Лекция 1. элементы электрических цепей

1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Электротехническое устройство и происходящие в нем физические процессы в теории электротехники заменяют расчетным эквивалентом – электрической цепью. Электрическая цепь - это совокупность соединенных друг с другом проводниками источников электрической энергии и нагрузок, по которым может протекать электрический ток. Электромагнитные процессы в электрической цепи можно описать с помощью следующих понятий: ток, напряжение, Э.Д.С., сопротивление, проводимость, индуктивность, емкость.

Электрический ток может быть постоянным и переменным. Постоянным называют ток, неизменный во времени. Он представляет направленное упорядоченное движение носителей электрического заряда. Как известно из курса физики, носителями зарядов в металлах являются электроны, в полупроводниках электроны и дырки (ионы), в жидкостях – ионы.

Упорядоченное движение носителей зарядов в проводниках вызывается электрическим полем. Поле создается источниками электрической энергии. Источник преобразует химическую, механическую, кинетическую, световую или другую энергию в электрическую энергию. Он характеризуется Э.Д.С. и внутренним сопротивлением. Э.Д.С. источника может быть постоянной или переменной во времени. Переменная Э.Д.С. может изменяться во времени по любому физически реализуемому закону. Ток, протекающий по цепи под воздействием переменной Э.Д.С., также переменный.

Для обозначения основных физических величин в теории электротехники используют определенные символы. Приведем их краткий перечень:

– постоянный ток принято обозначать символом I,

– переменный ток – i(t),

– постоянную Э.Д.С. – Е,

– переменную Э.Д.С. – е(t),

– напряжение постоянного тока – U,

– напряжение переменного тока – u(t),

– сопротивление – R,

– проводимость – G,

– индуктивность – L,

– емкость – С.

В международной системе единиц (СИ) ток измеряют в «Амперах» (А), Э.Д.С. и напряжение – в «Вольтах» (В). К единицам измерения параметров электрических цепей относятся:

– Ом (Ом) – единица сопротивления;

– Сименс (См) – единица проводимости;

– Генри (Гн) – единица индуктивности;

– Фарада (Ф) – единица емкости.

При анализе электрических цепей, как правило, оценивают значение токов, напряжений и мощностей. В этом случае нет необходимости учитывать конкретное устройство различных нагрузок. Важно знать лишь их сопротивление – R, индуктивность – L или емкость – С. Такие элементы цепи называют приемниками электрической энергии.

Для включения и отключения элементов электрических цепей применяют коммутационную аппаратуру – рубильники, выключатели, тумблеры. Примеры графического изображения однополюсного выключателя, трехфазного рубильника и переключателя, приведены на рис. 1.1. Кроме этих элементов в электрическую цепь могут включаться электрические приборы для измерения тока, напряжения, мощности и других параметров.

Изображение электрической цепи с помощью условных графических обозначений называют электрической схемой (рис. 1.2).

Зависимость тока, протекающего по приемнику электрической энергии, от напряжения на этом приемнике принято называть вольтамперной характеристикой (ВАХ) (рис. 1.3). Приемники электрической энергии, вольтамперные характеристики которых являются прямыми линиями (линия а на рис. 1.3), называются линейными.

Электрические цепи, в состав которых включены только линейные элементы, называются линейными электрическими цепями.

Электрические цепи, в состав которых входит хотя бы один нелинейный элемент (график б на рис. 1.3), называются нелинейными

электрическими цепями.

2. ИСТОЧНИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Одной из основных характеристик источников электрической энергии является Э.Д.С. Количественно Э.Д.С. характеризуется работой А, которая совершается сторонними силами при перемещении заряда в один Кулон в пределах источника

. (1.1)

Графически Э.Д.С. изображают стрелкой в кружке. Направление стрелки совпадает с направлением сторонних сил. Перемещение заряда определяет ток источника. Прохождение тока сопровождается потерями на нагрев источника. Количественно потери удобно определять внутренним сопротивлением R_вн. Поэтому условное графическое обозначение источника Э.Д.С. представляет последовательное включение Э.Д.С. Е и внутреннего сопротивления R_вн (рис. 1.4).

