Две задачи математического анализа
Основные правила дифференцирования
1. .
2. независимая переменная.
3. , где .
4. , .
5. ,
.
6. .
7. Производная сложной функции. Если , где .
8. Дифференциал функции. Если .
Таблица производных
1. Производная степенной функции
. Частные случаи : .
2. Производная показательной функции ,
; , так как ; , так как .
3. Производная логарифмической функции
; , так как ; , так как .
4. Производные тригонометрических функций
; ; ;
; ;
.
5. Производные обратных тригонометрических функций:
, ,
, .
6. Производные гиперболических функций:
, ,
, .
Неопределенный интеграл
Теорема существования. Если функция непрерывна в заданном промежутке , то в этом промежутке она имеет первообразную.
Основные свойства неопределенного интеграла
1. . 2. .
3. . 4. .
5. .
6. Если , то .
7. Если , то .
8. Если , то .
Методы интегрирования
1. Метод замены переменной (способ подстановки)
.
2. Метод интегрирования по частям: .
Таблица неопределенных интегралов
1. Интеграл от степенной функции :
; (1) . (2)
. (3)
2. .
3. Интеграл от показательной функции :
.
4. Интегралы от тригонометрических функций:
; ;
; ; ; ;
; .
5. Интегралы от гиперболических функций:
; ;
; .
6. Интегралы, содержащие выражение вида :
. (5) . (6)
. (7) . (8)
. (9) . (10)
7. Часто встречающиеся интегралы:
.
.
. (11)
. (12)
. (13)
. (14)
8. Реккурентные соотношения
; . (15)
; .
; .
Замечание
1. Во всех формулах подынтегральные функции предполагаются сложными,
т. е. аргумент и есть некоторая функция от независимой переменной х: . Следует хорошо уяснить, что все формулы верны лишь в том случае, когда подынтегральная функция умножается строго на дифференциал аргумента u, т. е. на . Так, например, , но , так как здесь , чего нет под интегралом. Аналогично , но , так как здесь , чего нет под интегралом.
Для упрощения записи во всех формулах независимая переменная х опущена. Например, формула (1) имеет следующий вид: . Такая запись затрудняет запоминание формулы.
2. Вся таблица интегралов разбита на восемь групп формул. Деление это, вообще говоря, произвольное, сделано с единственной целью, чтобы можно было быстрее и легче запомнить эти формулы. Впрочем, в большинстве случаев достаточно знать первые шесть групп формул. Седьмая группа выделена потому, что эти интегралы находятся достаточно длинным способом и встречаются на практике редко.
3. Следует научиться работать с рекуррентными соотношениями. Сущность их состоит в том, что, зная интеграл , можно без труда найти интеграл
Приведем пример использования формулы (15). Полагая здесь , получим
(табличный интеграл (5)),
, .
При имеем ,
,
.
В заключение отметим, что существуют три способа отыскания неопределенных интегралов: интегрирование с помощью табличных формул (он называется иначе «метод подведения под знак дифференциала»), метод замены переменной (иначе: «способ подстановки») и метод интегрирования по частям. Подробно рассмотрим эти методы.
Упражнения (устно)
Дайте ответы в следующих примерах.
.
Упражнение
Найти следующие интегралы.
Задание на дом
Примеры.
.
Последний интеграл степенной, так как , если
, поэтому
.
.
Первый интеграл степенной: , где . Второй интеграл также степенной, его можно найти в примере . Поэтому
.
Упражнение. Решить примеры.
Упражнение
Найти интегралы
, .
Примеры
Многочлен имеет простые вещественные корни
.
Решение. Многочлен имеет вещественный простой корень ; двукратный корень .
Определение. Следующие рациональные дроби называются простейшими первого, второго, третьего и четвертого типов:
.
Здесь - заданные числа, .
В последующем постоянно предполагается, что трехчлен не имеет
вещественных корней и, следовательно, не разлагается на линейные множители.
