Лекция 3. синусоидальный ток. формы его

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.

В практике электротехники в качестве переменного тока широкое применение нашел ток синусоидальной формы. Это обусловлено рядом

преимуществ:

− генераторы синусоидального тока значительно дешевле в производстве, чем генераторы постоянного тока;

− переменный ток легко преобразуется в постоянный;

− трансформация и передача электрической энергии переменным током требует меньших затрат, чем передача постоянным током;

− двигатели переменного тока имеют простую конструкцию, высокую надежность и относительно низкую стоимость.

В настоящее время переменный ток применяется в промышленном приводе и в электроосвещении, в сельском хозяйстве и на транспорте, в технике связи и в быту. Производство электрической энергии также осуществляется на переменном токе. Огромную роль в деле внедрения переменного тока сыграли русские ученые П.Н. Яблочков и М.О. Доливо-Добровольский.

1. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Переменным называют ток (напряжение, Э.Д.С.), изменяющийся во времени по величине и направлению. Синусоидальный ток может быть представлен посредством действительной функции времени – синусной или косинусной, например,

, (3.1)

где I_m – максимальная амплитуда тока (амплитудное значение);

w – угловая частота, причем ; f – частота колебаний [Гц]; Т – период [C]; j_i – начальная фаза, определяет значение тока в момент времени t=0, т.е.

i(t=0) = I_m× sin j_i.

На рис. 3.1 приведен график двух колебаний с разными начальными

фазами j_{1 и} j₂, причем j₁ < j₂. Амплитуда гармоник проходит через нуль, когда

wt + j = pn, (n = 0,1,2...),

т.е. в моменты

.

Так как j₁< j₂, то t₂ имеет место раньше t₁.

Рис. 3.1. Графики мгновенных значений синусоидального тока i₁(t) = I_m∙sin ωt

и I₂(t) = I_m∙sin(ωt+30º)

Начальная фаза часто задается в градусах. Поэтому при определении мгновенного значения тока аргумент синуса (слагаемые wt и j) нужно привести к одной единице измерения (радиан или градус).

Иногда гармоническое колебание представляется в косинусной форме. Легко видеть, что для перехода к такой форме в (3.1) достаточно изменить лишь начальную фазу, т.е.

Промышленная частота переменного тока в России и всех странах Европы равна 50 Гц, в США и Японии - 60 Гц, в авиации - 400 Гц. Снижение промышленной частоты ниже 50 Гц ухудшает качество освещения. Увеличение частоты ухудшает условия передачи электроэнергии на большие расстояния.

Выражение для синусоидального напряжения аналогично (3.1), т.е.

u(t) = U_m × sin (wt + j_u). (3.2)

Кроме уже названных параметров в практике электротехники часто пользуются понятиями среднего и действующего значений тока и напряжения. Рассмотрим их.

Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение за половину периода:

(3.3)

Видим, что среднее значение синусоидального тока составляет 2/p » 0,64 от амплитудного значения. Аналогично определяется среднее значение синусоидального напряжения:

.

Действующим называют среднее квадратичное значение синусоидального тока (напряжения) за период

.

Так как

,

то

. (3.4)

Видим, что действующее значение синусоидального тока составляет 0,707 от амплитудного значения. Аналогично определяется действующее

значение синусоидального напряжения:

.

Если говорят о значениях переменного тока или напряжения, то, как правило, подразумевают их действующие значения. Например, напряжение в однофазной сети переменного тока 220 В - действующее. При этом амплитудное значение U_m @ 310 В.

2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА (НАПРЯЖЕНИЯ)

РАДИУС-ВЕКТОРОМ

При анализе состояния электрических цепей переменного тока возникает необходимость вычисления суммы или разности колебаний одинаковых

частот, но с разными амплитудами и разными начальными фазами. Решать такую задачу с помощью рассмотренной формы представления (т.е. с помощью тригонометрических функций) достаточно трудно.

Пусть нужно найти ток i(t) = i₁(t) + i₂(t), причем:

i₁(t) = I_m1× sin (w t + j₁),

i₂(t) = I_m2× sin (w t + j₂).

Так как частоты колебаний одинаковы, то задача сводится к нахождению суммарных амплитудного значения тока I_m и начальной фазы j. Если применить для решения известные тригонометрические преобразования, то получим:

,

.

Видим, что даже окончательный результат имеет громоздкий и не наглядный вид.

