Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов

Определение 1

Число, равное произведению длин двух векторов на косинус угла между ними называется скалярным произведением этих векторов. Для векторов и их скалярное произведение обозначается ( ,), или . .

Таким образом, по определению

. = | |.| |cos .

Скалярное произведение обладаетсвойствами:

1. . = . ;

2. .( +`с) = . + ;

3. . = | |² = ² – скалярный квадрат; отсюда ;

4. l . = (l ). = .(l );

5. . = 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой, либо когда векторы и ортогональны;

6. . Пользуясь этим свойством, получим

.

Заметим, что для ортонормированного базиса {`i,`j,`k } пространства V³ справедливы следующие соотношения

,

.

Пусть в ДПСК, порожденной репером [O,`i,`j,`k], заданы два вектора

и .

Используя перечисленные свойства скалярного произведения, получим для этих векторов:

. = . =

+ =

= .

Таким образом, если векторы заданы своими координатами в ДПСК, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

. = .

Пользуясь этим правилом, можно записать в координатной форме

| | = ( . ) = ,

= .

Учитывая эти формулы и следствие из свойства 6, находим:

,

т.е. в ДПСК координаты вектора равны его проекциям на соответствующие оси координат.

Для направляющих косинусов вектора `а имеем

,

,

.

Рассмотрим орт `а<sup>о</sup> вектора `а. Учитывая координаты вектора `а, находим

`а^о = .

Следовательно, направляющие косинусы вектора равны координатам его орта и наоборот, т.е. можно записать `а^о = (cosa, cosb, cosg).

Определение 2

Упорядоченная тройка векторов `а,`b,`c , совмещенных началами, называется правой тройкой, если из конца третьего вектора`с кратчайший поворот от первого вектора`а ко второму вектору`b виден осуществляющимся против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой

. На рис.8а изображена правая тройка векторов, а на рис.7б – левая.

ДПСК, которой мы договорились пользоваться, строится на основе правой тройки (`i,`j,`k).

Определение 3

Векторным произведением векторов `а и `b называется вектор`v , удовлетворяющий свойствам:

а) | |= | |.| |.sin ,

б) вектор`v перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и ;

в) векторы , ,`v, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку

Векторное произведение обозначается ´или [ , ]. Векторное произведение обладает свойствами:

1) ,

2) ,

3) = l( ) = ,

4) =`0 ( ¹`0, ¹`0) тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарные. В частности, .

Для базисных векторов `i,`j,`k имеют место соотношения:

.

Пусть векторы заданы своими координатами:

и .

Используя перечисленные свойства, получим

= ´ =

+ =

=

=

= .

Таким образом, через координаты перемножаемых векторов `a = (a<sub>x</sub>, a<sub>y</sub>, a<sub>z</sub>) и `b = (b_x, b_y, b_z) векторное произведение может быть записано в виде символического определителя

.

или в виде координатной строки

´ = .

Рассмотрим параллелограмм ABCD, построенный на векторах`а и`b как на сторонах (рис. 9). Площадь этого параллелограмма равна

S_пар. = |AB|.|AD|.sinj = | |.| |.sinj = | ´ |.

Таким образом, с геометрической точки зрения, модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Определение 4.

Смешанным произведением векторов`а,`b,`с называется скалярное произведение вектора ´на вектор `с. Обозначается смешанное произведение . . или .

Таким образом, по определению, смешанное произведение трех векторов – это число, равное

. . = ( ´ ,`с).

Свойствасмешанного произведения:

1) . . = . . = . . , т.е. при циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется;

2) . . = – . . = – . . = – . . , т.е. смешанное произведение меняет знак при перестановке соседних множителей;

3) . . = 0 ( ¹`0, ¹`0, ¹`0) тогда и только тогда, когда векторы `a,`b,`c компланарные.

Если векторы `a,`b,`c заданы своими координатами:
`a = ( а_x , a_y , a_z), `b = (b<sub>x</sub> , b<sub>y</sub> , b<sub>z</sub>), `с = ( с_x , с_y , с_z),

то, используя координатную форму скалярного и векторного произведений, получим

. . = ( ´ ,`с) = .( с_x , с_y , с_z) =

=

Следовательно, в координатной форме смешанное произведение имеет вид

. . = .

Рассмотрим геометрическую интерпретацию смешанного произведения. Построим на векторах `а,`b,`с как на ребрах параллелепипед (рис.9).

Объем этого параллелепипеда равен V = S_осн..Н . Но S_осн = | ´ |,а высота Н равна Н = . Тогда

V = = |( ´ ,`с)| = = | . . |.

Таким образом, если векторы`а, `b, `с – некомпланарные, то объем V параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен

V = |`a .`b .`c |,

то есть абсолютной величине смешанного произведения этих векторов.

Наряду со смешанным произведением трех векторов, можно рассмотреть и произведение вида ´(´`с) – такое произведение называется двойным векторным произведением.

Двойное векторное произведение обладает свойством, которое связывает векторное произведение со скалярным произведением и произведением вектора на число:

´(´`с) = ( .) –( . ).

*) Совокупность п чисел вида (х₁, х₂, …, х_п) называют числовой строкой длины п. По сути числовая строка длины п – это матрица-строка размерности п´1. Поэтому над числовыми строками можно определить операции сложения и умножения на число так, как были определены эти операции для матриц. Множество всевозможных числовых строк длины п является линейным пространством размерности п и это пространство называется координатным пространством (или арифметическим пространством строк) и обозначается Rⁿ.