Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул

В полученные нами формулы оценки ошибки квадратурной формулы входят величины Mk, ограничивающие абсолютную величину производной порядка от подынтегральной функции ( для формул центральных прямоугольников и трапеций, для формулы Симпсона, и для формулы Уэддля). Если величина M_k неизвестна (а как правило, в достаточно сложных задачах не вычисление интегралов она неизвестна или получить её весьма нелегко), то пользоваться этими оценками для определения величины ошибки конкретного вычисления невозможно. Так что всё, что дают нам формулы оценки ошибки — это порядок квадратурных формул. Однако на этом основании можно получить следующее практическое правило, которое позволяет получить оценку ошибки конкретного вычисления, если квадратурную формулу применить два раза с разными шагами .

А именно, если используемая квадратурная формула имеет порядок точности ( — порядок формул центральных прямоугольников и трапеций, — формулы Симпсона, — формулы Уэддля), то соответствующая шагу погрешность имеет оценку , где — некоторая постоянная, не зависящая от . Таким образом, при малых , то есть при достаточно большом числе отрезков разбиения , будет

и

Следовательно, если — приближённое значение интеграла, точное значение которого равно , то

Отсюда получаем, что

и

(5)

Таким образом, проведя вычисления по данной квадратурной формуле с некоторым шагом , а затем удвоив число отрезков деления и проведя вычисления по той же формуле с шагом , мы получим приближённые значения I_h и I и сможем, применив формулу (5), вычислить текущую погрешность, то есть оценку отклонения истинного значения интеграла от последнего из вычисленных приближённых значений (полученного с шагом ).

На такой оценке текущей погрешности, как правило, основаны компьютерные программы, вычисляющие значение определённого интеграла с заданной точностью.

Пример. Вычислить интеграл по формуле Ньютона — Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, разбивая интервал на 8 равных частей. Оценить в процентах погрешность результатов, полученных по приближенным формулам.

Решение. По формуле Ньютона — Лейбница

.

Делим интервал интегрирования [1;9] на 8 равных частей, находим длину одной части

,

точки деления x_i, значения y_i подынтегральной функции в этих точках:

и вычисляем интеграл по приближенным формулам.

1. По формуле прямоугольников:

(1)

(1а)

Абсолютная ошибка значений равна:

для (1) (по недостатку)

,

для (1а) (по избытку)

.

Относительная (процентная) ошибка:

для (1)

,

для (1а)

.

Погрешность формулы прямоугольников

,

где — наибольшее значение в интервале [a,b]:

, , .

2. По формуле трапеций:

Абсолютная ошибка этого результата составляет

,

а относительная

.

Погрешность формулы трапеции

,

где — наибольшее значение в интервале [a,b]:

, , .

3. По формуле Симпсона (n — число четное):

Абсолютная ошибка составляет всего 0,0345, а относительная

.

Погрешность формулы Симпсона

,

где — наибольшее значение в интервале [a,b]:

, , .

Задания для самостоятельного решения

Вычислить интеграл по формуле Ньютона — Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, разбивая интервал на 8 (для вариантов 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30) и 10 (для вариантов 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29) равных частей. Оценить в процентах погрешность результатов, полученных по приближенным формулам.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Тест 1

1. При каких а и b функция является первообразной для

2. При каких целых а, b, c функция является первообразной для функции

3. При каких целых а, b, c функции и является первообразными для одной и той же функции f(x)?

4. Найти

Ответ: где а, b, d – целые числа: а = …, b = …, d = … .

5. Найти

Ответ: где а, b, d – целые числа: а = …, b = …, d = … .

6. Найти

Ответ: где а, b, d – целые числа, дробь несократима, а = …, b = …, d = … .

7. Найти

Ответ: где а, b, d – целые числа, дробь а/b - несократима, а = …, b = …, d = … .

8. Найти

Ответ: где а, b, d – целые числа: а = …, b = …, d = … .

9. Найти

Ответ: где а, b, d – целые числа, а = …, b = …, d = … .

10. Найти

Ответ: где а, b, d – целые числа, а = …, b = …, d = … .

Тест 2

1. Найти максимальное значение интегральной суммы функции у = на отрезке [0, 1],если число отрезков разбиения равно 4.

Ответ: a/b, где a = … , b = … (a и b – положительные целые числа, дробь a/b – несократима).

2. При каких целых значениях параметровa и b справедливо равенство ?

3. Найти такие целые значения a и b, при которых справедливо равенство: .

4. Вычислить определённый интеграл .

Ответ: , где а = … , b = …(a и b – целые числа).

5. При каком значении параметра а интеграл dx равен площади S фигуры, ограниченной линиями .Найти эту площадь S.

Ответ: а = … , S = 9 – ln b, где b = … (a и b - целые числа).

6. Найти длину дуги кривой на отрезке [1,4].

Ответ: a/b, где a = … , b = … (a и b – положительные целые числа, дробь a/b – несократима).

7. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной линиями .

Ответ: аπ/3, где а = ….

8. При каком минимальном значении n формула трапеций обеспечивает вычисление определенного нтеграла с точностью до 0,001?

9. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой и ее горизонтальной асимптотой на промежутке [0; +∞).

10. Вычислить определенный интеграл ,если он сходится.

Тест 3

I Интегрирование по частям

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

II Иррациональные функции

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

III Универсальная подстановка

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)

IV Дифференциальный бином

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

V. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (в декартовой системе координат)

1)
2)	y=4-x2 , y=0
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)		4/3
10)
11)		64/3
12)		4/3
13)		2/3
14)
15)
16)
17)	17)
18)
19)		8/3
20)		e-1
21)
22)		8/3
23)		e-1
24)
25)		3e-3
26)
27)
28)
29)
30)		2(e-1)

VI Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (в полярной системе координат)

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)