижней грани образуется недостаток электронов, а у верхней избыток: в пластине возникает поперечное электрическое поле с напряженностью , направленное для выбранных направлений тока и вектора снизу вверх. Сила е , действующая на электрон, направлена в сторону, противоположную направлению силы Лоренца . В случае равновесного процесса протекания тока по полупроводнику эти силы уравновешиваются, то есть (в проекциях на ось Y)

еЕ = еuB; (7)

E = uB.

Если пластина М достаточно длинная и широкая, то поперечное электрическое поле можно считать однородным. Тогда разность потенциалов U_Y между точками А и О равна

U_Y = -Ec = -uBc. (8)

Ток в пластине I_X обусловлен упорядоченным движением электронов. Если число их в единице объема пластинки равно п₀, а их средняя скорость в направлении линии тока равна u, то силу тока I_X можно выразить с помощью формулы

I_X = eu п₀S = eu п₀ac, (9)

где S = ас –площадь поперечного сечения пластинки.

Заменив в формуле (9) u из соотношения (8), получим

. (10)

Константа R_X в выражении (10) называется коэффициентом Холла. Она имеет размерность [м³/A×с]. Как видно, коэффициент Холла определяется концентрацией и знаком носителей тока в полупроводнике.

Из формулы (10) следует, что разность потенциалов, возникающая при прохождении тока через полупроводник, помещенный в магнитное поле, пропорциональна индукции магнитного поля при постоянной силе тока через датчик.

Это явление в настоящее время широко используется для измерения магнитной индукции. Действительно, измерив силу тока в полупроводнике и э. д. с. Холла, можно рассчитать значение магнитной индукции поля, в котором находится полупроводник, по формуле

B = . (11)