Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний

Цель работы: ознакомление с экспериментальным методом измерения моментов инерции тел методом крутильных колебаний.

Теоретическое введение

Абсолютно твердым телом называется тело, деформациями которого в данных условиях можно пренебречь. При этом расстояния между любыми двумя точками тела остаются неизменными. При вращении тела с закрепленной осью все точки тела, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, называемой осью вращения. При таком движении путь S, скорость v, ускорение а разных точек тела неодинаковы, поэтому для описания движения неудобно пользоваться этими понятиями. Угол поворота α любой точки тела одинаков и может быть использован как мера перемещения тела. Угловое перемещение – это вектор, направленный по оси вращения по правилу буравчика, модуль которого равен углу поворота тела за время . Угловая скорость характеризует быстроту вращения и равна производной по времени от углового перемещения:

. (13.1)

Вектор угловой скорости направлен по оси вращения так же, как и угловое перемещение. Быстроту изменения угловой скорости во времени характеризует угловое ускорение:

. (13.2)

Вектор углового ускорения направлен по оси вращения в ту же сторону, что и вектор угловой скорости , если величина угловой скорости увеличивается, и в сторону, противоположную , если ее модуль уменьшается.

Найдем связь между линейными и угловыми величинами. Величина линейного перемещения dS точки, вращающейся по окружности радиуса r:

. (13.3)

Разделив обе части уравнения (13.3) на , получим: . Так как производная пути по времени – это величина скорости: , а , то

. (13.4)

Теперь продифференцируем (13.4) по времени: , или:

, (13.5)

где – касательное (тангенциальное) ускорение, определяющее быстроту изменения модуля скорости : . Основной закон динамики твердого тела аналогичен второму закону Ньютона при поступательном движении:

(13.6)

и позволяет определить угловое ускорение твердого тела: угловое ускорение твердого тела прямо пропорционально суммарному моменту внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения

. (13.7)

Моментом силы относительно оси называется вектор, направленный по оси вращения и связанный с направлением силы правилом буравчика, модуль которого равен произведению силы на ее плечо: . Плечо силы относительно оси вращения – это кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения (рис.13.1). Момент силы можно записать в векторном виде:

, (13.8)

где – радиус-вектор точки приложения силы.

Момент инерции твердого тела является мерой инертных свойств твердого тела при вращательном движениии аналогичен массе тела во втором законе Ньютона. Момент инерции материальной точки с массой относительно оси ОО равен произведению массы материальной точки на квадрат ее расстояния до оси:

. (13.9)

Твёрдое тело можно мысленно разбить на материальные точки и просуммировать по всем элементарным массам, тогда момент инерции твёрдого тела можно записать как

. (13.10)

То есть момент инерции твердого тела относительно оси равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от этой оси. Момент инерции существенно зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения (в направлении, перпендикулярном оси). В случае непрерывного распределения массы сумма в (13.10) сводится к интегралу по всему объему тела:

. (13.11)

Вычислим момент инерции однородного диска плотностью ρ, высотой h, внутренним радиусом R₁ и внешним радиусом R₂ (рис.13.2) относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости диска. Разобьем диск на тонкие кольца толщиной dr и высотой h так, что внутренний радиус кольца равен r, внешний – (r+dr). Объем такого кольца , где – площадь основания тонкого кольца. Его масса:

. (13.12)

Подставим dm в (13.11) и проинтегрируем по r ( ):

.

Масса всего диска равна

,

тогда окончательно:

. (13.13)

В частном случае сплошного диска или цилиндра радиусом R подставим в (13.13) R₁=0, R₂=R и получим:

. (13.14)

Если ось вращения не проходит через центр масс тела, вычисления по формуле (13.11) могут быть довольно сложными. В этом случае расчет момента инерции облегчается применением теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

. (13.15)

В данной работе момент инерции тела (платформы) определяется экспериментально методом крутильных колебаний. Рассмотрим общие закономерности колебательного движения крутильного маятника.

