Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы

1. Знать определение двойного интеграла и его свойства.

2. Уметь вычислять повторный интеграл.

3. Уметь расставлять пределы интегрирования в двойном интеграле.

4. Уметь вычислять площадь фигур с помощью двойного интеграла.

5. Знать определение криволинейного интеграла первого рода и его свойства.

6. Уметь вычислять криволинейный интеграл первого рода.

7. Знать определение криволинейного интеграла второго рода и его свойства.

8. Уметь вычислять криволинейный интеграл второго рода.

9. Знать и уметь применять формулу Грина.

Задания для самостоятельного выполнения.

1. Вычислить повторный интеграл:

a) Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ;

b) Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ;

c) Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ;

d) Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в повторном интеграле, к которому сводится двойной интеграл Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , где S ограничена линиями у=х2, у=4.

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ху=4, х+у-5=0.

4. Вычислить Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , если АВ – дуга полукубической параболы Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru от А (3, Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ) до В (4; 2).

5. Вычислить криволинейный интеграл Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , если путь от А(1; 1) до В (3; 4) – отрезок прямой.

Образцы решения заданий.

Задание 1. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru в том и другом порядке, если область Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru задана линиями Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru и вычислить площадь этой области.

Решение. Строим область Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru :

x
1/3
y
y= Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru
y=x/3
 
  Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Рисунок 1– Область D

Площадь плоской области Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru с помощью двойного интеграла вычисляется по формуле

Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Расставим пределы интегрирования в том и другом порядке. Переменная Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru изменяется от 0 до 1, в это время Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru изменяется от прямой Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru до параболы Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , так как прямая, параллельная оси ОУ, пересекает сначала прямую Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru (нижний предел), а затем параболу Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru (верхний предел). При изменении порядка интегрирования область Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru придется разбить на две области Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru 1 и Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru 2 прямой, параллельной оси Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , так как правая часть контура области Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru состоит из двух линий, определяемых разными уравнениями Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru и Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Следовательно,

Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ( кв.ед.)

Задание 2.Сделать чертеж области интегрирования. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле I = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru и вычислить в одном из случаев двойной интеграл при Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Решение.Зная пределы интегрирования 0 ≤ у ≤ 2, Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , найдем границы области интегрирования D: у = 0, у = 2, х = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , х = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru и построим их (рисунок 2).

Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Рисунок 2 – Область интегрирования

Найдем координаты точки А, точки пересечения прямой х = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru и полуокружности х = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . Так как в точке пересечения ордината у = 2, то подставив в любое из двух уравнений, найдем х = 1. Итак, точка А имеет координаты А(1;2).

Для того чтобы расставить пределы интегрирования в другом порядке, проведем через область D прямые, параллельные оси Оу. Эти прямые пересекают сначала ось Ох, затем прямую у = 2х или дугу полуокружности у = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru . Следовательно, линией входа будет у = 0 (0 ≤ х ≤ Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ), а линиями выхода будут у = 2х (0 ≤ х ≤ 1) и у = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru (1 ≤ х ≤ Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ). Так как линия выхода задается двумя различными аналитическими выражениями, то область D необходимо разбить прямой х = 1 на две области, и двойной интеграл будет равен сумме интегралов по каждой из этих областей.

Таким образом, получим

I Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Вычислим I = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ,если Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ,то есть

I = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Вычисляем сначала внутренний интеграл по переменной х, считая у постоянной величиной, имеем:

I= Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru =

= Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru =

= Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Ответ: Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Задание 3.Вычислить Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru – отрезок прямой от А(0; 0) до В (4; 3).

Решение.Уравнение прямой АВ имеет вид Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru Находим Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru и, следовательно,

Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Задание 4. Вычислить криволинейный интеграл Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ,

где АВ–дуга параболы Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru от т.А( Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ) до т.В ( Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ).

Решение. Изобразим кривую, вдоль которой ведется интегрирование:

Рисунок 3 – Кривая, вдоль которой ведется интегрирование

Вычисление криволинейного интеграла Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru сведем к вычислению определенного интеграла по формуле

Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru .

Так как АВ–дуга параболы, заданной уравнением Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru от т.А( Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ) до т.В ( Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru ), то Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru , а переменная Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru меняется в пределах от 1 до 2. Следовательно,

Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru = Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Задание 5. Применяя формулу Грина, вычислить Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru – контур треугольника с вершинами L(1; 1), М(2; 2), N(1; 3), пробегаемый против хода часовой стрелки.

Решение. Здесь Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru Находим Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Таким образом,

Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru где область D– треугольник LMN.Уравнение прямой LM: y=x, уравнение MN: y=–x+4.Вычислим двойной интеграл по данной области:

Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы - student2.ru

Наши рекомендации