Примеры. Рассмотрим дроби
.
Здесь - дробь первого типа, причем - дробь второго типа, где . - дробь третьего типа, где , причем трехчлен вещественных корней не имеет. Дробь принадлежит к четвертому типом, где .
Дроби и принадлежат соответственно к первому и второму типам, причем .
Теорема о разложении рациональной дроби. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей первого – четвертого типов. При этом если - простойвещественный корень знаменателя , то в разложении ему соответствует дробь первого типа ; если - вещественный корень кратностью k, то в разложении ему соответствует сумма k дробей первого и второго типов:
; если в знаменателе имеется трехчлен без вещественных корней, то в разложении дроби ему соответствует дробь третьего типа ; если, наконец, знаменатель содержит множитель , то в разложении ему соответствует сумма «k» дробей третьего и четвертого типов: .
Таким образом, разложение дроби существенно зависит от того, какие корни имеет знаменатель . Поэтому разложение рекомендуется проводить по следующей схеме.
1. Найти все корни знаменателя и определить их кратность.
2. Написать разложение на линейные и квадратные множители.
3. Написать сумму простейших дробей в соответствии с полученным разложе-нием знаменателя.
Пример 1. Разложить дробь .
Решение. Здесь знаменатель имеет разложение . Отсюда следует, что - простой вещественный корень, ему соответствует дробь ; - вещественный двукратный корень, ему соответствует сумма дробей . Поэтому данная дробь представлена суммой .
Пример 2. Разложить дробь .
Решение. Здесь , причем трехчлен вещественных корней не имеет, поэтому .
Пример 3.Разложить дробь .
Решение. Здесь знаменатель
имеет вещественные простые корни: . Двучлен веществен-ных корней не имеет: если , то . Поэтому разло-жение дроби имеет вид
.
Теперь перейдем к нахождению неопределенных коэффициентов разложения: А, В, С,…. Существуют два способа их определения. Поскольку оба способа достаточно простые, рассмотрим их на конкретных примерах.
Первый способ. Дробь представлена в виде
.
Поскольку здесь знаменатели равны, то должны быть равны и числители.
. Имеет место равенство двух многочленов, которое выполняется тождественно, т.е. при любых значениям «х».
Пусть, например, при при . Таким образом, получили разложение дроби .
Замечание. Нахождение неопределенных коэффициентов А, В, С, … упрощается, если в качестве значений «х» брать корни знаменателя.
Второй способ покажем на следующем примере:
,
. В правой части раскроем скобки и приведем подобные члены, тогда или . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х и свободные члены, получаем систему линейных уравнений относительно А, В, С: . Решив эту систему способом подстановки (или по формулам Крамера), получим . Подставим эти значения во второе равенство: . Получаем разложение дроби .
Замечание. Результат вычислений всегда можно проверить. Так, в последнем примере .
Упражнение. Разложить на простейшие дробь . Разложив дробь на простейшие и проинтегрировав полученное равенство, получим в правой части (в общем случае) сумму следующих четырех интегралов:
Первый из них по существу табличный: . Второй интеграл степенной:
.
Третий интеграл был рассмотрен выше.
Рассмотрим подробнее интеграл , . Так как , чи-слитель представляем в виде , . Интеграл степенной, так как
.
Для нахождения интеграла выделим из трехчлена полный квадрат:
.
Тогда . Этот интеграл находится с помощью рекуррентного соотношения (15). Впрочем интеграл может быть найдем с помощью тригонометрической подстановки .
Пример. Найти интеграл .
Решение.Так как , получим .
Тогда .
. Полагая в формуле (15) , получим
, где ,
. Окончательно находим
Для сравнения найдем , где с помощью подстановки . Тогда . Поэтому
. Так как , получим
, . Из подстановки следует, что ,
,
.
Решить примеры
.
Решение.
,
,
.
Интегралы вида , , где m – целое положительное число, находятся с помощью тождеств , .
