Изучение магнитного поля соленоида с помощью датчика Холла

Цель работы: познакомиться с холловским методом измерения индукции магнитного поля, измерить индукцию магнитного поля на оси соленоида.

Теоретическое введение

В пространстве, окружающем проводники с током или движущиеся заряды, возникает магнитное поле, которое можно обнаружить по воздействию его на другой проводник с током или магнитную стрелку. Магнитное поле в каждой точке пространства количественно может быть описано с помощью вектора напряженности магнитного поля или с помощью вектора индукции магнитного поля . Векторы и связаны соотношением:

, (14.1)

где Гн/м – магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость вещества, показывающая, во сколько раз магнитная индукция в веществе больше, чем в вакууме. Для вакуума μ=1.

Вектор напряженности характеризует только поле макротоков (проводимости или конвекционных), а вектор магнитной индукции – результирующее поле и макро-, и микротоков в веществе, возникших в результате намагничивания магнетика.

Для вычисления напряженности и индукции магнитного поля ис­пользуют закон Био-Савара-Лапласа, согласно которому элементар­ная напряженность магнитного поля , создаваемая элементом про­водника с током в некоторой точке пространства на расстоянии , определяется выражением:

. (14.2)

Для нахождения результирующей напряженности, создаваемой проводником конечных размеров, надо воспользоваться принципом суперпозиции: напряженность магнитного поля, созданного проводником конечных размеров, равна векторной сумме элементарных напряженностей магнитных полей, созданных каждым элементом тока в отдельности, то есть интегралу по контуру с током:

. (14.3)

Применим формулы (14.2) и (14.3) для вычисления напряженности магнитного поля на оси соленоида. Каждый виток соленоида – это круговой ток, поэтому первоначально вычислим напряженность поля на оси кругового витка с током (рис. 14.1).

Элементарная напряженность поля, созданного в точке А элементом тока , направлена по правилу буравчика перпендикулярно радиус-вектору , проведенному от элемента тока в точку А (рис.14.1), а ее модуль можно найти из (14.1):

, (14.4)

где α=90⁰ – угол между векторами и . Разложим на две составляющих: – вдоль оси контура (ОХ) и – перпендикулярную оси ОХ, тогда

, . (14.5)

При сложении составляющих магнитного поля , перпендикулярных оси ОА, они компенсируют друг друга вследствие симметрии контура. Поэтому результирующая напряженность магнитного поля в точке А направлена вдоль оси кругового тока и равна по модулю:

(14.6)

Здесь учтено, что величины I, r, β постоянны, а интеграл по контуру равен длине окружности контура. Из рис.14.1 найдем , тогда:

, (14.7)

или:

. (14.8)

Перейдем теперь к вычислению поля соленоида, изображенного на рис. 14.2. Пусть на единицу длины соленоида приходится витков, тогда на участке будет витков, которые в точке О солено­ида согласно (14.7) создадут напряженность

(14.9)

На рис. 14.3 отдельно изображены элемент , радиус-вектор и углы θ и dθ. Из геометрических построений рис. 14.2 и 14.3 следует:

, (14.10)

Рис. 14.2 Рис. 14.3

Подставляем (14.10) в (14.9) и интегрируем в пределах от θ₁ до θ₂:

(14.11)

В случае бесконечного соленоида θ₁=0, θ₂=π, и тогда

. (14.12)

Методика измерений

Для экспериментального исследования напряженности магнитного поля на оси соленоида в настоящей работе используется метод, осно­ваний на явлении Холла. Если через проводящую пластинку поперечным сечением пропустить ток силой I и плотностью и поместить ее в поперечное магнитное поле с индукцией , то перпендикулярно векторам и создается электрическое поле напряженностью (рис. 14.4).

А

I

ΔφХ

d

C

		Рис. 14.4

Возникающая при этом разность потенциалов (ЭДС Холла) пропорциональна величине тока и индукции магнитного поля:

, (14.13)

где – сила тока, протекающего по пластинке. (Подробнее вывод формулы (14.13) см. в лабораторной работе 2-15.)

