Скалярное и векторное произведения векторов.
Рассматриваемые в механике величины можно разделить на скалярные, т.е. такие, которые полностью характеризуются их числовым значением, и векторные, т.е. такие, которые помимо числового значения характеризуются ещё и направлением в пространстве.
Скалярным произведением нулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
На плоскости: = ax * bx + ay * by
В пространстве: = ax * bx + ay * by + az * bz
Векторная сумма двух векторов:
Постоим вектор с, который назовём векторным произведением двух векторов .
(1)
Как построить вектор С?
Важно для вектора указать его направление и длину.
1) Положительное направление вектора Ссовпадает с направлением острия буравчика, если его рукоятку вращать от .
2) Вектор Сперпендикулярен плоскости, образованной векторами .
3) Длина вектора С.
С = a * b * sinα (2)
α = 90°
c = a*b
Эти векторы безразмеры и равны 0 :
Пример:
n⃑x = n⃑y * n⃑z
n⃑z = n⃑x * n⃑y
n⃑y = n⃑x * n⃑z
Векторное произведение зависит от порядка множителя!
Момент импульса и момент силы для материальной точки.
▼ Момент импульса характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.
▼ Моментом импульса МТ относительно точки О называется вектор, определяемый следующим образом:
(1)– момент импульса
т.е. момент импульса МТ равен векторному произведению радиуса вектора МТ на вектор импульса.
[ ]=LMLT=L2MT-1 = м2·кг·с−1
Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — псевдоскаляр.
Момент импульса замкнутой системы сохраняется.
Пример: машина одновременно тормозим, и поворачивает влево.
M1 + M2 – M3 – M4 = 0
M2 < M1 , M3 , M4
Момент силы мы определим с помощью векторного произведения.
▼ Момент силы действует на МТ М, относительно точки О, называется вектор, определённый следующим образом:
(2)– момент сил
Рассмотрим ∆OAM:
∟OAM = 90°
h –плечо
Уравнение движения для момента импульса.
Уравнение движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:
Зная, что получим:
Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.
Продифференцируем уравнение (1) по времени: т.е.
Это выражение — уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.
Законы изменения и сохранения момента импульса.