Значительное упрощение достигается применением графического метода. Векторное представление синусоидальных величин известно из тригонометрии. Синусоидальный ток (напряжение) изображается в виде радиус-вектора, вращающегося против часовой стрелки с частотой w. Длина вектора равна амплитудному значению - I_m. Один оборот вектор совершает за время одного периода (рис.3.2).

Положение радиус-вектора относительно оси Х в момент начала отсчета t=0 определяется углом j. Проекция вектора на ось Y определяется выражением (3.1).

На одной векторной диаграмме могут быть изображены векторы нескольких колебаний, например, i₁(t) и i₂(t) (рис. 3.3). Для упрощения анализа все векторы изображаются в момент времени t=0. Тогда сумма двух векторов определится по правилу параллелограмма.

Результирующий радиус-вектор также вращается относительно начала координат с частотой w, а его проекция на ось Y определяется выражением

i(t) = I_m × sin (w t + j),

где j - положение суммарного вектора относительно оси Х в момент времени t=0.

Простота решения очевидна. Однако графический метод обладает существенным недостатком – низкой точностью. Поэтому его применяют чаще всего для качественного анализа электрических цепей с помощью топографических векторных диаграмм напряжений.

Для построения топографической векторной диаграммы в анализируемой электрической цепи выделяют несколько участков по направлению обхода. Падение напряжения на каждом участке может быть определено вектором. Устанавливая каждый последующий (по направлению обхода) вектор в точку конца предыдущего вектора получим топографическую векторную диаграмму напряжений. Вектор между любыми двумя точками этой диаграммы характеризует напряжение между соответствующими точками электрической цепи.

3. КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНОГО

ТОКА

Комплексное представление синусоидальных токов и напряжений позволяет совместить простоту и наглядность векторного представления с точностью представления действительными функциями времени. Для перехода от графического представления к комплексному заменим оси декартовой системы координат (рис.3.2) следующим образом:

– ось Х на ось действительных чисел R_e;

– ось Y на ось мнимых чисел J_m (рис.3.4).

При этом длина вектора тока (напряжения) по-прежнему определяется амплитудным значением, но обозначается как комплексная величина, т.е. . Угол наклона вектора к оси реальных чисел R_e в момент времени t=0 остается прежним, т.е. j.

Обозначим проекцию вектора на ось реальных чисел i' = I_m×cosj, а проекцию на ось мнимых чисел = I_m× sin j. Тогда очевидно, что

(3.5)

где j – мнимая единица, причем –

Выражение (3.5) определяет комплексную алгебраическую форму представления синусоидального тока. Она удобна для выполнения действий сложения и вычитания токов (напряжений). Действительно, для сложения двух комплексных чисел достаточно отдельно сложить их действительные и мнимые части.

Подставим в (3.5) вместо и их значения. Тогда получим:

, (3.6)

где – модуль комплексного представления тока, численно равный амплитудному значению.

Выражение (3.6) определяет комплексную тригонометрическую форму представления синусоидального тока. Вектор тока , величины i′ и i″ на рис. 3.4 образуют прямоугольный треугольник. Поэтому, применяя известные выражения для сторон треугольника, можем записать:

, а . (3.7)

Видим, что выражения (3.7) характеризуют параметры синусоидального тока, не зависящие от времени - действительную амплитуду и начальную фазу j. Они позволяют легко перейти от комплексной формы представления к представлению действительными функциями времени.

Введем в (3.5) зависимость от времени. Тогда

, (3.8)

где

Теперь очевидно, что реальная часть (3.8) характеризует реально существующее колебание, описываемое действительной косинусной функцией, а мнимая часть – это же колебание в синусной форме.

С помощью формулы Эйлера от (3.6) переходят к показательной форме комплексного представления тока:

. (3.9)

С учетом зависимости от времени выражение (3.9) принимает вид:

_. (3.10)

Показательная комплексная форма удобна для выполнения действий умножения, деления, возведения в степень или извлечения корня. Действительно,

для умножения двух комплексных чисел в показательной форме (3.9) доста-точно перемножить их модули, а аргументы (показатели степени) сложить.

Представим токи и напряжения на пассивных элементах, обладающих резистивным сопротивлением, емкостью и индуктивностью в комплексной

форме. Пусть имеем:

;

Для элемента с резистивным сопротивлением справедливо равенство:

.

