Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов

Определение.Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла:

Вычисляется как сумма произведений соответствующих координат этих векторов (a,b) = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.

Определение.Векторное произведение двух векторов – это вектор,перпендикулярный векторам aи b,образующий с ними правую тройку и имеющий длину

Вычисляется как определитель .

Геометрически длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Определение.Смешанное произведение трех векторов это число,равное скалярному произведению третьего вектора на векторное произведение первых двух (a, b, c) = (a×b, c).

Вычисляется как определитель

Геометрически модуль смешанного произведения векторов равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Если смешанное произведение равно нулю, то вектора лежат в одной плоскости, т. е. компланарны.

1.25. В таблице 1.14 заданы векторы , Вычислить:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) угол между векторами и .

Таблица 1.14

№
	(4, –2, –4)	(1, 4, –2)	(1, 1, 1)	(0, 1, 1)
	(5, –1, 3)	(3, 1, 1)	(1, –1, 0, )	( –1, 1, 0)

1.26. Найти и построить вектор = , если:

1) = 2 , = 3 ; 2) = , = ;

3) = = .

Определить в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

1.27. Найти × , синус угла между векторами и , если:

1) = (1, –5, – 3), = (–2, 4, 3);

2) = (3, –2, 6), = (6, 3, –2);

3) = (3, 0, –4), = (1, –2, 2).

1.28. Найти площадь треугольника с вершинами:

1) А (2; 2; 2), В (1; 3; 3), С (3; 4; 2);

2) А (–3; –2; –4), В (–1; –4; –7), С (1; –2; 2).

1.29. Найти смешанное произведение , и , если:

1) = (1, 1, 2), = (1, –2, 3), = (2, 1, 1);

2) = (5, –2, –1), = (1, –2, 1), = (1, 2, –2).

1.30. Установить, компланарны ли векторы:

1) = (1, 1, 3), = (0, 2, –1), = (1, –1, 4);

2) = (1, 2, 2), = (2, 5, 7), = (1, 1, –1).

1.31. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах
= (3, 2, 1), = (1, 0,–1), = (1, –2, 1).

1.32. Треугольная пирамида задана координатами своих вершин
1) А (–1; 1; 0), В (2;–2; 1), С (3; 1; –1), Д (1; 0; –2).

2) А (–4; –4; –3), В (–2;–1; 1), С (2; –2; –1), D (1; 3; –2).

Найти: угол <ДАВ; S – площадь грани АВС, V – объём пирамиды, высоту пирамиды.

Решение.

1) Найдём векторы и :

= (1 + 1; 0 – 1; – 2– 0) = (2; –1; –2), = (2 + 1; –2–1; 1 –0) = (3; –3; 1),

,

.

2) Найдем вектор = (4; 0; –1), тогда векторное произведение

Его длина равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Вычислим: .

Тогда площадь ∆АВС равна половине площади параллелограмма:

3) Найдём смешанное произведение:

= 0 + 4+ 6 – (0+24+3)= –17.

, ,

Значит,

4) Т.к. , то можно найти высоту пирамиды

1.2.3. Линейные операторы.
Собственные векторы и собственные значения

Любую квадратную матрицу можно рассматривать как линейный оператор, действующий на векторах. Матрица линейного оператора строится следующим образом: фиксируем базис линейного пространства (е₁, е₂) и действуем на базисные вектора данным преобразованием φ. Например, рассмотрим поворот на 60 (рис. 1.2); при этом базисные вектора переходят в вектора е₁', e₂'. Раскладываем эти образы по прежнему базису, коэффициенты разложения образуют столбцы матрицы линейного оператора преобразования.

e₁= i =

e₂ = j =

A = .

Рис. 1.2. Линейное преобразование поворота на 60˚

Определение. Вектор х называется собственным для матрицы А, если Ах = λх или (А – λЕ) х =0. Собственные числа λ являются корнями характеристического уравнения det (A – λE) = 0.

1.33. Линейный оператор в базисе задан матрицей А. Найти образ где:

1) = 4 –3 , А = ; 2) = 2 + 4 – ,

А =

1.34. Проверить непосредственным вычислением, какие из данных ниже векторов являются собственными векторами матрицы А, и указать соответствующие собственные значения:

,

1.35. Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных матрицами:

1) А = 2) А =

3) А = 4) А =

Задача о нахождении соотношения сбалансированности торговли

Постановка задачи. Пусть имеется несколько стран с известными национальными доходами Х = (х₁, х₂, …, х_n). Структурная матрица торговли А показывает долю национального дохода, которую страна тратит на покупку товаров других стран и внутри своей страны. Требуется найти соотношение национальных доходов для сбалансированности торговли.

Математически эта задача сводится к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению 1.

Пример 1.10. Задана структурная матрица торговли . Найти соотношение национальных доходов стран для сбалансированной торговли.

Решение:

= .

= = (0,5 –)٠(0,6 –) –2 = 0,3 – 0,5– 0,6 + ² – 0,2 = ² – 1,1 +0,1 = 0.

Находим корни уравнения – собственные значения матрицы. Действительно, = 1, = 0,1. Тогда, собственный вектор для= 1:
(А – 1Е)٠Х= • = .

Имеем систему . Собственный вектор Х = (0,8; 1).

Соотношение доходов получается 0,8 : 1 или 4 : 5.

1.36. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид:

А = .

Найти бюджет первой и второй стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что бюджет третьей страны равен 1100 усл. ед.

1.37. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:

A= .

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле, если сумма бюджетов = 6270 усл. ед.

Контрольные задания

Вариант 1.

1. Найти разложение вектора a=(7;4;3) по базису e₁=(1;2;0),
e₂ =(3; –1; 2), e₃ = (0; 4;–1).

2. Известно, что неколлинеарные векторы x(а;1) и у(в;1) являются собственными векторами матрицы . Найти координаты а и в.

3. Определить длины векторов, на которых построен параллелограмм с диагоналями с = 2i – j + 3k и d = 2i –2j + 4k.

4. Найти площадь треугольника с вершинами: А (2; 1; 4), В (1; 0; 3), С (3; 1; 2).

Вариант 2.

1. Найти значение параметра а, при котором вектор (1,а) является собственным для матрицы .

2. Найти длину вектора с = 2a – 3b,если |a| = 3, |b| = 2, угол между ними 60.

3. Образуют ли векторы базис e₁ = (–2, 2, 4), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (2, –3, −4)?

4. При каком значении m вектора a = mi –3j + 2k и b = i + 2j – mk перпендикулярны?