Испытуемое твердое тело 1, имеющее вид диска радиуса R, подвешено на упругой металлической проволоке 2 (рис.13.3) так, что нижний конец проволоки проходит через центр тяжести диска, а верхний закреплен. При повороте диска на некоторый угол aвокруг оси ОО возникают упругие силы, которые стремятся возвратить диск к положению равновесия. Возвращающий момент сил М обусловлен упругими деформациями, возникающими при закручивании стальной проволоки, с которой скреплена платформа. При малых углах поворота α можно считать, что этот момент сил прямо пропорционален углу поворота, то есть выполняется закон Гука:

, (13.16)

где – коэффициент пропорциональности, называемый модулем кручения, величина которого зависит от материала проволоки и ее размеров. Знак «–» показывает, что момент упругих сил возвращает тело к положению равновесия, то есть векторы момента сил и углового перемещения направлены в противоположные стороны, их проекции на ось вращения имеют противоположные знаки.

По основному закону динамики вращательного движения (13.7):

, (13.17)

где – момент инерции тела относительно оси ОО, – угловое ускорение. Из (13.2), (13.16) и (13.17) получаем уравнение для угла поворота α:

. (13.18)

Уравнение (13.18) можно записать так:

, (13.19)

где принято обозначение: , или:

. (13.20)

Уравнение вида (13.19) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Его решением является гармоническая функция:

. (13.21)

Здесь ω – круговая частота колебаний, φ₀ – начальная фаза, φ=ωt+φ₀ – фаза колебаний в данный момент времени, A – амплитуда колебаний (максимальное значение угла поворота α). Убедимся в том, что (13.21) является решением дифференциального уравнения (13.19), непосредственной подстановкой, вычислив производные:

;

. (13.22)

Из (13.22) следует (13.19). Вообще, если вторая производная по времени какой-либо физической величины пропорциональна самой величине с противоположным знаком, то данная физическая величина изменяется со временем по гармоническому закону, то есть по закону синуса или косинуса.

Периодкрутильныхколебаний, то есть время одного полного колебания, найдем из (13.20):

. (13.23)

Из выражения (13.23) выразим момент инерции тела:

. (13.24)

Неизвестный модуль кручения К можно исключить из (13.24) следующим образом. На диск помещают дополнительный груз, момент инерции которого I_груз. относительно оси колебаний известен. При этом полный момент инерции тела с дополнительным грузом станет равным I₁=I+I_груз, и период T₁ крутильных колебаний изменится:

, (13.25)

или:

. (13.26)

Поделив почленно (13.26) на (13.24), получим:

,

откуда окончательно для неизвестного момента инерции платформы:

. (13.27)

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: лабораторная установка с секундомером и металлические диски.

Описание установки (вариант 1).

В первом варианте установки (рис.13.3) платформа 1, момент инерции которой требуется определить, подвешена на проволоке 2. На платформу 1 симметрично на расстоянии a от центра помещают три дополнительных груза массой m и радиусом r каждый. Эти три груза относительно оси ОО создают дополнительный момент инерции I_груз, который находится по теореме Штейнера (13.15) и равен:

. (13.28)

Здесь момент инерции одного дополнительного груза относительно оси, проходящей через его центр масс, найден из (13.14): .

Подставив (13.28) в (13.27), для вычисления искомого момента инерции платформы окончательно получим:

. (13.29)

Для измерения линейных размеров и расстояний используется штангенциркуль и линейка, время определяется по секундомеру, масса каждого дополнительного груза m=730 г.

Порядок выполнения работы

1. Исследуемое тело – платформу (без дополнительных грузов) приведите в крутильные колебания.

Внимание!Угол закручивания не должен превышать 10-15⁰, иначе можно сломать установку. Кроме того, при больших углах закручивания не выполняется закон Гука (13.16), и колебания не будут гармоническими.

Секундомером измерьте время t, которое требуется для совершения 20 полных колебаний. Опыт повторите 5 раз, найдите среднее время t_ср и вычислите период колебаний:

. (13.30)

2. На исследуемое тело установите 3 дополнительных груза (диска) и вновь (5 раз) определите время 20 колебаний, найдите t_1ср. и период колебаний:

. (13.31)

3. Штангенциркулем измерьте радиус дополнительных дисков r и линейкой – расстояние a между осями. Измерения проводятся три раза; значения a и r усредняются.

4. Вычислите момент инерции по формуле (13.29).

5. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 13.1.

6. Вычислите абсолютную и относительную погрешности измерений.

Замечание 1: погрешность времени рассчитывается по стандартной методике расчета погрешностей случайной величины:

, (13.32)

где коэффициент Стьюдента для числа опытов n=5 и доверительной вероятности α=0.95 равен: . При этом погрешность периода колебаний из (13.30):

. (13.33)

Замечание 2: для вычисления относительной погрешности момента инерции можно воспользоваться формулой:

.