Пример.
Пример. Найти интеграл .
Решение.
.
Следующие три интеграла берутся с помощью известных формул тригонометрии ,
,
.
Пример. Найти интеграл .
Решение.
, .
Подстановка рекомендуется для нахождения интеграла , а
также в тех случаях, когда в интеграле числа m и n - четные (положительные или отрицательные). Здесь используются известные формулы тригонометрии: .
Пример.Найти интеграл .
Решение. ,
,
. Так как , то окончательно
получим .
Замечание. Для интегралов где k- натуральное число, методом интегрирования по частям можно получать рекуррентные соотношения, приведенные в таблице интегралов.
Решить самостоятельно
, .
Выше были рассмотрены основные приемы и формулы для нахождения неопределенных интегралов. Следует отметить, что многие функции не интегрируются в конечном виде. Так, например, функция непрерывна в промежутке , однако, интеграл от нее (интегральный синус) не выражается в конечном виде через элементарные функции. То же самое относится к
интегралам (интегральный косинус), (интегральный
логарифм).
Замечание. Во многих случаях заданный интеграл может быть найден различными способами. Так, например, интеграл с помощью подстановки дает , где , . С другой стороны, если возьмем подстановку , то .
Поэтому .
Окончательно . Этот результат лишь формой отличается от предыдущего, так как
.
Две задачи математического анализа
Первая задача состоит в отыскании производной от заданной функции . Напомним, что с помощью производной решаются многие задачи математики и физики. Так, например, если точка движется по закону , где t – время, а S – пройденный путь, то скорость движения есть производная от пути по времени, т. е. , а ускорение равно . Если масса неоднородного стержня изменяется по закону , то его плотность в точке х есть производная . В геометрии с помощью производной решается задача о проведении касательных к заданным кривым. Эти примеры можно продолжить.
Теперь обратимся к обратной задаче: как по заданной производной восстановить саму функцию ?
Как, например, зная скорость движения , найти закон изменения пройденного пути ? Как найти массу стержня переменной плотности ? В общем случае задача ставится следующим образом: пусть задана функция , производная от которой совпадает с заданной функцией: . Такая функция называется первообразнойфункции . Так, например, если , то , так как . Если , то , так как . Обратите внимание на то, что для заданной функции первообразных существует бесконечно много, так как есть некоторая первообразная . Любая функция вида , где , есть также первообразная , так как .
В силу этого множество всех первообразныхзаданной функции принято обозначать символом и называть неопределенным интегралом от функции . Итак, по определению, .
Примеры. , так как .
, так как .
, так как .
Приступая к изучению неопределенного интеграла, следует обратить внимание на то, что
1) эта операция многозначная;
2) в техническом отношении интегрирование для студентов представляется более сложным, чем отыскание производных. Чтобы научиться интегрировать, нужна практика. Только решение большого числа разнообразных примеров позволит выработать некоторые навыки в интегрировании;
3) обратите внимание на запись интеграла. Здесь под знаком интеграла стоит дифференциал аргумента функции . Если же задана сложная функция , где , то все формулы интегрирования имеют смысл только в том случае, когда под знаком интеграла стоит дифференциал . Это обстоятельство нужно иметь в виду постоянно. В формуле будем подразумевать, что ищется интеграл от сложной функции , где , х – независимая переменная;
4) существуют шесть тригонометрических функций:
. Последние две функции определяются как величины, обратные по отношению к , т. е. .
Это позволяет известные формулы тригонометрии
записывать в целом виде:
.
Таблицы производных и интегралов поэтому имеют более простой вид. При интегрировании гиперболических функций , , , следует помнить основные формулы, связывающие их: , а также формулы понижения ;
5) поскольку операции дифференцирования и интегрирования тесно связаны, ниже приводятся основные свойства производной и формулы дифференцирования, а далее – аналогичный материал, касающийся неопределенного интеграла.