Уравнение неразрывности для капельных и упругих жидкостей.

Допущения: 1. Жидкость является капельной ρ=const 2. m=const

Сечение 1-1 (левая грань параллепипеда) *ρ

Сечение 2-2 (правая грань)

Изменение массы m жидкости за время Δt

x,y,z → dm_x, dm_y, dm_z

Нужно найти общее изменение массы, для этого сложим полученные проекции масс. Изменение массы должно быть равно 0, в связи с тем, что разрывы жидкости невозможны.

Разделим выражение на объём и получим дифференциальное уравнение неразрывности потока

Рассмотрим канал с двумя сечениями

Q=mv

Q₁=m₁v₁

Q₂=m₂v₂

Невозможно Q₁>Q₂ и Q₁<Q₂

В этом случае только Q1=Q2 это и есть неразрывность потока.

Уравнение Бернулли для вязких жидкостей. Интерпретация членов уравнения, пьезометрическая и напорные линии, гидравлический уклон.

Рассмотрим поток, который движется в плавноизменяющемсявиде и выделим в нём 2 сечения (1-1 и 2-2) и в оба сечения установим пьезометры.

Поскольку жидкость движется, то установим прибор для измерения уровня жидкости и вода в нём поднимется выше, чем в пьезометре.

E₁>E₂, т.к. по мере того как течёт жидкость, поток теряет энергию.

E₁=E₂+ΔE_1-2

Интерпретация членов уравнения Бернулли

1) Энергетический смысл

N-N – энергетическая линия потока

P-P – кривая потенциальной энергии потока

2) Гидравлический смысл

z₁,z₂ – высоты положения произвольных точек в сечении потока над плоскостью сравнения О-О

P1/γ, P2/γ – пьезометрические или приведённые высоты

– высоты скоростного напора

h – полная или общая потеря напора между 1ым и 2ым сечениями.

3) Геометрический смысл

P-P – пьезометрическая линия

N-N – напорная линия

Каждая система имеет уклон. Уклон – падение на единицу длины.

Пьезометрический уклон – падение пьезометрической линии на единицу длины.

Гидравлический уклон – падение линии энергии на единицу длины потока

Основное уравнение равномерного движения. 2 режима движения жидкости. Число Рейнольдса.

Рассмотрим равномерное движение жидкости в трубопроводе (рис. 3.1). С помощью сечений 1-1 и 2-2 выделим массу жидкости, заключенную между этими сечениями, и для нее, пользуясь принципом Даламбера, напишем уравнение динамического равновесия.

где – проекция силы земного притяжения на ось S-S

– сумма проекций сил гидростатического давления

– силы сопротивления, опр. по среднему значению касательного напряжения

Разделив уравнение динамического равновесия на ρgω, получим

R – гидравлический радиус

Запишем уравнение Бернулли для тех же сечений 1-1 и 2-2

Так как движение равномерное, опускаем и из сопоставления уравнений находим

; так как – i(i-гидравлический уклон)

Это уравнение Павловский назвал основным уравнением равномерного движения

По этой формуле с учётом после подстановки найдём

Обозначив , получим формулу Шези

где С – коэффициент Шези.

Эта формула получила широкое применение в расчётах открытых потоков.

Режимы движения жидкости

При наблюдении за движением жидкости в трубах и каналах, можно заметить, что в одном случае жидкость сохраняет определенный строй своих частиц, а в других - перемещаются бессистемно. Однако исчерпывающие опыты по этому вопросу были проведены Рейнольдсом.На рис. 3.2 изображена установка, аналогичная той, на которой Рейнольдс производил свои опыты.

Установка состоит из резервуара А с водой, от которого отходит стеклянная труба В с краном С на конце, и сосуда D с водным раствором краски, которая может по трубке вводиться тонкой струйкой внутрь стеклянной трубы В.

Первый случай движения жидкости. Если немного приоткрыть кран С и дать возможность воде протекать в трубе с небольшой скоростью, а затем с помощью крана Е впустить краску в поток воды, то увидим, что введенная в трубу краска не будет перемешиваться с потоком воды. Струйка краски будет отчетливо видимой вдоль всей стеклянной трубы, что указывает на слоистый характер течения жидкости и на отсутствие перемешивания. Если при этом, если к трубе подсоединить пьезометр или трубку Пито, то они покажут неизменность давления и скорости по времени. Такой режим движения называется ламинарный.

Второй случай движения жидкости. При постепенном увеличении скорости течения воды в трубе путем открытия крана С картина течения вначале не меняется, но затем при определенной скорости течения наступает быстрое ее изменение. Струйка краски по выходе из трубки начинает колебаться, затем размывается и перемешивается с потоком воды, причем становятся заметными вихреобразования и вращательное движение жидкости. Пьезометр и трубка Пито при этом покажут непрерывные пульсации давления и скорости в потоке воды. Такое течение называется турбулентным (рис.3.2, вверху).

Если уменьшить скорость потока, то восстановится ламинарное течение.

Итак, ламинарным называется слоистое течение без перемешивания частиц жидкости и без пульсации скорости и давления. При ламинарном течении жидкости в прямой трубе постоянного сечения все линии тока направлены параллельно оси трубы, при этом отсутствуют поперечные перемещения частиц жидкости.

Турбулентным называется течение, сопровождающееся интенсивным перемешиванием жидкости с пульсациями скоростей и давлений. Наряду с основным продольным перемещением жидкости наблюдаются поперечные перемещения и вращательные движения отдельных объемов жидкости. Переход от ламинарного режима к турбулентному наблюдается при определенной скорости движения жидкости. Эта скорость называется критической υкр.

