Двойной интеграл в полярных координатах

Нам хорошо известны роль и значение метода замены переменной в определенном интеграле.

Аналогичный метод замены переменных используется и при вычислении двойных интегралов. Рассмотрим частный случай – переход к полярным координатам и .

Прямоугольные координаты связаны с полярными следующими соотношениями:

.

Пусть мы имеем двойной интеграл , где функция непрерывна в замкнутой области . Будем считать, что граница этой области пересекается каждой прямой, проходящей через начало

Координат не более, чем в двух точках. Имеет место формула замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам:

. (4.7)

Далее, . (4.8)

Заметим, что другой порядок интегрирования употребляется крайне редко, и мы на нем не будем останавливаться. Формула (4.8) соответствует случаю, когда полюс О лежит вне

области интегрирования .

Если же полюс расположен внутри области и любой луч, проведенный из полюса, пересекает границу области не более, чем в одной точке, то формула (4.8) примет вид:

, (4.9)

где -- уравнение границы области в полярных координатах.

Площадь области в полярных координатах вычисляется по формуле:

. (4.10)

Замечание. При вычислении двойных интегралов переход от прямоугольных координат к полярным особенно полезен в том случае, когда область интегрирования есть круг, или часть круга, или когда подынтегральная функция содержит в себе двучлен (при переходе к полярным координатам двучлен ).

Пример 4.7. Вычислить , где -- круг, ограниченный окружностью .

Круг ограничен окружностью . Уравнение этой окружности в полярных координатах

,

. По формулам (4.7) и (4.8) получаем

.

Пример 4.8. Найти площадь области, ограниченной лемнискатой

Так как и входят в уравнение только в четных степенях, то кривая симметрична относительно осей координат. Поэтому можно вычислить площадь части фигуры, расположенной в первой четверти, и результат умножить на 4: .

Здесь выгодно перейти к полярным координатам, так как в уравнение кривой входит выражение . Уравнение лемнискаты в полярных координатах .

Для области и .

Упражнения

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями ( в скобках указаны ответы).

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11) (5)

12) (1)

Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:

13)

14)

15)

16)

17)

18)

Литература

1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ, Т.1,2.—М.: Высшая школа 1973

2. Фихтенгльц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т. 2,3, Физматгиз, 1969

3. Демидович Б.П. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1972

4. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Математический анализ в задачах и упражнениях: учебное пособие. –М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991

5. Абанин А.В., Моржаков В.В., Спинко Л.И. Кратные интегралы. Методические указания к практическим занятиям по курсу «Математический анализ».-- Ростов-на-Дону, 1985

6. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.—М.: Наука, 1971