Коэффициент пропорциональности называется постоянной Холла. В работе используется полупроводниковый датчик Холла марки X50I с управляющим током мА, поскольку постоянная Холла для полу­проводников значительно больше, чем для проводников.

Силовые линии магнитного поля на оси соленоида направлены вдоль оси, поэтому датчик Холла располагается на торце спе­циального штока, вставляемого в соленоид. Толщина датчика d в на­правлении магнитного поля равна 0.2 мм. Для измерения положения датчика внутри соленоида на боковой грани штока нанесена миллимет­ровая шкала.

При отсутствии магнитного поля ЭДС Холла должна быть равна нулю. Однако вследствие различных побочных явлений, например, недо­статочно точной установки выходных электродов датчика (точки А и С рис.14.4), измеритель­ный прибор может показать некоторую разность потенциалов даже при отсутствии тока в соленоиде. Для исключения погрешностей измерения проводят дважды при двух противоположных направлениях тока в соле­ноиде. Тогда . Однако в данной работе изменение направления тока в соленоиде не предусмотрено. Поэтому погрешность в определении указана на модуле ФПЭ-04.

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: источник питания ИП, цифровой вольтметр PV, модуль ФПЭ-04, соленоид С, шток с нанесенной шкалой и закрепленным на торце датчи­ком Холла Ш (рис.14.5 и 14.6).

Порядок выполнения работы

Задание 1. Определение зависимости магнитной индукции в сред­ней точке на оси соленоида и тарировка датчика Холла.

1. Проверить схему, изображенную на рис. 14.5 и 14.6.

2. Поставить шток с датчиком Холла в среднее положение на оси соленоида ("0" по шкале).

3. Включить источник питания и цифровой вольтметр в сеть 220 В. Измерить ЭДС Холла в центре соленоида для токов 1.0; 1.5; 2.0 (А), при этом из измеренного значения необходимо вычесть поправку , Данные занести в таблицу 14.1.

Таблица 14.1

№	Ток соленоида IС, А	ЭДС датчика Холла , мВ	Индукция , .10-3 Тл	Постоянная Холла , .10-3 м3 /Кл	, м3 /Кл
Без поправки	С поправкой
	1.0
	1.5
	2.0
Средн.	–	–	–	–

4. Вычислить индукцию магнитного поля для заданных значений силы тока I по формулам (14.1а) и (14.12а):

; (14.1а)

, (14.12а)

где l=0.2 м – длина катушки, , N=150 – число витков. Данные занести в табли­цу 14.1.

5. Вычислить значения постоянной Холла для каждого измере­ния по формуле (14.13а), полученной из (14.13), где , d=0.2 мм; данные занести в таблицу. Найти среднее зна­чение , вычислить его погрешность.

. (14.13а)

Задание 2. Исследование зависимости индукции магнитного поля от координаты z, отсчитываемой от средней точки.

1. Установить величину тока в катушке соленоида 1.5 А.

2. Перемещая шток с датчиком Холла вдоль оси соленоида с ин­тервалом 1 см, измерять ЭДС Холла. Полученные данные за­носить в таблицу 14.2.

3. Вычислить индукцию поля В для каждого положения датчика Холла по формуле (4.14б), полученной из (14.14):

. (14.13б)

При расчете использовать среднее значение , полученное в задании 1. Данные занести в табл. 14.2.

Таблица 14.2

Положение датчика , мм	ЭДС датчика Холла , мВ	Индукция , .10-3 Тл	ΔВ, .10-3 Тл
Без поправки	С поправкой
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10

4. Построить график зависимости по данным табл. 14.2.

5. Для одного из полученных значений B рассчитать абсолютную и относительную погрешности измерения.

6. Сделать выводы.

Контрольные вопросы

1. Как связаны между собой напряженность и индукция магнитного поля? Что они характеризуют?

2. Сформулируйте закон Био-Савара-Лапласа.

3. Сформулируйте принцип суперпозиции.

4. Пользуясь законом Био-Савара-Лапласа, дайте вывод формулы для индукции магнитного поля на оси кругового витка с током.

5. Пользуясь законом Био-Савара-Лапласа, получите формулу для индукции магнитного поля на оси соленоида конечной длины. Выведите из нее формулу для магнитного поля бесконечного соленоида.