Освободим это выражение от временной зависимости:

. (3.11)

Но равенство (3.11) возможно только в том случае, когда . Таким образом, мы пришли к важному выводу о том, что на элементе с резистивным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе. Максимумы тока и напряжения имеют место в один и тот же момент времени. Векторы тока и напряжения будут совпадать (рис. 3.5).

Для элемента, обладающего емкостью, известно выражение:

Применяя к нему комплексную форму представления тока и напряжения,

получим:

.

Учитывая, что приходим к выражению:

,

или:

(3.12)

Таким образом видим, что напряжение на емкости отстает от тока на 90^о (см. рис. 3.6).

Для элемента, обладающего индуктивностью, воспользуемся выражением (1.11). Тогда

или

. (3.13)

Видим, что напряжение на индуктивности опережает ток на 90^о (рис. 3.7).

В заключение лекции отметим, что выражения (3.11), (3.12) и (3.13) не имеют временных зависимостей. Это упрощает расчеты электрических цепей, сводя их к алгебраическим операциям с комплексными числами. Именно поэтому комплексное представление широко используется при анализе электрических цепей переменного тока.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

3.1. Определите значение тока i(t) = 10 sin (314t + 30) в момент времени t = 0,005 С.

3.2. Сформулируйте определения и приведите выражения для среднего и действующего значений тока. Определите среднее и действующее значения тока по п. 3.1.

3.3. Приведите векторное изображение тока по п. 3.1. Сложите этот ток с током i(t) = 5 sin (314t – 30).

3.4. Можно ли на одной векторной диаграмме изобразить синусоидальные токи, имеющие разные частоты?

3.5. Что называют топографической векторной диаграммой электрической цепи? Сформулируйте правила построения векторных диаграмм.

3.6. Для каких действий над синусоидальным током удобно применять комплексную алгебраическую форму его представления?

3.7. Представьте ток по п.3.1. в комплексной алгебраической форме. Сложите его с током по п. 3.3.

3.8. Задан ток 0,707 + j0,707. Представьте этот ток посредством действительной синусной функции.

3.9. Для каких действий над синусоидальным током удобно применять комплексную показательную форму его представления?

3.10. Приведите соотношения между токами и напряжениями на R, L, и C элементах в комплексной показательной форме.

3.11. Каковы фазовые соотношения между током и напряжением на R, L и С элементах?

ЛЕКЦИЯ 4. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА СОПРОТИВЛЕНИЯ И ПРОВОДИМОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

1. КОМПЛЕКСНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Введение комплексного представления токов и напряжений требует определить и сопротивление R, С и L элементов электрических цепей в комплексной форме – Z_R, Z_C и Z_L.

Хорошо известно, что сопротивление резистора определяется как отношение напряжения на резисторе к току, протекающему через него. Если напряжение и ток представлены в комплексной форме, то

Но в предыдущей лекции было установлено, что на резистивном элементе напряжение и ток совпадают по фазе, т. е. . Поэтому

(4.1)

Таким образом видим, что комплексное сопротивление резистора выражается только действительным числом. Оно не вносит фазовых искажений между током и напряжением. Чтобы подчеркнуть этот факт, такое сопротивление часто называют активным.

Комплексное сопротивление емкости определяется следующим отношением:

. (4.2)

Видим, что комплексное сопротивление емкости переменному току выражается мнимым числом. Мнимая единица -j физически определяет сдвиг фаз между током и напряжением на 90^о. Это хорошо согласуется с ее математическим значением:

Таким образом, напряжение на емкости отстает от тока на 90^о. Это означает, что сначала растет ток, протекающий через конденсатор, затем, с некоторым отставанием увеличивается заряд и напряжение.

Коэффициент 1/ определяет величину сопротивления в Омах. Он

обратно пропорционален частоте, называется емкостным сопротивлением и

обозначается Х_С, т.е.

. (4.3)

Комплексное сопротивление индуктивности определяется отношением:

. (4.4)

И в этом случае сопротивление выражается мнимым числом. Но так как это число положительное, это означает, что на индуктивности напряжение опережает ток на 90^о.

Коэффициент wL определяет величину сопротивления в Омах. Он пропорционален частоте, называется индуктивным сопротивлением и обозначается Х_L, т.е.

. (4.5)

Чтобы подчеркнуть тот факт, что сопротивления емкости и индуктивности выражаются мнимыми числами, их называют реактивными сопротивлениями, а конденсатор и индуктивность – реактивными элементами цепи.

