Первое начало термодинамики. Теплоёмкость идеального газа

1. Первое начало термодинамики

Q = DU + A,

где Q – количество теплоты, сообщенное системе; DU – изменение внутренней энергии системы; A – работа.

2. Молярная теплоемкость газа при постоянном объёме

.

3. Молярная теплоёмкость газа при постоянном давлении

,

где i – число степеней свободы молекулы газа.

4. Связь между удельной (c) и молярной C_m теплоемкостями

C_m= cm.

5. Внутренняя энергия идеального газа

.

6. Работа расширения газа в изотермическом процессе

,

7. Работа расширения газа в изобарном процессе

.

8. Работа расширения в адиабатном процессе

или ,

где – показатель адиабаты.

9. Уравнение состояния адиабатного процесса (уравнение Пуассона).

.

Примеры решения задач

Задача 1

Кислород массой 2 кг занимает объем 1 м³ и находится под давлением 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема 3 м³, а затем при постоянном объеме до давления 0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу и теплоту, переданную газу. Построить график процесса.

Дано:	Решение:
m = 32 · 10-3 кг/моль m = 2 кг V1 = 1 м3 P1 = 0,2 МПа = 105 Па 1) P = const, V2 = 3 м3 2) V2 = const, P3 = 0,5 МПа = 105Па	Изменение внутренней энергии газа (1) где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5);DT = T3- T1 – разность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.
DU - ? A - ? Q - ?

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона

,

откуда

.

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

.

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю

A₂ = 0.

Следовательно, полная работа, совершаемая газом,

A = A₁+ A₂= A₁.

Согласно первому началу термодинамики, теплотаQ₁, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии DU и работы A

Q = DU + A.

Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода m = 10^-3 кг/моль

K;

K;

K;

Дж = 0,4 ^. 10⁶ Дж = 0,4 МДж;

A = A₁= 0,4 МДж;

Дж = 3,24 ^. 10⁶ Дж = 3,24 МДж;

Q = (3,24 + 0,4) МДж = 3,64 МДж.

График процесса приведен на рис 1.

Рис.1

Задача 2

Чему равны удельные теплоемкости c_V и с_p некоторого двухатомного газа, если плотность этого газа при нормальных условиях равна 1,43 кг/м³?

Дано:	Решение:
r = 1,43 кг/м3 i = 5 Па Т = 273 К	Удельные теплоемкости равны и Из уравнения Клапейрона-Менделеева находим
cp - ? cV - ?

так как плотность газа r = m / V.

Подставляя молярную массу в формулы для теплоемкости, имеем

и

Произведем вычисления, учитывая, что для двухатомного газа число степеней свободы i = 5. Так как при нормальных условиях давление p = 1,01 Па и T = 273 K, находим

Дж/(кг ), Дж/(кг ).

Круговые процессы. КПД цикла. Цикл Карно

1. Коэффициент полезного действия тепловой машины

гдеА – работа, совершенная в цикле, А = Q₁ –Q₂; Q₁ – количество теплоты, полученное рабочим телом от теплоотдатчика; Q₂ – количество теплоты, отданное рабочим телом теплоприемнику.

2. КПД цикла Карно

где T₁– температура теплоотдачика; T₂ – температура теплоприемника.

3. Так как то , то есть приведенная теплота для любых изотермических переходов между двумя адиабатами есть величина постоянная.

Примеры решения задач

Задача 1

Идеальный газ совершает цикл Карно. Газ получил от теплоотдатчика количество теплоты 5,5 кДж и совершил за цикл работу 1,1 кДж. Определить:1) термический КПД цикла; 2) отношение температур теплоотдатчика и теплоприёмника.

Дано:	Решение:
Q1 = 5,5 кДж = Дж А = 1,1 кДж = Дж	Зная общее определение КПД цикла вычислимКПД цикла .
;

КПД цикла Карно

так как газ совершает цикл Карно, то

; ,тогда ,

то есть температура теплоотдатчика в 1,25 раз выше температуры теплоприёмника.

Энтропия

1. Изменение энтропии системы при переходе из состояния 1 в состоя- ние 2

, ,

где – изменение энтропии в промежуточных процессах.

Примеры решения задач

Задача 1

Найти изменение энтропии при превращении 10 г льда при –20 ^оС в пар при 100 ^оС.