6. Сформулируйте теорему о циркуляции вектора магнитной индукции.

7. Пользуясь теоремой о циркуляции, дайте вывод формулы для индукции магнитного поля бесконечного соленоида.

8. В чем заключается эффект Холла? Чем он объясняется?

9. Дайте вывод формулы для ЭДС Холла.

Используемая литература

[1] §§ 22.1, 22.2, 23.2;

[2] §§ 14.5, 15.2, 15.4, 15.5;

[3] §§ 2.37, 2.38;

[4] т.2, §§ 42, 43, 47, 50, 79;

[5] §§ 114, 117, 119.

Лабораторная работа 2-15

Изучение эффекта Холла в полупроводнике

Цель работы: определение постоянной Холла (R), концентрации (n), знака носителей заряда в полупроводнике и их подвижности (u).

Теоретическое введение

Эффект Холла (1879 г.) – это возникновение в полупроводнике (или металле) с током плотностью , помещенном в перпендикулярное току магнитное поле , электрического поля в направлении, перпендикулярном и . То есть, если металлическую или полупроводниковую пластинку, по которой течет ток I, поместить в перпендикулярное току магнитное поле , то между гранями пластинки, параллельными и полю , и току I, возникает Холловская разность потенциалов U_х.

Поместим полупроводниковую пластинку с током плотностью в магнитное поле , перпендикулярное (рис.15.1). Скорость носителей тока (электронов) направлена противоположно плотности тока . Электроны испытывают действие силы Лоренца

, (15.1)

величина которой равна:

, (15.1а)

так как угол α между скоростью и магнитной индукцией равен 90⁰.

Распределение зарядов в пластинке определяется по правилу левой руки. Если ладонь левой руки расположить так, чтобы вытянутые пальцы были направлены по направлению вектора плотности тока, а вектор входил в ладонь, то отогнутый большой палец укажет направление силы Лоренца. В данном случае сила Лоренца направлена вверх (рис.15.1).

А

UХ

d

C

	Рис. 15.1. Возникновение поперечной (холловской) разности потенциалов (на нижней грани – «+», на верхней – «–» ).

Таким образом, на верхней грани пластинки возникнет повышенная концентрация электронов (она зарядится отрицательно), а на нижней грани – их недостаток (зарядится положительно). В результате этого между горизонтальными гранями пластинки (верхней и нижней) возникнет дополнительное поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх. Когда напряженность E_B этого поперечного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды будет уравновешивать силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Тогда F_л=F_эл, или . За счет возникшего поперечного электрического поля между верхней и нижней гранями возникает Холловская разность потенциалов. Так как разность потенциалов и напряжённость электрического поля связаны соотношением , то

U_х=hE_B=hvB, (15.2)

где h – высота пластинки.

Учитывая, что плотность тока

j=qnv, (15.3)

где n – концентрация зарядов, а сила тока через образец I=jS, где S=hd – площадь сечения пластинки, получим для скорости: v=j/(qn)=I/(hdqn). С учетом (15.2) Холловская разность потенциалов:

, (15.4)

где

(15.5)

носит название постоянной Холла. Поэтому

, (15.6)

где I - ток через образец, d=3^.10^-4м – толщина пластинки.

По закону Ома в дифференциальной форме плотность тока j прямо пропорциональна напряженности электрического поля E:

j=gE,

где g - удельная электропроводимость. С учетом (15.3):

g=qnu, (15.7)

где u=v/E – подвижность зарядов, численно равная средней скорости направленного движения зарядов в электрическом поле с напряженностью, равной 1 В/м. Зная удельную электропроводимость образца (g=0.13(Ом^.м)^-1), полагая q=е (заряд электрона), вычислим из экспериментальных данных постоянную Холла по формуле (15.6) и рассчитаем величину подвижности:

u=g/(en)=gR_Х. (15.8)

Итак, по измеренному экспериментально значению постоянной Холла можно:

1) определить концентрацию носителей тока в проводнике (при известных характере проводимости и заряде носителей);

2) судить о природе проводимости полупроводников, так как знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда носителей тока.