Теперь определим комплексное сопротивление электрической цепи, содержащей активные и реактивные элементы, например, последовательно включенные R, L и С элементы (рис.4.1). Такая цепь представляет замкнутый контур, поэтому для нее справедлив второй закон Кирхгофа:

. (4.6)

В последнем выражении проведем замену символов мгновенных напряжений и Э.Д.С. на их комплексные изображения по правилам, определенным в лекции 2. Такой прием получил название символического метода.

Так как ток, протекающий через все элементы последовательной цепи, одинаков, то (4.6) приходит к виду:

Разделим обе части равенства на Ì_m(t):

.

По определению выражение в правой части последнего равенства есть ни что иное, как комплексное сопротивление цепи рис.4.1, т.е.

(4.7)

где R – действительная часть или активное сопротивление цепи, – мнимая часть или реактивное сопротивление цепи.

Выражение (4.7) представляет комплексное сопротивление в алгебраической форме.

Соотношения между составляющими комплексного сопротивления находятся в полном соответствии с соотношениями для комплексного представления тока. Но для большей наглядности вводится понятие треугольника сопротивления (рис.4.2). В треугольнике гипотенуза определяется модулем комплексного сопротивления Z, причем

. (4.8)

Катет, прилежащий к острому углу определяет активное сопротивление цепи R:

(4.9)

Противолежащий катет определяет реактивное сопротивление цепи Х:

(4.10)

Угол φ_Z определяет сдвиг фаз между током и напряжением, который

вносится комплексным сопротивлением цепи:

. (4.11)

Учитывая выражения (4.8) ¸ (4.11), легко перейти от алгебраической к

тригонометрической форме комплексного сопротивления:

Z = Z (4.12)

Применив формулу Эйлера, получим показательную комплексную форму представления сопротивления:

Z (4.13)

Теперь можно записать закон Ома для участка цепи без источника Э.Д.С. в комплексном изображении:

. (4.14)

Выражение (4.14) показывает, что в цепях переменного тока модуль тока определяется отношением модуля напряжения (его амплитудного значения) к модулю комплексного сопротивления, а фаза тока определяется разностью фаз напряжения и комплексного сопротивления. Отсюда вытекает еще одно полезное для практики выражение:

. (4.15)

2. КОМПЛЕКСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ

В цепях постоянного тока проводимость резистора определяется отношением тока к напряжению:

Эта величина обратно пропорциональна сопротивлению. В цепях переменного тока следует пользоваться понятием комплексной проводимости, которая обозначается Y и, в общем случае, содержит действительную G и мнимую В части:

Как и в цепях постоянного тока, комплексная проводимость участка цепи обратно пропорциональна комплексному сопротивлению, т.е.

Отсюда

, , , (4.16)

где У - модуль комплексной проводимости.

Соотношение между составляющими комплексной формы представления проводимости аналогичны соотношениям между составляющими комплексного сопротивления. Комплексные проводимости элементов R, L и С обратно пропорциональны их комплексным сопротивлениям.

Комплексная проводимость резистора обратна его комплексному сопротивлению:

(4.17)

Комплексная проводимость конденсатора определяется законом Ома:

(4.18)

Комплексная проводимость индуктивности находится аналогично (4.18):

(4.19)

В заключение отметим, что комплексное сопротивление удобно применять для анализа участков электрической цепи с последовательным включением элементов, а комплексную проводимость – для анализа участков с параллельным включением элементов.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

4.1. Что привело к необходимости ввести понятия комплексного сопротивления и комплексной проводимости R, L и С элементов электрической цепи?

4.2. Приведите соотношения, определяющие комплексное сопротивление R, L и С элементов. Сформулируйте физический смысл мнимой единицы j.

4.3. Приведите соотношения между составляющими комплексного сопротивления.

4.4. Сформулируйте закон Ома в комплексной форме.

4.5. Можно ли при анализе электрических цепей синусоидального тока воспользоваться методами, применяемыми в цепях постоянного тока?

4.6. В схеме рис. 4.1 известно: e(t) = 10 sin 314t, R = 10 Ом, L = 0,1 Гн, а С = 50,7·10⁶Ф. Определите комплексное сопротивление цепи в алгебраической и показательной форме.

4.7. Используя данные п. 4.6 определите ток цепи рис. 4.1.

4.8. Используя данные п. 4.6 определите напряжение на R, L и С элементах цепи рис. 4.1.

4.9. В каких случаях целесообразно применять комплексную проводимость R, L и С элементов цепи?