Дано:	Решение:
m = 10 г = 10-2 кг t1 = –20 оC t3= 100 оC	Изменение энтропии определяется формулой где S1 и S2 – значения энтропии в первом и во втором состоянии, соответственно.
DS - ?

В данном случае общее изменение энтропии DS складывается из изменений ее в отдельных процессах:

а) Нагревание массы m льда от температуры T₁ до температуры T₂, при этом

dQ = mc₁dT,

где c₁ – удельная теплоемкость льда.

Тогда изменение энтропии в этом процессе

,

здесь Т₂ = 273 К – температура таяния льда.

в) Плавление массы m льда при температуре T₂

,

где l – удельная теплота плавления.

с) Нагревание массы m воды от T₂ до T₃. Аналогично пункту а) получаем

,

где с₂ – удельная теплоемкость воды.

d) Испарение массы m воды при температуре T₃

где r – удельная теплота парообразования.

Общее изменение энтропии

.

Произведем вычисления, используя табличные данные

c₁ = 2,1 Дж/кг , T₁ = 253K, T₂= 273K, T₃ = 373K, l = 3,35 Дж / кг,с₂ = 4,19 Дж/(кг^.К), r = 2,26 Дж /кг и получим DS = 88 Дж /К.

Задание на контрольную работу №2

201. Какова плотность воздуха в цилиндре дизельного двигателя в конце такта сжатия, если температура 677 ^оС, а давление 5,05 МПа? Молярную массу воздуха считать равной кг/моль.

202. Определить концентрацию молекул кислорода, находящегося в сосуде объемом 2 л. Количество вещества равно 0,2 моль.

203. На сколько изменится давление воздуха в шине автомобиля при повышении температуры до 30 ^оС, если при температуре 10 ^оС давление равно допустимому значению 238 кПа?

204. Сосуд объемом 10 л содержит гелий под давлением 1 МПа и при температуре 300 К.После того, как из баллона выпущено 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до 290 К.Определить давление гелия, оставшегося в баллоне.

205. В сосуде ёмкостью 5 л при нормальных условиях находится азот. Определить: 1) количество вещества; 2) массу азота; 3) концентрацию его молекул в сосуде.

206. В дизеле в начале такта сжатия температура воздуха 40 ^оС, а давление 78,4 кПа. Во время сжатия объем уменьшается в 15 раз, а давление возрастает до 3,5 Мпа. Определить температуру воздуха в конце такта сжатия.

207. Автомобильная шина накачана воздухом до давления 0,3 МПа при температуре 7 ^оС. Какое количество воздуха необходимо выпустить из камеры, чтобы давление не изменилось при повышении температуры до 37 ^оС? Объем камеры 50 л.

208. Альпинист при каждом вдохе поглощает 5 г воздуха, находящегося при нормальных условиях. Найти объем воздуха, который должен вдыхать за то же время альпинист в горах, где давление равно 79,8 кПа, а температура – 13 ^оС.

209. Какое число баллонов водорода емкостью 50 л при температуре 27 ^оС и давлении 4 МПа потребуется для заполнения аэростата объемом 10³ м³, если при температуре 7 ^оС давление в нём должно быть 100 кПа?

210. Кислород массой 10 г находится под давлением 0,3 МПа при температуре 10 ^оС. После расширения вследствие нагревания при постоянном давлении кислород занял объем 10 л. Определить: 1) объём газа до расширения; 2) температуру газа после расширения; 3) плотность газа до расширения; 4) плотность газа после расширения.

211. Баллон, содержащий 1 кг азота, при испытании взорвался при температуре 350 ^оС. Какое количество водорода можно хранить в этом баллоне при 20 ^оС, имея пятикратный запас прочности?

212. Два сосуда, содержащие одинаковые массы одного газа, соединены трубкой с краном. В первом сосуде давление 5кПа, во втором 8кПа. Какое давление установится после открытия крана, если температура останется неизменной?

213. Баллон ёмкостью 0,3 л содержит смесь водорода и гелия при температуре 300 К и давлении 0,82 МПа. Масса смеси кг. Определить массы водорода и гелия.

214. Определить плотность смеси, состоящей из 4 г гелия и 28 г азота при температуре 27 ^оС и давлении 1 МПа.

