Основные уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа для давления

Газ называют идеальным, если:

1) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда;

2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;

3) столкновения молекул газа со стенками сосуда абсолютно упругие.

Реальные газы (например, кислород и гелий) в условиях, близких к нормальным, а также при низких давлениях и высоких температурах близки к идеальным газам. Частицы идеального газа в промежутках между столкновениями движутся равномерно и прямолинейно. Давление газа на стенки сосуда можно рассматривать как ряд быстро следующих ударов газовых молекул о стенку. Рассмотрим, как вычислить давление, вызванное отдельными ударами. Представим себе, что по некоторой поверхности происходит ряд отдельных и частых ударов. Найдем такую среднюю постоянную силу <F>, которая, действуя в течение времени t, за которое происходили отдельные удары, произведет такое же действие, как и все эти удары в своей совокупности. В таком случае импульс этой средней силы за время t должен равняться сумме импульсов всех тех ударов, которые получила поверхность за это время, т.е.

, где t₁, t₂, t₃ ... t_n - время взаимодействия первой, второй, ..., n-й молекул со стенкой (т.е. длительность удара); f₁, f₂, f₃ ... f_n - силы удара молекул о стенку. Из этой формулы следует, что

, (7)

Средняя сила давления, вызванная рядом отдельных ударов о некоторую поверхность, численно равна сумме импульсов всех ударов, полученных этой поверхностью за единицу времени.

Найдем среднюю силу давления <F>, возникающую вследствие ударов газовых молекул о стенки сосуда. Имеем сосуд в форме куба (рис. 4) с длиной ребра l, в котором движется n молекул, причем масса каждой молекулы равна m₀. В результате хаотического движения молекул можно утверждать, что результат их ударов о стенки будет такой же, как будто 1/3 все молекул движется вдоль оси X, ударяя в правую и левую грани, 1/3 - движется вдоль оси Y, ударяя в переднюю и заднюю грани, а 1/3 - вдоль оси Z, ударяя в верхнюю и нижнюю грани.

Рис. 4

Найдем импульс силы, от удара одной (первой) молекулы по правой грани куба. Пусть молекула движется со скоростью вдоль оси X. При упругом ударе о грань она отталкивается с такой же по модулю скоростью, но с обратным знаком. Импульс молекулы до удара , а после удара равен . Изменение импульса молекулы за один удар о грань равно . Подсчитаем число ударов, сделанных молекулой о грань за единицу времени (t = 1 с). От удара до следующего удара об одну и ту же грань молекула пролетает вдоль оси Х расстояние, равное удвоенной длине ребра куба 2l, т.к. ей надо пролететь до противоположной грани и вернуться обратно. За одну секунду молекула произведет ударов. Изменение импульса молекулы за все удары (за 1 сек) можно найти как . Импульс силы f₁t₁, полученный молекулой от грани за все удары в течение секунды, равен изменению ее импульса, т.е. . Такой же импульс получила грань от ударов молекулы. Обозначим число молекул, движущихся вдоль оси Х, через .

Аналогично, различные молекулы, двигаясь с другими скоростями сообщают грани импульсы , , ... . Согласно формуле (7) сумма импульсов ударов всех молекул за единицу времени равна средней силе давления:

или

. (8)

Умножим и разделим правую часть равенства (8) на n'. Тогда получим:

. (9)

Сумма квадратов скоростей движущихся молекул деленная на их число равна квадрату средней квадратичной скорости <c>² движения молекул, т.е.:

. (10)

Используя выражение (10), формулу (9) запишем в виде:

или, учитывая, что (11)

Давление газа р определяется силой, действующей на единицу площади (площадь грани куба с ребром l равна l²).

или, используя формулу (11) запишем: . Объем куба V = l³. Такой же объем занимает газ. Поэтому:

(12)

Формула (12) есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа для давления. Сделанный вывод для сосуда в форме куба оказывается справедливым для сосуда любой формы.

Уравнение (12) можно записать иначе. Отношение (число молекул в единице объема или концентрация молекул). Умножим и разделим правую часть равенства (12) на 2. Тогда получим:

.

Величина - есть средняя кинетическая энергия поступательного движения одной газовой молекулы. Окончательно имеем:

. (13)

Учитывая, что , получим:

или . (14)

Таким образом, формулы (12), (13), (14) выражают основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа для давления.

Скорости газовых молекул

Формулу (12) можно записать в виде:

, (15)

где (масса газа).

Из выражения (15) вычислим среднюю квадратичную скорость движения молекул газа:

. (16)

Зная, что (R-универсальная газовая постоянная;R=8,31 ), получим новые выражения для определения <c>.

. (17)

Опытное определение скоростей движения молекул паров серебра впервые был проведен в 1920 г Штерном.

Рис. 5

Из стеклянного цилиндра Е выкачивался воздух (рис. 5). Внутри этого цилиндра помещался второй цилиндр Д, имеющий с ним общую ось О. Вдоль образующей цилиндра Д имелся прорез в виде узкой щели С. По оси протягивалась посеребренная платиновая проволока, по которой можно было пропускать ток. При этом проволока раскалялась и серебро с ее поверхности обращалось в пар. Молекулы паров серебра разлетались в различные стороны, часть их проходила через щель С цилиндра Д и на внутренней поверхности цилиндра Е получался налет серебра в виде узкой полоски. На рис. 5 положение полоски серебра отмечено буквой А.

Когда вся система приводилась в очень быстрое движение таким образом, что проволока являлась осью вращения, то полоска А на цилиндре Е получилась смещенной в сторону, т.е. например, не в точке А, а в точке В. Это происходило потому, что пока молекулы серебра пролетали путь СА, точка А цилиндра Е успевала повернуться на расстояние АВ и молекулы серебра попадали не в точку А, а в точку В.

Обозначим величину смещения серебряной полоски АВ = d; радиус цилиндра Е через R, радиус цилиндра Д через r, а число оборотов всей системы в секунду через  .

За один оборот системы точка А на поверхности цилиндра Е пройдет путь, равный длине окружности 2R, а за 1 секунду она пройдет путь . Время t, в течение которого точка А переместилась на расстояние АВ = d, будет равно: . За время t молекулы паров серебра пролетали расстояние . Скорость их движения v может быть найдена, как пройденный путь, деленный на время:

или, заменяя t, получим:

.

Налет серебра на стенке цилиндра Д получался размытым, что подтверждало наличие различных скоростей движения молекул Из опыта можно было определить наиболее вероятную скорость v_вер которая соответствовала наибольшей толщине налета серебра.

Наиболее вероятную скорость можно рассчитать по формуле, данной Максвеллом:

. (18)

По вычислениям Максвелла средняя арифметическая скорость движения молекул равна:

. (19)