На рисунке символами 1 – 1′ обозначены зажимы источника. Разность потенциалов на зажимах источника называется напряжением U[B]. Стрелками показаны положительные направления тока и напряжения. Когда ключ К разомкнут, ток в цепи равен нулю и напряжение на зажимах источника равно Э.Д.С. Замкнем ключ К. В цепи возникнет ток

. (1.2)

При этом напряжение на зажимах источника станет равным

. (1.3)

Зависимость напряжения U на зажимах источника от тока I изображена на рис. 1.5, а. С увеличением тока напряжение на зажимах источника уменьшается. ВАХ источника Э.Д.С. представляет прямую линию, наклоненную к оси токов под углом a, причем

a = arctg Rвн.

Если у источника Э.Д.С. R_вн = 0, то его ВАХ имеет вид прямой, параллельной оси токов (рис. 1.5, б). Такой источник называют идеальным. Напряжение на зажимах такого источника не зависит от тока.

Если у некоторого источника увеличивать Е и R_вн до бесконечности, то его ВАХ примет вид рис. 1.5, в. Такой источник питания называют источником тока. Ток такого источника I_T определяется отношением

(1.4)

.

и не зависит от сопротивления нагрузки, так как Rвн >> Rн. Реальный источник тока имеет конечные значения Е и R_вн, а его условное графическое обозначение приведено на рис. 1.5, г.

В практике электротехники используются реальные источники тока. Например, на подъемно – транспортных машинах и механизмах в качестве источников применяют свинцово-кислотные аккумуляторы и генераторные установки.

Свинцовый аккумулятор – это химический источник тока. Он представляет совокупность реагентов (окислителя и восстановителя) и электролита. Восстановитель (отрицательный электрод) в процессе токообразующей реакции отдает электроны и окисляется, а окислитель (положительный электрод) восстанавливается. Восстановителем служит губчатый свинец Рb, а окислителем – двуокись свинца РbО₂. Электролит – водный раствор серной кислоты Н₂SО₄ с массовой концентрацией от 28 до 40 %.

При погружении губчатого свинца в раствор электролита от свинца начинают отщепляться ионы и переходить в раствор. При этом электрод заряжается отрицательно, а раствор электролита – положительно. Возникающая разность потенциалов ∆φ препятствует выделению ионов из свинца. При определенном значении разности потенциалов ∆φ₀ наступает состояние равновесия между силами электролитической упругости растворения, с одной стороны, и силами электростатического поля, – с другой. Растворение свинца прекращается.

При погружении положительного электрода РbО₂ в раствор серной кислоты двуокись свинца в ограниченном количестве переходит в раствор, где соединяясь с водой ионизируется на четырехвалентные ионы свинца Рb⁴⁺ и одновалентные ионы гидроокисла ОН-. Четырехвалентные ионы свинца осаждаются на электроде и создают положительный потенциал относительно раствора.

При разряде аккумулятора процессы протекают в обратном порядке, т. е. расходуется серная кислота, образуется вода Н₂О, а на обоих электродах – сульфат свинца РbSО₄. Поэтому измерение плотности или концентрации электролита служит удобным и точным средством определения степени заряженности аккумулятора.

Устройство стартерных свинцово-кислотных батарей показано на рис. 1.6. Батарея представляет совокупность из нескольких последовательно соединенных отдельных аккумуляторов. Все токоведущие детали изготавливаются из свинца или свинцовых сплавов. Электроды 1 с активными веществами конструктивно выполняются в виде пластин, представляющих собой профилированные решетки, в которые вмазана паста, образующая активную массу. Решетки отливают из свинцовых сплавов.

В полностью заряженном свинцовом аккумуляторе диоксид свинца положительного электрода имеет темно-коричневый цвет, а губчатый свинец отрицательного электрода – серый. С помощью бареток 2 собираются полублоки положительных 3 и отрицательных 4 пластин. Баретка имеет борн и мостик 5. К мостику припаиваются ушки пластин, и он определяет расстояние между ними. Борн является токоотводом полублока пластин.

Между пластинами в блоках устанавливаются сепараторы 7 – разделители из кислотостойкого материала (мипора, минпласта, поровинила). Они исключают соприкосновение разноименных электродов и исключают короткое замыкание между ними.

К основным параметрам стартерных батарей относятся ЭДС Е_б, напряжение аккумулятора U_а, внутреннее сопротивление R_вн, емкость С, энергозапас W, коэффициенты отдачи по емкости μ и др.

При расчете электрических цепей реальный источник электрической энергии (аккумуляторная батарея) заменяют расчетным эквивалентом - источником Э.Д.С. или источником тока (рис. 1.7 а, б). При этом учитывают только два параметра - Е и R_вн . Ток в нагрузке R_н одинаков и равен

.

Для схемы рис. 1.7, а это очевидно и следует из того, что R_вн и R_н включены последовательно. Для схемы цепи по рис. 1.7, б известно, что ток I_T = Е/R_вн распределяется обратно пропорционально параллельно включенным R_вн и R_н, т.е.:

= .

Каким из двух источников воспользоваться, выбирает инженер.

Пример.

В схеме рис.1.7, а источник Э.Д.С. имеет параметры Е = 12В, R_вн =

0,02 Ом. Определить параметры эквивалентного источника тока в схеме рис. 1.6, б.

Решение:

.

Следовательно, параметры эквивалентной схемы рис. 1.7, б имеют значение:

I_T = 600А; R_вн = 0.02 Ом.

Источники питания могут иметь постоянную Э.Д.С. - Е или переменную е(t), изменяющуюся во времени по заданному закону. В первом случае в цепи протекает постоянный ток, и она называется цепью постоянного тока. Во втором случае ток i(t) и напряжение u(t) переменные, поэтому цепь называется цепью переменного тока. В электротехнике чаще других применяются синусоидальные ток и напряжение.

3. ПРИЕМНИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

К приемникам электрической энергии относятся любые устройства, потребляющие электрическую энергию. На подъемно – транспортных машинах и механизмах электрическую энергию потребляют стартерные двигатели и схемы управления электростартерами, устройства для облегчения пуска двигателей при низких температурах, системы зажигания и топливоподачи, датчики и исполнительные устройства систем управления двигателем и т. д. и т. п.

Ранее отмечалось, что при анализе электрических цепей нет необходимости учитывать конкретное устройство различных нагрузок. Важно знать лишь их сопротивление – R, индуктивность – L или емкость – С. Теперь дополнительно необходимо отметить, что все приемники электрической энергии делятся на пассивные и активные.

Пассивными называют приемники, в которых под действием приложенного напряжения не возникает Э.Д.С. ВАХ пассивных приемников проходят через начало координат. При отсутствии напряжения ток этих элементов равен нулю.

Основной характеристикой пассивных элементов является сопротивление. Пассивные элементы, сопротивление которых не зависит от приложенного напряжения, называются линейными. Реально таких элементов не существует. Но весьма близки к ним резисторы, реостаты, лампы накаливания и др. Зависимость напряжения от тока в таких элементах определяется законом Ома, т.е. U = IR, где R – сопротивление элемента. Эта зависимость не меняется, если напряжение и ток – переменные.

К приемникам электрической энергии относятся емкостные и индуктивные элементы. При постоянном напряжении, приложенном к емкости, на ее обкладках накапливается заряд

. (1.5)

Ток через емкость не протекает. Это означает, что сопротивление емкости в цепи постоянного тока равно бесконечности. Если к емкости приложено переменное напряжение u(t), то и заряд на ее обкладках становится

переменным

. (1.6)

В этом случае в цепи возникает ток

. (1.7)

Выражение (1.7) позволяет определить падение напряжения на емкости, если в цепи протекает переменный ток

. (1.8)

Очевидно, что сопротивление емкостного элемента переменному току определяется законом Ома, но зависит не только от величины, но и от формы тока и напряжения.

Основным параметром индуктивного элемента является индуктивность – L. Если через индуктивность L протекает постоянный ток I, то в ней возникает постоянное во времени потокосцепление самоиндукции

. (1.9)

Будем полагать, что элемент L идеальный, т.е. сопротивление провода витков обмотки катушки индуктивности r отсутствует. Очевидно, что при этом падение напряжения на элементе равно нулю.

Предположим, что индуктивный элемент подключен к источнику переменного тока i(t). Потокосцепление также будет переменным – y(t) = L×i(t). Изменяющееся потокосцепление наводит в катушке Э.Д.С. самоиндукции

. (1.10)

Так как r=0, то Э.Д.С. е_L(t) уравновешивает напряжение, приложенное к индуктивности

. (1.11)

Выражение (1.11) позволяет определить ток индуктивности, если известно приложенное к ней напряжение u(t).

. (1.12)

Кроме пассивных приемников в электротехнике применяются активные приемники. К ним относятся электродвигатели, аккумуляторы в процессе их заряда и др. В цепи переменного тока при определенных условиях роль активных элементов выполняют индуктивность и емкость. В активных элементах возникает противо-Э.Д.С. Е. Приложенное к приемнику напряжение уравновешивается противо-Э.Д.С. и падением напряжения на сопротивлении элемента, т.е.

. (1.13)

4. ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Основными топологическими понятиями теории электрических цепей являются ветвь, узел, контур, двухполюсник, четырехполюсник, граф схемы электрических цепей, дерево графа схемы. Рассмотрим некоторые из них.

Ветвью называют участок электрической цепи с одним и тем же током. Она может состоять из одного или нескольких последовательно включенных элементов. Так, схема цепи на рис. 1.8 состоит из пяти ветвей.

Узлом называют место соединения двух элементов. Место соединения трех и более ветвей называют сложным узлом. Сложный узел обозначается на схеме точкой. Сложные узлы, имеющие равные потенциалы, объединяются в один потенциальный узел. На схеме рис.1.8 узлы 1′ и 2′ могут быть объединены в один потенциальный узел. Поэтому схема имеет три сложных потенциальных узла.

Контуром называют замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей и узлов электрической цепи. Для схемы рис. 1.8 один из контуров включает позиции 2; R₅; 2′; R₄. Независимым называется контур, в состав которого входит хотя бы одна ветвь, не принадлежащая соседним контурам. Так, схема рис.1.8 содержит три независимых контура.

Двухполюсником называют часть электрической цепи с двумя выделенными зажимами – полюсами. Двухполюсник обозначают прямоугольником с индексами «А» или «П». Индекс «А» применяют для обозначения активного двухполюсника, в составе которого есть источники Э.Д.С. Индекс «П» применяют для обозначения пассивного двухполюсника. Например, часть схемы рис.1.8 с зажимами а и б может быть представлена пассивным двухполюсником (рис.1.9).

Рис.1.9. Пассивный двухполюсник

6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА

Все электрические цепи подчиняются законам Ома и Кирхгофа. Краткая информация об этих законах заключается в следующем.

Закон Ома для участка цепи без Э.Д.С. устанавливает связь между током и напряжением на этом участке

или . (1.14)

Закон Ома для участка цепи, содержащего Э.Д.С., позволяет найти ток этого участка

. (1.15)

здесь а, б - крайние точки участка; Е – значение Э.Д.С.

В (1.15) знак «плюс» ставится при совпадении направления тока, протекающего по участку, с направлением Э.Д.С.

Первый закон Кирхгофа имеет две формулировки.

1. Сумма токов, протекающих через любой узел, равна нулю.

2. Сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него.

Второй закон Кирхгофа можно сформулировать так:

Алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме Э.Д.С. вдоль этого контура, т.е.

В каждую из сумм слагаемые входят со знаком «плюс», если они совпадают с направлением обхода контура.