215. До какого давления накачан футбольный мяч ёмкостью 3 л, если при этом сделано 40 качаний поршневого насоса. За каждое качание насос захватывает из атмосферы 150 см³ воздуха. Мяч вначале был пустой. Атмосферное давление 0,1 МПа.

216. Определить молярную массу газа, свойства которого соответствуют свойствам смеси 160 г кислорода и 120 г азота.

217. В сосуде объемом 20 л при температуре 27 ^оС находится смесь кислорода массой 6 г и углекислого газа массой 66 г. Определить давление смеси.

218. Определить плотность смеси 4 г водорода и 32 г кислорода при температуре 7 ^оС и давлении 100 кПа.

219. Какой объем занимает смесь азота массой 1 кг и гелия массой 1 кг при нормальных условиях?

220. Газовая смесь, состоящая из кислорода и азота, находится в баллоне под давлением 1 МПа. Считая, что масса кислорода составляет 20 % от массы смеси, определить парциальные давления отдельных газов.

221. Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа, находящегося под давлением 0,2 Па. Концентрация молекул газа равна 10¹³ см^-3.

222. Сколько молекул кислорода содержится в сосуде объемом 10 см³, если при тепловом хаотическом движении со средней квадратичной скоростью 400 м/с они производят на стенке сосуда давление 1 кПа?

223. Газ занимает объем 1 л под давлением 2 кПа. Определить кинетическую энергию поступательного движения всех молекул, находящихся в данном объеме.

224. 1 кг двухатомного газа находится под давлением 80 кПа и имеет плотность 4 кг/м³. Найти энергию теплового движения молекул газа в этих условиях.

225. Определить энергию теплового движения молекул аммиака NH₃, находящихся в баллоне объёмом м³ при давлении 2,57кПа. Какую часть от этой энергии составляет средняя энергия вращательного движения молекул? Молекулы считать жесткими.

226. Определить среднюю энергию вращательного движения одной молекулы двухатомного газа, если суммарная кинетическая энергия молекул одного киломоля этого газа равна 3,01 МДж.

227. Баллон с водородом двигался со скоростью 50 м/с и внезапно остановился. На сколько градусов нагреется при этом газ?

228. Определить внутреннюю энергию 1 кг воздуха в шине автомобиля при допустимом давлении Па и плотности воздуха в шине 4 кг/м³. Воздух считать двухатомным газом.

229. Средняя энергия поступательного движения молекул азота, находящегося в баллоне объёмом м³ равна Дж, а средняя квадратичная скорость его молекул м/с. Определить: 1) количество молекул в баллоне; 2) давление, под которым находится азот.

230. Какое число молекул двухатомного газа занимает объем 10 см³ при давлении 5,32 кПа и температуре 27 ^оС? Какой энергией теплового движения обладают эти молекулы?

231. Определить давление в камере сгорания дизельного двигателя объёмом 0,08 л в конце сжатия, если средняя квадратичная скорость молекул воздуха в это время 1 км/с, а масса воздуха в камере сгорания 1,2 г.

232. Определить среднюю скорость молекул газа, если известно, что их средняя квадратичная скорость равна 1 км/с.

233. Определить наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м³.

234. Средняя квадратичная скорость некоторого газа при нормальных условиях равна 500 м/с. Сколько молекул содержит 1 г этого газа?

235. Определить среднюю длину свободного пробега молекул водорода при температуре 27 ^оС и давлении Па (эффективный диаметр молекулы водорода принять равным 10^-10м).

236. Баллон емкостью 10 л содержит азот массой 1 г. Определить среднюю длину свободного пробега молекул (эффективный диаметр молекулы азота принять равным 10^-10 м).

237. Определить среднюю длину свободного пробега молекул кислорода, находящегося при температуре 0 ^оС, если среднее число столкновений, испытываемых молекулой в 1 с, равно .

238. На сколько изменится атмосферное давление при подъеме на высоту 100 м над уровнем моря, если давление на уровне моря равно 100 кПа. Считать, что температура равна 290 К и не изменяется с высотой.

239. Найти время свободного пробега молекул водорода при давлении 0,1 Па и температуре 100 К (эффективный диаметр молекулы водорода принять равным 10^-10 м).

