Силы магнитного поля. работа сил магнитного поля

Основные формулы

1. Сила Ампера, действующая на элемент тока d силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru в магнитном поле с индукцией В:

dFA = I d силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru B sin силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru ,

где I-сила тока, силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru - угол между направлением вектора силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru и силы тока.

2. Сила Ампера, действующая на все элементы тока сложной формы проводника:

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru

3. Сила Лоренца, действующая на заряд q, движущийся со скоростью V в магнитном поле с индукцией B:

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru Л = q V B sin силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru ,

где силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru - угол между направлениями векторов силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru и силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

4. Сила взаимодействия параллельных проводников с токами I1 и I2

F = силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru ,

где силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru - длина проводников, d - расстояние между ними, силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru = 4 силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru Н/А2 – магнитная постоянная вакуума.

5. Сила, действующая на рамку с током в неоднородном магнитном поле:

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru = силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru ,

где Рm – магнитный момент рамки с током, d силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru /d силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru - градиент индукции магнитного поля.

6. Работа магнитных сил по перемещению проводника с током

A = I силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

7. Работа магнитных сил по перемещению замкнутого контура c током

A = I (Ф2 –Ф1),

где Ф1 и Ф2 - магнитный поток через площадь, ограниченную контуром с током в начальном и конечном состояниях.

Примеры решения задач

Задача 1. Квадратная рамка с током 2 А расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником, по которому течёт ток 10 А. Сторона рамки 15 см. Ближайшая сторона рамки отстоит от проводника на расстоянии 10 см. Найти силу, действующую на рамку.

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru Дано: I1 = 2 A I2 = 10 A a = 5 см = 0,15 м в = 10 см = 0,1 м силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru F-? Решение Прямой проводник с током I1 создаёт вокруг себя неоднородное магнитное поле, индукция которого уменьшается с увеличением расстояния r согласно формуле В1 = силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru . (1)

В таком магнитном поле на каждую сторону квадратной рамки с током I2 будет действовать сила Ампера, направление которой определяется по правилу левой руки (рис. 6.1).

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru

Рис. 6.1
Рис. 6.2

Силы F1 и F3 можно найти, используя закон взаимодействия параллельных токов:

F1 = силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru ,

F3 = силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Для нахождения силы F2 разобьём проводник на элементы тока I2d силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru (рис. 6.2). Пусть некоторый элемент расположен на расстоянии r от тока I1. В месте расположения элемента тока I2d силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru индукция поля силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru направлена к нам и определяется формулой (1). Сила Ампера, действующая на элемент тока I2d силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru (d силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru = dr):

dF2
силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru

Поскольку все силы d силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru A направлены в одну сторону, то вся сила

F2
силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Заметим, что сила F4 = F2 , но противоположно направлена.

Результирующая сила, действующая на рамку с током I2 :

F = F1 - F3 + F2 - F4 = F1 - F3 .

F = силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru = силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Подставим числовые значения:

F = силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru = 0,36 силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Задача 2. Проводник в виде тонкого полукольца радиусом 0,1 м находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,05 Тл. По проводнику течёт ток 10 А. Найти силу, действующую на проводник, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям индукции.

 
  силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru


Дано: R = 0,1 м В = 5×102 Тл I = 10 А силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru F - ?   Решение Разобьем проводник на элементы тока Id силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru , причем d силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru = R×da (рис. 6.3). силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru Рис. 6.3

Положение элемента на окружности будем углом силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru . Со стороны магнитного поля на элемент тока будет действовать сила Ампера dF:

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru , (1)

где угол между элементом тока и магнитной индукцией силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Разложим силу dF на две составляющие силы dFY и dFX.

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru , силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Заметим, что ввиду симметрии силы dFXi от всех элементов проводника уничтожат друг друга, а результирующая сила по оси Y будет отлична от нуля.

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru . (2)

Подставим в выражение (2) формулу (1) и после интегрирования получим

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru = силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Подставим числовые значения:

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru Н.

Задача 3. Небольшая катушка с током, имеющая магнитный момент 2 А/м2, находится на оси кругового витка радиусом 20 см, по которому идёт ток 10 А. Найти модуль силы, действующей на катушку, если её расстояние от центра витка равно 10 см. Вектор магнитного момента совпадает по направлению с осью витка.

  Дано: Рм = 2 А/ м2 R = 20 см=0,2 м I = 10 А А=10 см=0,1 м силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru F - ?  

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru Решение

Магнитное поле кругового витка является неоднородным. В таком поле на магнитный момент катушки будет действовать сила

.
силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru (1)

Градиент индукции силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru направлен в сторону возрастания индукции (рис 6.4), направление магнитной индукции В определяется по правилу буравчика.