4.10. Приведите соотношения, определяющие комплексную проводимость R, L и С элементов.

ЛЕКЦИЯ 5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

1. МГНОВЕННАЯ МОЩНОСТЬ ЦЕПИ С R, L И С

ЭЛЕМЕНТАМИ

В общем случае мгновенная мощность определяется произведением тока на напряжение:

. (5.1)

Определим мгновенную мощность для цепи с последовательно включенными R, L и С элементами (рис.4.1). Пусть в этой цепи протекает ток

. (5.2)

Он одинаков для всех элементов цепи.

Напряжение цепи определяется суммой падений напряжений на отдельных элементах

. (5.3)

С учетом выражений (1.8) и (1.11) перепишем (5.3):

. (5.4)

Подставляя в (5.4) выражение для i(t) и решая его, получим

. (5.5)

Проведем более детальный анализ выражения (5.5). Этому выражению соответствует векторная диаграмма рис.5.1.

В диаграмме в качестве исходного принят вектор тока . Вектор напряжения на индуктивности опережает ток, а вектор напряжения на емкости отстает от тока на 90^о. Вектор напряжения на резисторе совпадает по фазе с током.

Проведем сложение векторов. Для этого начало вектора переместим в точку конца вектора , а начало вектора - в точку конца вектора . Результатом сложения является вектор ,выходящий из начала вектора в конец вектора . Угол j определяет сдвиг фаз между током и результирующим напряжением, т. е.

Соединим точки концов двух векторов – и . Обозначим вновь полученный вектор . Образовавшийся треугольник из векторов и называют треугольником напряжений. Для него справедливы следующие выражения:

причем , (5.6)

, (5.7)

, (5.8)

. (5.9)

Теперь возвратимся к формированию выражения для мгновенной мощности. Подставим (5.2) и (5.5) в (5.1). Тогда выражение для мгновенной

мощности цепи рис. 4.1 примет вид:

. (5.10)

Выражение (5.10) показывает, что мгновенная мощность цепи определяется суммой слагаемых мощностей каждого из элементов. Оценка каждого из слагаемых требует более детального анализа выражения (5.10).

2. АКТИВНАЯ, РЕАКТИВНАЯ, ПОЛНАЯ МОЩНОСТЬ

Для анализа (5.10) применим известные из курса тригонометрии

формулы преобразования:

.

Применяя их к (5.10), получим:

, (5.11)

где I – действующее значение тока, причем

Первые два слагаемых в (5.11) определяют мгновенную мощность, выделяемую на элементе R. Можно записать, что:

. (5.12)

Как видно из (5.12), мгновенная мощность p_R(t) содержит постоянную составляющую Р = RI² и переменную, меняющуюся с удвоенной частотой. График р_R(t) приведен на рис. 5.2. График наглядно показывает, что мощность р_R(t) всегда положительна и изменяется от 0 (в момент t=0, k×T/2) до 2RI² (в моменты (2k-1)× T/4), где Т=2p/w - период тока.

Среднее за период значение мощности обозначают Р и называют активной мощностью, причем

(5.13)

Обратимся к векторной диаграмме рис. 5.1. Учтем, что падение напряжения на резистивном элементе цепи рис. 4.1 – U_R = R∙I = Uа∙cosφ. Сучетом правой части равенства (5.6) перепишем (5.12) в виде:

. (5.14)

Первое слагаемое в правой части (5.14) полностью соответствует (5.13), т.е. определяет активную мощность цепи:

[Вт]. (5.15)

Выражение (5.15) используется на практике намного чаще, так как определяет зависимость активной мощности от сдвига фаз между действующими значениями тока и напряжения цепи. В силу этого коэффициент cos j называют коэффициентом мощности и обозначают l:

. (5.16)

Продолжим анализ слагаемых в выражении для мгновенной мощности цепи – (5.11). В нем третье и четвертое слагаемые определяют мощность, выделяемую на реактивных элементах:

– индуктивности:

(5.17)

– емкости:

. (5.18)

Каждое из этих слагаемых изменяется с удвоенной (относительно тока) частотой, но они имеют взаимно противоположные фазы (рис. 5.3). Так как постоянная составляющая в (5.17) и (5.18) отсутствует, то среднее значение каждого из них равно нулю. Однако сумма p_L(t) и p_C(t) отлична от нуля и определяет мгновенную мощность реактивных элементов (участков) цепи – p_r(t).

Определим эту мощность:

. (5.19)