240. На какой высоте давление воздуха составляет 60 % от давления на уровне моря? Считать, что температура воздуха не изменяется с высотой и равна 10 ^оС.

241. При адиабатическом расширении азот массой 10 г совершает работу, равную 321 Дж. На сколько уменьшилась внутренняя энергия и понизилась температура азота, если его удельная теплоемкость при постоянном объеме 742 Дж/( ).

242. В закрытом сосуде объемом 2 л находится азот, плотность которого 1,4 кг/м³. Какое количество теплоты надо сообщить азоту, чтобы нагреть его на 100 К? На сколько увеличится внутренняя энергия азота?

243. Азот массой 1 кг занимает при температуре 300 К объем 0,5 м³. В результате адиабатического сжатия давление газа увеличилось в 3 раза. Определить: 1) конечный объем газа; 2) его конечную температуру; 3) изменение внутренней энергии газа.

244. Во сколько раз увеличится объем 0,4 моля водорода при изотермическом расширении, если при этом газ получил количество теплоты 800 Дж? Температура водорода 27 ^оС. Чему равна работа расширения?

245. Водород массой 6,5 г, находящийся при температуре 27 ^оС, расширяется вдвое при постоянном давлении за счет притока извне тепла. Найти работу расширения газа, изменение внутренней энергии газа и количество теплоты, сообщенное газу.

246. Определить количество тепла, выделяющегося при изотермическом сжатии 7 г азота от нормального давления 0,1 МПа до 0,5 МПа. Температура азота 25 ^оС.

247. Определить работу изотермического расширения при сгорании одного моля смеси в цилиндре двигателя автомашины. Степень сжатия 6,5; температура сгорания смеси 2000 К. Смесь считать идеальным газом.

248. Кислород массой 10 г находится под давлением 0,3 МПа при температуре 10 ^оС. После нагревания при постоянном давлении объем газа равен 10 л. Найти количество теплоты, полученное газом, изменение его внутренней энергии и работу, совершенную газом.

249. Закрытый баллон емкостью 10 л, содержащий кислород при давлении 2 МПа и температуре 7 ^оС, нагревается до температуры 27 ^оС. Какое количество теплоты передано газу? На сколько увеличилась внутренняя энергия газа?

250. Воздух адиабатно сжимается от давления 0,1 МПа до 3,5 МПа. Начальная температура воздуха 40 ^оС. Найти температуру в конце такта сжатия.

251. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме неона и водорода, принимая эти газы за идеальные. Молярная масса неона кг/моль, водорода кг/моль.

252. Определить удельную теплоёмкость некоторого одноатомного газа при постоянном объёме, если плотность этого газа при нормальных условиях 0,795 кг/м³.

253. Трехатомный газ под давлением 240 кПа и при температуре 20 ^оС занимает объем 10 л. Определить теплоемкость этого газа при постоянном давлении.

254. При температуре 207 ^оС масса 2,5 кг некоторого газа занимает объем 0,3 м³. Определить давление газа, если удельная теплоемкость при постоянном давлении равна 519 Дж/( ) и g = С_р/C_V= 1,67.

255. Вычислить удельные теплоемкости газа, зная, что его молярная масса 44^.10^-3 кг/моль и отношение теплоемкостей g = С_р/C_V= 1,33.

256. Известны удельные теплоемкости газа: с_V= 649 Дж/( ) и с_p = 912 Дж/( ). Найти молярную массу газа и число степеней свободы его молекул.

257. Молярная масса газа равна кг/моль. Отношение теплоемкостей С_р/C_V= 1,67. Вычислить удельные теплоемкости газа.

258. Определить удельные теплоёмкости для смеси газов, содержащих гелий массой 1 г и водород массой 4 г.

259. Некоторый газ находится при температуре 350 ^оК в баллоне емкостью 100 л под давлением 200 кПа. Теплоемкость этого газа при постоянном объеме 140 Дж/К. Определить отношение теплоемкостей С_р/C_V.

260. Вычислить теплоемкость (при постоянном объеме) газа, заключенного в сосуд емкостью 20 л при нормальных условиях. Газ одноатомный.