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru

 
Рис. 6.4

Выберем ось X вдоль оси витка и спроецируем выражение (1) на эту ось.

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru . (2)

Индукция магнитного поля от кругового тока

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru . (3)

Возьмём производную от выражения (3) по переменной X:

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Окончательно для силы FX имеем при X = а

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Знак минус означает, что катушка будет втягиваться в область сильного поля.

Подставим числовые значения:

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru = силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru Н = силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru мН.

Задача 4. Квадратная рамка со стороной 2 см, содержащая 100 витков, подвешена на упругой нити с постоянной кручения 10 мкН/град. Плоскость рамки совпадает с направлением линий индукции внешнего магнитного поля. Определить индукцию магнитного поля, если при пропускании по рамке тока 1 А она повернулась на угол 600, а также определить работу сил, действующих со стороны магнитного поля (рис. 6.5).

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru Дано: Решение

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru а = 2 см = 2 силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru м

N = 100 витков

C = 10-5 Н/град

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru = 900

 
I = 1 А

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru = 600

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru

B-? А-?

Рис. 6.5

Рамка с током находится в равновесии при выполнении условия: силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru , где силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru -момент сил, действующих на рамку с током, силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru - момент упругих сил, действующих на рамку.

Известно, что

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru M1 = силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru ,

M2 = силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru , силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Магнитный момент рамки силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Учитывая, что силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru , получим силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Теперь можно найти величину индукции магнитного поля:

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

 
Подставим числовые значения:

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Найдём работу сил магнитного поля по повороту рамки на угол силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru :

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru ,

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Знак минус в выражении для силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru означает, что под действием момента сил М происходит убыль угла α.

Работу сил магнитного поля можно вычислить и другим способом:

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru ,

где силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru - приращение потока вектора силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru через поверхность контура с током I.

.
силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Задача 5. Протон движется в магнитном поле с индукцией силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru Тл по винтовой линии радиусом 2 см и шагом 5 см. Определить скорость протона и угол её наклона к линиям индукции.

  Дано: R = 2×10-2 м В = 10-2 Тл qп = 1,.6×10-19 Кл mп = 1,67×10-27 кг h = 5 см = 5×10-2 м силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru V - ? a - ? силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru Решение
Рис. 6.6
силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru Заряженная частица движется в магнитном поле по винтовой линии, если она в него влетает под углом a к линиям индукции (рис 6.6).

 
 
 
 
 

Движение по винтовой линии считается двумерным. Введём оси координат X и Y . Поскольку магнитное поле однородное, то движение вдоль общих осей будет равномерным. Скорость частицы силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru раскладываем на две проекции VX и VY, причём

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru , (1)

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru . (2)

Шаг винтовой линии (расстояние между витками) определяется как

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru , (3)

где Т – период обращения по окружности, которая расположена в плоскости Y. Движение по окружности происходит со скоростью силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru . Период обращения

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru . (4)

Выражение (4) подставим в формулу (3):

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Из последнего выражения определим угол наклона скорости V к оси X:

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru , силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Радиус винтовой линии определяется выражением

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru ,

из которого определим скорость VY:

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru м/с.

Искомую скорость V определим по формуле (2):

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru м/с.

Задача 6. Квадратная рамка с током 5 А расположена в одной плоскости с длинным проводником, по которому течёт ток 15 А. Сторона рамки 50 см. Ближайшая сторона рамки расположена на расстоянии 10 см от длинного проводника. Найти работу, которую нужно совершить для поворота рамки на угол 900, если силу тока поддерживать неизменной.

Решение Работу, необходимую для поворота рамки с током I1, можно определить по формуле силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru , (1) где Ф1 и Ф2 – магнитные потоки, пронизывающие рамку в начальном и конечном состояниях.
силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru Дано:

I1 = 5 A

I2 = 15 A

a = 50 см = 0,5 м

в = 10 см = 0,1 м

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru

 
  силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru

Так как магнитное поле проводника с током I2 неоднородное, сначала определим элементарный поток dФ через площадку dS = силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru , в пределах которой индукцию магнитного поля можно считать постоянной величиной (рис. 6.7):

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru ,

где силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru - угол между нормалью к элементу dS и вектором индукции силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru = силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Полный магнитный поток через площадь всей рамки найдём суммированием всех dФ:

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

 
 
 

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru

 
 
Рис. 6.7

Соответственно после поворота магнитный поток силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Так как силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru = 0, силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru , то Ф2 = 0. Окончательно работа по повороту рамки

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Подставим числовые значения:

силы магнитного поля. работа сил магнитного поля - student2.ru .

Наши рекомендации