Скалярный потенциал магнитного поля

Для совокупности точек, где d = 0, rot Н == 0, магнитное поле можно рассматривать как потенциальное, т. е. как поле, каждая точка которого имеет скалярный магнитный потенциал jm. Следовательно, для таких областей можно принять

H = - grad jм. (13.10)

Так как div В = div ma Н = 0, то при ma = const div Н = 0.

Подставив в последнее выражение-grad jм, вместо Н, получим

div grad jм = 0.

Таким образом, скалярный потенциал магнитного поля jм, о котором может идти речь только для областей, не занятых током, подчиняется уравнению Лапласа:

Ñ2jм=0. (13.11)

Разность скалярных магнитных потенциалов между точками 1 и 2 называют падением магнитного напряжения между точками 1 и 2

Uм12 = jм1 - jм2 = Скалярный потенциал магнитного поля - student2.ru .

Падение магнитного напряжения между точками 1 и 2 по какому-то одному пути (например, по пути 132, рис. 13.5, а) равно падению магнитного напряжения между теми же точками по какому-то другому

Скалярный потенциал магнитного поля - student2.ru

Рис.13.5 Падение магнитного напряжения между точками 1 и 2 может иметь разные значения в зависимости от пути интегрирования.

Пути (например, по пути 142) в том случае, когда эти пути образуют замкнутый контур, ток внутри которого равен нулю. Если же замкнутый контур, образованный двумя путями, охватывает некоторый ток, то падение магнитного напряжения по первому пути не равно падению магнитного напряжения по второму пути — они будут различаться на величину тока, охваченного контуром. Последнее вытекает из закона полного тока.

Так, применительно к рис. 13.5,а Скалярный потенциал магнитного поля - student2.ru (ибо из закона полного тока следует, что Скалярный потенциал магнитного поля - student2.ru ,или Скалярный потенциал магнитного поля - student2.ru ). Следовательно, для того чтобы разность магнитных потенциалов между двумя точками магнитного поля не зависела от пути, надо наложить запрет на прохождение через контур (виток) с током, мысленно натянув на этот контур некоторую пленку. При прохождении через эту пленку jм изменяется скачком на величину тока в контуре.

Следует различать понятия «падение магнитного напряжения» и «магнитное напряжение». Первое определяется только линейным интегралом от Н на dl по выбранному пути. Второе — не только этим интегралом, но и м.д.с., имеющейся на пути. Здесь имеется полная аналогия с понятиями «падение напряжения» и «напряжение» в электрической цепи.

Граничные условия

Подобно тому, как в электростатическом поле и в поле проводящей среды выполнялись определенные граничные условия, в магнитном поле также имеют место аналогичные условия:

Н1t 2t, (13.12)

В1n 2n (13.13)

Условие (13.12) означает, что на границе раздела двух однородных и изотропных сред, различных в магнитном отношении (различные m), равны тангенциальные составляющие векторов напряженности магнитного поля. Условие (13.13) свидетельствует о равенстве нормальных составляющих векторов магнитных индукций на границе раздела. Условие (13.12) выводят путем составления линейного интеграла Скалярный потенциал магнитного поля - student2.ru по плоскому контуру mnpq (рис. 13.5, б) и приравнивания его нулю (так как он не охватывает тока). Стороны nр и qm ничтожно малы по сравнению со сторонами mn и pq. Длину стороны mn и равную ей по величине длину стороны pq обозначим через dl. Тогда H1sina1dl — Н2sina2dl = 0, но H1sina1 = Н1t, H2sina2 = Н2t, следовательно Н1t = Н2t.

Условие (13.12) не выполняется, если на поверхности раздела двух сред протекает так называемый поверхностный ток. Под ним понимают ток, протекающий по бесконечно тонкому плоскому проводнику, помещенному на границе раздела. В этом случае Скалярный потенциал магнитного поля - student2.ru будет равняться не нулю, а поверхностному току sdl, который оказался внутри замкнутого контура:

H1sina1dl — Н2sina2dl = sdl и в силу этого H1t — Н2t = s.

Другими словами, при наличии поверхностного тока с плотностью s тангенциальная составляющая напряженности поля терпит разрыв. Как правило, поверхностный ток отсутствует, и условие (13.12) выполняется. Равенство нормальных составляющих векторов магнитной индукции следует из принципа непрерывности магнитного потока:

Скалярный потенциал магнитного поля - student2.ru = 0.

Для того чтобы убедиться в справедливости (13.13), на границе раздела выделим небольшой плоский параллелепипед и подсчитаем потоки вектора Вчерез нижнюю грань (рис. 13.6) —B1nDS и верхнюю B2nDS. Сумма потоков равна нулю: —В1nDS + B2nDS = 0. Следовательно, B1n = B2n.

Из (13.12) и (13.13) вытекает соотношение

 
  Скалярный потенциал магнитного поля - student2.ru

Скалярный потенциал магнитного поля - student2.ru . (13.14)

Рис.13.6. Граничные условия на границе раздела двух тел с различными магнитными проницаемостями.

Оно дает связь между углом падения a1 и углом преломления a2 (рис. 13.5, б). Если магнитные силовые линии выходят из среды с большой магнитной проницаемостью, например m1a = 104 m0, в среду с малой магнитной проницаемостью, например в воздух m2a = m0, то

Скалярный потенциал магнитного поля - student2.ru и tga1 = 10-4 tga2.

Следовательно, угол a2 много меньше угла a1.

Например. Найти угол a2, под которым силовые линии выходят в среду с магнитной проницаемостью m2a, если угол a1 = 89°;

m1a = 104 m0, m2a = m0.

Решение. tga1 = tg 89°= 57,29;

tga2 = Скалярный потенциал магнитного поля - student2.ru tga1 = 10-4 tga1 = 0,005729; a2 = 20'.

Наши рекомендации