261. В топке паровой турбины расходуется 0,35 кг дизельного топлива на 1 энергии. Температура поступающего в турбину пара 250 ^оС, температура теплоприемника 30 ^оС. Вычислить КПД турбины. Найти КПД идеальной тепловой машины, работающей при тех же температурных условиях. Удельная теплота сгорания топлива 42 Мдж/кг.

262. В ходе цикла Карно рабочее вещество получает от теплоотдатчика количество теплоты 300 кДж. Температуры теплоотдатчика и теплоприемника равны соответственно 480 К и 280 К. Определить термический КПД цикла и работу, совершаемую рабочим веществом за цикл.

263. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно, термический КПД которого 40 %. Температура теплоприемника 0 ^оС. Найти температуру теплоотдатчика и работу изотермического сжатия, если работа изотермического расширения 8 Дж.

264. Идеальной тепловой машиной за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, за цикл совершается работа 300 Дж. Определить термический КПД машины и температуру теплоотдатчика, если температура теплоприемника 280 К.

265. У тепловой машины, работающей по циклу Карно, температура теплоотдатчика в 1,6 раза больше температуры теплоприемника. За цикл машина совершает работу 12 кДж. Найти термический КПД цикла и работу изотермического сжатия рабочего вещества за цикл.

266. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70 % количества теплоты, полученного от теплоотдатчика, отдаёт теплоприёмнику. Количество теплоты, полученное от теплоотдатчика, равно 5 кДж. Определить: 1) термический КПД цикла; 2) работу цикла.

267. Идеальный газ совершает цикл Карно, термический КПД которого равен 0,4. Определить работу изотермического сжатия, если работа изотермического расширения составляет 400 Дж.

268. Температура теплоотдатчика идеальной тепловой машины 480 К, а ее КПД составляет 40 %. Чему равна температура теплоприемника? Какую долю количества теплоты, полученного от теплоотдатчика, газ отдает теплоприемнику?

269. Идеальная тепловая машина за цикл совершает работу 4 кДж, отдавая при этом теплоприёмнику 6,4 кДж теплоты. Определить КПД цикла, а также температуру теплоотдатчика, если температура теплоприемника 280 К.

270. Идеальный газ совершает цикл Карно. Газ получил от теплоотдатчика количество теплоты 5,5 кДж и совершил работу 1,1 кДж. Определить: 1) термический КПД цикла; 2) отношение температур теплоотдатчика и теплоприёмника.

271. Воду массой 1 г нагрели от температуры 10 ^оС до температуры 100 ^оС, при которой она вся превратилась в пар. Найти приращение энтропии системы.

272. Кусок льда массой 200 г, взятый при температуре -10 ^оС, был нагрет до 0 ^оС и расплавлен, после чего образовавшаяся вода была нагрета до температуры 10 ^оС. Определить изменение энтропии в ходе указанных процессов.

273. Кислород массой 10 г нагревается от температуры 50 ^оС до температуры 150 ^оС. Найти приращение энтропии, если нагревание происходит: а) изохорически; б) изобарически.

274. Во сколько раз при изотермическом процессе надо увеличить объем газа, чтобы его энтропия увеличилась на 23 Дж/К? Количество газа равно 4 моль.

275. В результате изохорического нагревания воздуха массой 1 г давление газа увеличилось в 2 раза. Определить изменение энтропии газа.

276. Смешано 5 кг воды при температуре 280 К и 8 кг воды при температуре 350 К. Найти: 1) температуру смеси; 2) изменение энтропии, происходящее при смешивании.

277. Объем кислорода массой 2 кг увеличился в 5 раз один раз в изотермическом процессе, другой раз – в адиабатическом процессе. Найти изменение энтропии в каждом из указанных процессов.

278. Идеальный газ количеством 1 моль сначала изобарно нагрели так, что его объем увеличился в 2 раза, а затем изохорно охладили так, что его давление уменьшилось в 2 раза. Определить приращение энтропии в ходе данных процессов.

279. Какова ёмкость системы охлаждения двигателя автомобиля, если при повышении температуры воды от 27 ^оСдо 97 ^оС её энтропия увеличивается на 8,3 кДж/К.

280. При изотермическом процессе объем некоторого идеального газа увеличился в 2 раза, а энтропия возросла на 4,6 Дж/К. Какое количество газа участвовало в указанном процессе?

4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3“ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ”