Первообразная.Неопред интеграл

Первообразная.Неопред интеграл

Первообразной данной ф-ции f наз такую F, производн кот (на всей обл опред) равна f, то есть F ′ = f. Вычисл первообразной заключ в нахожд неопред интеграла, а сам процес назинтегрированием. Св-ва: 1.Первообразная суммы равна сумме первообразных.2.Первообразная произведения константы и ф-ции равна произвед константы и первообразн ф-ции.

Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке ф-ции явл непрерывность ф-ции на этом отрезке. Необход усл сущ явл принадлежность ф-ции первому классу Бэра и выполн для неё св-ва Дарбу. У заданной на отрезке ф-ции любые две первообразные отлич на постоянную.

Св-ванеопред интеграла:

В привед ниже ф-лах f и g – ф-ции переменx, F - первообразная ф-ции f,
а, k, C - пост величины.

Осн неопред интегралы

Неопред интеграл для ф-ции — сов-ть всех первообразн данной ф-ции.

Интегрир почастям в неопр интегр

Интегр-ние почастя́м—один изспособов нахожд интегр.Суть метода:если подынтегральнф-ция может быть представл ввиде произвед двух непрерывныхи гладк ф-ций(кажд из кот может быть как элементарнф-цией, так и композицией),то справедливы след ф-лы для неопред интеграла:

для опред:

Замена переменной в неопред

Замены перем и интегрирован по частям для опред интеграла, обычно позвол упростить запись решения. ТЕОР. Пусть ф-ция φ(t) имеет непрерывн производн на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и ф-ция f(х) непрерывна в кажд точке х вида х=φ(t), где t [α,β]. Тогда справедливо след равенство:

Эта ф-ла носит назв ф-лы замены перем в опред интеграле.

Подобно тому, как это было вслучае неопред интеграла, исп замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопред в данном случае нет необход-ти возвращ к исходн переменной интнегрирования.

Разлож на простейшие дроби

Пусть знаменатель правильн рац дроби может быть представл в виде (множителей вида может быть несколько), где —заданные числа

трехчлен не имеет действительн корней. Тогда представляется ввиде суммы простейш дробей 1—3 типов:

где — неизвестн коэффиц, кот находятся путем привед суммы справа к общ знаменателю и послед приравн получ числителя к . Пример:

Интегрир рац дробей

Целой рац ф-цией аргумента х наз многочлен, в кот переменная х только в цел степенях (в том числе х⁰=1).
a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀

Дробн рац ф-цией аргумента х наз отноше целых рац ф-ций. Причем если степень числителя меньше степени знаменателя, дробь наз правильн. В противн случае – неправильн.

Алгоритм: Если дробь неправильн - выдел цел часть. Получ интеграл от цел части (интегрируется непосредственно) и интеграл от правильн дроби; Если числитель равен дифф-лу знаменателя (или отлич от него пост множителем), то исп замену переменной z=знамен-ль; Если числитель равен дифф-лу некого многочлена (или отлич от него пост множителем), а знаменатель равен степени того же многочлена, то исп замену переменной z=знаменатель; В остальн случ нужно разлож дробь на сумму простейш. Простейш дроби интегрируются в завис-ти от их вида

Интегралы от рац ф-ций

При вычисл интегралов след понизить степень тригонометрич ф-ций переходом к косинусу двойн угла: .Угол удваивается, пока одна из степеней не станет нечётн

Интегрир иррац ф-ций

Клас иррац ф-ций очень широк,поэтому универсальн способа их интегрир-ния быть не может.

Исп-зуя метод непосредств интегрирования,легко находятся неопред интегралы вида , где p–рац дробь,k и b–действительн коэфиц.

Бывают случаи, когда уместно исп-ние метода подведения под знак дифференциала.Например, при нахождении неопред интегралов вида , где p – рациональная дробь.Достаточно часто приходится иметь дело с неопред интегралами вида , где p и q –действительн коэффиц

Опред интеграл

I. Величина опред интеграла не зависит от обозначения переменой интегр-ния, т.е. , где х, t– люб буквы. II.Опред интегр с одинаков пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегр-ния опред интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегр-ния [a,b] разбит на конечн число частичн промежутков, то опред интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме опред интегралов, взятых по всем его частичн промежуткам.

V. Пост множитель можно выносить за знак опред интеграла.

VI. Опреде интеграл от алгебраич сумы конечн числа непрерывн ф-ций равен такой же алгебраич сумме опред интегралов от этих ф-ций.

Опред интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента кот есть интегрируемая ф-ция или ф-ционал,а вторая—область в множестве задания этой ф-ции

11.Ф-ла Ньютона—Лейбница

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной. Если непрерывна на отрезке и — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Интегрир по частям в опред

Пусть ф-ции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывн производные на отрезке [а,b]. Тогда

(4)

где

Ф-ла (4) наз ф-лой интегр-ния по частям для опред интеграла.

Пусть «u» и «v»-две дифференц-уемые ф-ции от х. Тогда дифф-циал произв uv вычисл по след ф-ле (uv)| = u|v+ uv|.

Интегрируя в пределах от “а” до “в”, получ в∫а(uv)|dx =в∫а u|vdx+в∫а uv|dx Т.к. ∫(uv)|dx =uv+с , то в∫а(uv)|dx =uvв|а ; поэтому равенство может быть запис в виде в∫а udv= uv в|а – в∫аvdu.Эта ф-ла наз ф-лой интег-ния почастям. Она примем к интегр-нию выраж, кот можно представить ввиде произв двух сомножителей u и dv , чтобы отыскание ф-ции v по её дифференциалу dv и вычисл интеграла в∫аvdu составл в сов-сти задачу более простую , чем непосредств вычисл интеграла в∫аudv.

Замена перем в опред

Эта ф-ла носит назв ф-лы замены перем в опреде интегр.Подобно тому, как это было вслуч неопред интегр, исп замены перем позвол упростить интегр, приблизив его к табличн.При этом в отличие от неопред интегр в данном случае нет необход-ти возвращ к исходн переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегр-ния α и β по нов переменной t как решение относит перем t уравн-ий φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто нач с того, что указ выраж t=ψ(х) нов переменной через старую. В эт случае нахождение пределов интегр-ния по переменной t упрощ: α=ψ(а), β=ψ(в).

Несобств интегралы

Опред интеграл назнесобств,если выполн, по крайней мере, одно из след условий:

Предел a или b (или оба) явл бескон;

Ф-ция f(x) имеет одну или неск точек разрыва внутри отрезка [a, b].

Несобств интегралы I рода

Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда: Если , то исп обознач и интеграл назнесобств интегралом Римана перв рода. В эт случае наз сходящ

Если не сущ конечн , то интеграл наз расходящ к , или просто расходящ. Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда: Если , то исп обозначение и интеграл назнесобств интегр Римана первого рода. В эт случае наз сходящ. Если не сущ конечного , то интегр наз расходящ к , или просто расходящ. Если ф-ция определ и непрерывна на всей числ прямой, то может сущ несобств интеграл данной ф-ции с двумя бесконечн пределами интегрирования, определяющийся ф-лой:

, где с — произвольное число.

Несобств интегралы II рода.. Пусть определена на , терпит бесконечн разрыв в точке x=a и . Тогда: Если , то исп-ся обозначение и интеграл назнесобств интеграл Римана втор рода. В эт случае интеграл наз сходящ. Если или , то обозначение сохр, а наз расходящ к ,или просто расходящ.

Пусть определ на , терпит бесконечн разрыв при x=b и . Тогда: Если , то исп обознач и интеграл назнесобств интеграл Римана второго рода. В эт случае интеграл наз сходящ. Если или , то обознач сохр, а наз расходящ к , или просто расходящ. Если ф-ция терпит разрыв во внутр точке отрезка , то несобств интеграл второго рода определ ф-лой:

Диф ур-ия

Диф ур-ние — ур-ние, связывающ знач некотор неизвестн ф-ции в некотор точке и значен её производных различн порядков в той же точке. Диф ур-ние содерж в своей записи неизвестн ф-цию, её производные и независимые переменные; однако не любое ур-ние, содержащ производные неизвестн ф-ции, явл диф-ным ур-ием. Например, неявл диф-ным ур-ием. Стоит отметить,что диф-ное ур-ние может вообще не содерж неизвестную ф-цию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содерж хотя бы одну из производных.

Обыкновенные диф-ные ур-ния (ОДУ) — это ур-ния вида

или

Диф-ные ур-ния в частных производн (УРЧП) — ур-ния, содержащ неизвестн ф-ции от нескольк переменных и их частн производн. Общ вид таких ур-ий можно представить в виде:

Диф ур-ия 1пор.Теор Коши

Простейшие диф-ные ур-ния первого порядка —класс диф-ных ур-ий первого порядка, наиб легко поддающихся реш и исследованию.К нему относ ур-ия в полн дифференциалах, ур-ния с разделяющ переменными,однородн ур-ния первого порядка и линейные ур-ия перв порядка. Все эти ур-ния можно проинтегрировать в конечном виде. Отправной точкой изложения будет служить дифф-ное ур-ние перв порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

Зада́ча Коши́ - одна из осн задач теории диф-ных ур-ий(обыкновенных и с частн производными); сост в нахождении реш (интегр)диф-ого ур-ия, удовлетворяющ так наз начальным условиям(начальным даным).Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых диф-ным законом эволюции и начальным сост-ем(математич выраж-ем кот и явл ур-ние и нач условие).

Справедлива следтеорема о сущ и единственности решения задачи Коши. Теор Коши. Пусть в области D из Rⁿ⁺¹непрер все компоненты вектора прав части F(x,Y)и их частные произв по Y:

Тогда, какова бы ни была нач точка (x₀,Y₀) ≡ (x₀,y_{1, 0} ,y_{2, 0}, … ,y_{n, 0} ) ∈D ,сущ т отрезок [x₀ − h; x₀ + h] ,что задача КошиY' = F(x,Y),что Y(x₀)=Y₀имеетединствреш

Решение лин диф ур-ий

Диф-ное ур-ние обычно имеет бесконечно много реш. Чтобы выдел нужное реш, исп доп усл. Чтобы выдел единств реш ур-ния n–го порядка задают n нач усл-ий y(x₀) = y₀, y '(x₀) = y₁, y ''(x₀) = y₂, … , y^{(n − 1)}(x₀) = y_{n − 1}.

Задачей Коши(или нач задачей)наз задача отыск решy = y(x) ур-ния

F(x, y(x), y '(x), y ''(x), …, y^{(n )}(x)) = 0, x>x₀,

удовлетворяющего условиям

y(x₀) = y₀, y '(x₀) = y₁, y ''(x₀) = y₂, … , y^{(n − 1)}(x₀) = y_{n − 1}.

Условия y(x₀) = y₀, y '(x₀) = y₁, y ''(x₀) = y₂, …, y^{(n − 1)}(x₀) = y_{n − 1} наз нач данными, нач условиями или данными Коши. Люб конкретное решy = φ(x) ур-ния n –го порядка F(x, y(x), y '(x), y ''(x), … , y^{(n )}(x)) = 0, назчастным решением.

Системы диф ур-ий

Линейн однородн сист с пост коэффиц наз сист диф-ных ур-ний вида:

i=1,2,…,n, (11)

где коэффиц-ты - пост, - искомые ф-ции от t.. Сист (11) можно коротко запис ввиде одного матричн ур-ния (12), где

.

Теорема. Если сист частных реш однородного ур-ния (12) явл фундаментальной, то общ реш этого ур-ния имеет вид ,

где – произвольн постоян.

Рассмотрим сист диф-ных ур-ий
y'₁ = f₁(x, y₁, y₂ , ..., y_n),
y'₂ = f₂ (x, y₁, y₂ , ..., y_n),
..............................
y'_n = f_n (x, y₁, y₂ , ..., y_n),
где x — независ переменная, а
y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) — неизвестн ф-ции, n — порядок сист. Обозначив

запишем сист в векторной форме
Y '=F(x,Y ).Решением систназ вектор-ф-ция Y , кот определена и нерерывно дифференцируема на интервале(a, b)и удовлетворяет системе, т.е. для всех x₀ (a, b) справедливо
Y '(x) =F(x,Y (x)).

Степенные ряды.Теор Абеля

Степен ряд с одной перем — это формальн алгебраич выраж вида:

в кот коэффиц берутся из некот кольца .

Первая теор Абеля: Пусть ряд сходится в точке . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге и равномерно по на любкомпактном подмножестве этого круга.

Втор теорема Абеля: Пусть степен ряд сходится в точке . Тогда он сходится равномерно по на отрезке, соединяющ точки 0 и .

Ряды Тейлора и Маклорена

Ряд Те́йлора—разложф-ции в бесконеч суммустепенных ф-ций. Ряд назван в честь англ математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его исп ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. РядыТейлора примен приапроксимации ф-ции многочленами.В частности, линеаризация ур-ий происходит путём разлож в ряд Тейлора и отсеч всех членов выше перв порядка. Пусть ф-ция бесконечн диф-ема в некотокрестности точки . Формальн ряд

наз рядом Тейлора ф-ции в точке .

Ряды Маклорена некот ф-ций

Экспонента:

Биномиальное разлож:Квадратный корень:Тригонометрич ф-ции:Гиперболич ф-ции

Первообразная.Неопред интеграл

Первообразной данной ф-ции f наз такую F, производн кот (на всей обл опред) равна f, то есть F ′ = f. Вычисл первообразной заключ в нахожд неопред интеграла, а сам процес назинтегрированием. Св-ва: 1.Первообразная суммы равна сумме первообразных.2.Первообразная произведения константы и ф-ции равна произвед константы и первообразн ф-ции.

Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке ф-ции явл непрерывность ф-ции на этом отрезке. Необход усл сущ явл принадлежность ф-ции первому классу Бэра и выполн для неё св-ва Дарбу. У заданной на отрезке ф-ции любые две первообразные отлич на постоянную.

Св-ванеопред интеграла:

В привед ниже ф-лах f и g – ф-ции переменx, F - первообразная ф-ции f,
а, k, C - пост величины.

Осн неопред интегралы

Неопред интеграл для ф-ции — сов-ть всех первообразн данной ф-ции.