Значение этой скорости прямо пропорционально кинематической вязкости жидкости и обратно пропорционально диаметру трубы.

где ν - кинематическая вязкость;

k - безразмерный коэффициент;

d - внутреннийдиаметртрубы.

Входящий в эту формулу безразмерный коэффициент k, одинаков для всех жидкостей и газов, а также для любых диаметров труб. Этот коэффициент называется критическим числом РейнольдсаReкр и определяется следующим образом:

Как показывает опыт, для труб круглого сечения Reкр примерно равно 2300.

Таким образом, критерий подобия Рейнольдса позволяет судить о режиме течения жидкости в трубе. При Re<Reкр течение является ламинарным, а при Re>Reкр течение является турбулентным. Точнее говоря, вполне развитое турбулентное течение в трубах устанавливается лишь при Re примерно равно 4000, а при Re = 2300…4000 имеет место переходная, критическая область.

Режим движения жидкости напрямую влияет на степень гидравлического сопротивления трубопроводов.

13. Ламинарныйрежим движения. Определение и распределение скорости по сечению потока движущейся жидкости. Формула Дарси.Ламинарный режим движения жидкости это такой режим, при котором жидкость перемещается слоями без перемешивания, т.е без быстрых изменений скорости и давления

Пусть имеется ламинарный поток с равномерным движением в трубе круглого сечения с радиусом r₀

Из основного уравнения равномерного движения

Получили , а в цилиндрической трубе ,

,следовательно для нашего случая касательное напряжение в любой точке потока будет , с другой стороны, касательные напряжения жидкости при ламинарном движении зависят от си трения: =-μdu/dr

μ, следовательно

в точке трубы на расстоянии rот оси

Закон распределения скоростей по cечнию трубы при ламинарном режиме представляет собой параболу имеющей max

на оси, скорость имеет максимальное значение в центре трубы,r=0

теперь можно выразить скорость в любой точке через максимальную скорость и положение точки в сечениии потока

Расход через площадку определится по соотношению Расход через сечение

Для определения потери по длине следует развернуть значение гидравлического уклона I=h_l/l ;h_l=8μlv/ρgr₀²;r₀=d/2; μ/ρ=v,следовательно h_l=32γlv/gd²-формула Пуазейля показывает , показывает что потеря напора при ламинарном режиме пропорциональна первой степени первой скорости ,зависит от рода жидкости определяемой кинематической вязкостью ,обратно пропорциональной площади сечения трубы и не зависит от шероховатости стенок трубы Дарси установил, что потери напора в трубах пропорциональны скоростному напору т.еh_l=v²/2g

,обозначая λ=64/Re,где λ коэффициент гидравлического трения, потеря напора при ламинарном движении опр.h_l=λlv²/d2g-Формула Дарси.

14 Турбулентный режим движения (структура потока, трубы гладкие и шероховатые, три зоны сопротивления, основные расчетные завистимости)для турбулентного течения харак­терно перемешивание жидкости, пульсации скоростей и давлений. Если с помощью особо чувствительного прибора-самописца измернть и записать пульсации, например, скорости по времени в фик­сированной точке потока, то получим картину, подобную показан­ной на рис. 1.54. Скорость беспорядочно колеблется около неко­торого осреднепного у₀ср ^п0, времени значения, которое в данном случае остается постоянным!
Траектории частиц, проходящих через данную неподвижную точку пространства в разные моменты времени, представляют собой кривые линии различной формы, несмотря на прямолинейность трубы. Характер линий тока в трубе в данный момент времени также отличается большим разнообразием (рис. 1.55). Таким образом^

.Пульсация скорости (рис 1)Характер линий тока в турбулентном потоке
строго говоря, турбулентное течение всегда является неустановив­шимся, так как значения скоростей и давлений, а также траекто­рии частиц, изменяются по времени. Однако его можно рассматри­вать как установившееся течение при условии, что осредненпые по времени значения скоростей и давлений, а также полный расход потока не изменяются со временем

1. Внезапное расширение русла. Потеря напора (энергии) при внезапном расширении русла расходуется на вихреобразование, связанное с отрывом потока от стенок, т.е. на поддержание вращательного непрерывного движения жидких масс с постоянным их обновлением. 2. Постепенное расширение русла. Постепенно расширяющаяся труба называется диффузором (рис.4.10). Течение скорости в диффузоре сопровождается ее уменьшением и увеличением давления, а следовательно, преобразованием кинетической энергии жидкости в энергию давления. В диффузоре, так же как и при внезапном расширении русла, происходит отрыв основного потока от стенки и вихреобразования. Интенсивность этих явлений возрастает с увеличением угла расширения диффузора α. 3. Внезапное сужение русла. В этом случае потеря напора обусловлена трением потока при входе в более узкую трубу и потерями на вихреобразование, которые образуются в пространстве вокруг суженой части кольцевом потока

Основные расчётные зависимости: Основной расчетной формулой для потерь напора при турбулентном течении жидкости в круглых трубах является уже приводившаяся выше эмпирическая формула, называемая формулой Вейсбаха-Дарси и имеющая следующий вид:

Формула Шези — формула для определения средней скорости потока при установившемся равномерном турбулентном движении жидкости в области квадратичного сопротивления для случая безнапорного потока

V — средняя скорость потока, м/с;

C — коэффициент сопротивления трения по длине (коэффициент Шези), являющийся интегральной характеристикой сил сопротивления;R — гидравлический радиус, м;I — гидравлический уклон м/м.

Касательное напряжение в турбулентном потоке