Замечание 3: можно рассчитать момент инерции в каждом из 5 опытов, а затем усреднить. Расчёт погрешности в этом случае производится по стандартной методике расчета погрешностей случайной величины (аналогично (13.32)).

7. Сделайте выводы.

Таблица 13.1.

, ,	,	,
№	t	Δti	t1	Δt1i	T	T1		ΔIi
	c	с	c	с	с	с	кг.м2	кг.м2
	tср=.		t1ср.=		Tср.=	T1ср.=	Iср.=	Σ(ΔIi)2=
Δt=	Δt1=	ΔT=	ΔT1=	ΔIср=

Описание установки (вариант 2).

Установка (рис.13.4) состоит из штатива, исследуемого диска 1, закрепленного на проволоке 2, и одного съемного груза в виде диска 3. Ось съемного груза совпадает с осью диска. Для измерения линейных размеров и расстояний используется штангенциркуль и линейка, время определяется по секундомеру. Массу съемного диска необходимо определить из его размеров и плотности.

Масса диска (плотность стали ρ=7800 кг/м³), а его объем , тогда

, (13.34)

а момент инерции дополнительного съемного диска из (13.34) и (13.13):

. (13.35)

Далее из (13.27) и (13.35) получим расчетную формулу для момента инерции платформы:

. (13.36)

Порядок выполнения работы

Исследуемое тело (без дополнительного кольца) приводится в крутильные колебания.

Внимание! Угол закручивания не должен превышать 10-15⁰, иначе можно сломать установку. Кроме того, при больших углах закручивания не выполняется закон Гука (13.16), и колебания не будут гармоническими.

1. Секундомером измерьте время t, которое требуется для совершения 20 полных колебаний, и вычислите период колебаний по формуле (13.30). Опыт повторите 5 раз.

2. На исследуемое тело установите дополнительное кольцо и вновь (5 раз) определите время 20 колебаний, найдите t_1ср. и период колебаний (13.31).

3. Линейкой и (или) штангенциркулем измерьте внутренний R₁ и внешний R₂ радиусы дополнительного кольца и его толщину h (рис.13.4). Вычислите момент инерции по формуле (13.36).

4. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 13.2.

5. Вычислите абсолютную и относительную погрешности измерений.

Замечание: для вычисления относительной погрешности можно воспользоваться формулой:

,

при этом рассчитывается по усредненным значениям периода; либо рассчитывается в каждом из пяти опытов, затем усредняется, и погрешность рассчитывается как погрешность случайной величины, аналогично формуле (13.32). Можно рассчитать погрешность обоими способами и сравнить результаты.

6. Сделайте выводы.

Таблица 13.2

, , , ,
№	t	Δti	t1	Δt1i	T	T1		ΔIi
	c	с	c	с	с	с	кг.м2	кг.м2
	tср=.		t1ср.=		Tср.=	T1ср.=	Iср.=	Σ(ΔIi)2=
Δt=	Δt1=	ΔT=	ΔT1=	ΔIср=

Контрольные вопросы

1. Дайте определение углового перемещения, угловой скорости и ускорения. Как направлены эти вектора?

2. Запишите формулы, связывающие линейные и угловые величины перемещения, скорости, ускорения.

3. Что такое момент силы относительно оси? От чего он зависит? Как направлен вектор момента силы?

4. Что такое момент инерции материальной точки, твердого тела, от чего он зависит?

5. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.

6. Выведите дифференциальное уравнение крутильных колебаний (13.18).

7. Докажите, что выражение (13.21) является решением дифференциального уравнения (13.18).

8. Какие колебания являются гармоническими?

9. Что такое период колебаний, частота колебаний?

10. Сформулируйте теорему Штейнера и покажите, где в работе она используется.

11. Можно ли пользоваться расчетными формулами в этой работе, если углы отклонения крутильных колебаний будут большими? Почему?

Используемая литература

[5] §2.8, 7.1, 19.1, 19.2; [3]§4.1-4.3, 27.1, 27.2; [1]§36-39, 52, 53; [6]§1.4, 1,31-1.34, 3.3, 3.6; [7] §2,3 4, 16, 17, 18, 19, 140, 141, 142.

Лабораторная работа 1-14