7. ПОНЯТИЯ ОБ УСТАНОВИВШЕМСЯ И ПЕРЕХОДНОМ

ПРОЦЕССАХ

Режим работы электрической цепи, при котором токи и напряжения всех ее ветвей остаются неизменными или изменяются по периодическому закону, называется установившимся. В электрических цепях такой режим может иметь место при длительном воздействии источника электрической энергии, при неизменных параметрах приемников или при отключенном источнике.

В реальных условиях необходимо управлять работой электрических цепей, т. е. включать или отключать источники энергии, изменять параметры R, L и C элементов. Перечисленные действия принято называть коммутацией, а процессы, возникающие в результате коммутации, – переходными. Физически переходные процессы представляют собой изменение энергетического состояния элементов и цепи в целом при переходе цепи от одного режима (отключенного источника) к другому режиму (включенного источника). Это быстро протекающие процессы, но именно на интервалах их существования в цепи возможны опасные броски токов и напряжений. Поэтому переходные процессы подлежат изучению.

Рассмотрим схему цепи, приведенную на рис. 1.10, а. Будем полагать, что параметры элементов цепи постоянны. При замкнутом ключе К сумма падений напряжения на индуктивности L и сопротивлении R равна Э.Д.С. Е:

. (1.16)

В выражении (1.16) ток i и Э.Д.С. Е могут принимать конечные значения. Допустим, что ток i может измениться скачком за бесконечно малый промежуток времени ∆t. Тогда отношение ∆i / ∆t = ∞. Применение этого значения к (1.16) означает нарушение равенства, представляющего второй закон Кирхгофа. Следовательно, допущение о возможности скачкообразного изменения тока через индуктивность неприемлемо. Однако напряжение на индуктивности, равное , может измениться скачком. Полученный вывод является обоснованием закона коммутации:

В ветви с индуктивностью ток в момент коммутации сохраняет значение, которое он имел до коммутации, а после коммутации плавно из-

меняется от этого значения:

Ток в цепи с емкостью (рис. 1.10, б) определяется выражением (1.7). Поэтому уравнение, составленное для цепи по второму закону Кирхгофа, принимает вид:

(1.17)

где u_c – напряжение на емкости, Е – Э.Д.С. источника.

Напряжение u_c и Э.Д.С. E могут принимать конечные значения. Допустим, что u_c может измениться скачком за бесконечно малый промежуток времени ∆t. Тогда ∆u_c/∆t = ∞ и левая часть уравнения (1.17) не будет равна правой. Следовательно, допущение о возможности скачкообразного изменения напряжения на емкости неприемлемо. Однако ток через емкость, равный , может изменяться скачком. Полученный вывод является обоснованием следующего закона коммутации:

В ветви с емкостью напряжение в момент коммутации сохраняет значение, которое было до коммутации, а после коммутации плавно изменяется от этого значения:

В зависимости от состояния энергии в индуктивных или емкостных элементах цепей вида рис. 1.10 решаются две задачи:

– расчет цепи с нулевыми начальными условиями

– расчет цепи с ненулевыми начальными условиями

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

1.1. Назовите элементы электрических цепей и приведите их условные графические обозначения. Как влияют характеристики элементов на название электрических цепей?

1.2. Что служит расчетным эквивалентом источника электрической энергии? В чем отличие идеального источника Э.Д.С. от идеального источника тока?

1.3. Как делятся все приемники электрической энергии? Приведите основные соотношения между током и напряжением для R, L и С элементов.

1.4. В каких целях введены топологические понятия электрических цепей?

1.5. Сформулируйте законы коммутации электрических цепей. Приведите математические соотношения, иллюстрирующие эти законы.

1.6. Определите внутреннее сопротивление источника Э.Д.С., если его ВАХ имеет наклон к оси токов под углом 30º.

1.7. В схеме рис. 1.6, б источник тока имеет параметры I_Т = 10 А, Rвн = 0,5 Ом. Определите параметры эквивалентного источника Э.Д.С.

1.8. В схеме рис. 1.9, б источник Э.Д.С. Е = 10 В, сопротивление R = 10 Ом, а емкость С = 0,1 мкФ. Определите напряжение на емкости и ток цепи в момент включения ключа К.