Теплоемкость. первое начало термодинамики

Краткая теория

Под теплоемкостью С понимают то количество тепла, которое надо сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один градус Кельвина:

. (7.1)

Если речь идет о передаче теплоты не всему телу, а одному килограмму, то говорят об удельной теплоемкостис=С/m (измеряется в Дж/(кг∙К)). Если речь идет о передаче теплоты одному молю вещества, то говорят о молярной теплоемкостиC_µ=С/ν, измеряемой в Дж/(моль∙К).Связь между молярной(C_µ) и удельной (с) теплоемкостями газа:

(7.2)

где M – молярная масса газа.

Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно равны (здесь и далее в целях упрощения записи в индексах обозначений молярной теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме букву «µ» будем опускать):

C_V , C_p , (7.3)

где i - число степеней свободы молекул газа; R=8,31 Дж/(моль∙К) – универсальная газовая постоянная.

Уравнение Р. Майера

. (7.4)

Показатель адиабаты

, или . (7.5)

Внутренняя энергия идеального газа:

, (7.6)

где Т – температура газа.

Политропическими называются процессы, при которых теплоемкость тела остается постоянной (С=const). Теплоемкость идеального газа при политропическом процессе:

, (7.7)

где n-показатель политропы. Изобарному процессу соответствует n=0, изотермическому n=1, изохорному n= , адиабатному n=g.

Внутренняя энергия реального газа

. (7.8)

где а – постоянная Ван-дер-Ваальса, V_m- молярный объем газа.

Работа, связанная с изменением объема газа, в общем случае вычисляется по формуле:

, (7.9)

где V₁ – начальный объем газа; V₂ – его конечный объем, δA=pdV –элементарнаяработа газа при малом изменении объема dV.

Работа газа при изобарном процессе (p = const)

, или ; (7.10)

при изотермическом процессе (Т=const)

, или ; (7.11)

при адиабатном процессе(адиабатным называется процесс, происходящий без обмена теплотой с окружающей средой)

, или , (7.12)

где Т₁ – начальная температура газа; Т₂ – его конечная температура.

Уравнение Пуассона (уравнение газового состояния при адиабатном процессе):

, , . (7.13)

Первое начало термодинамики:

, (7.14)

где Q – количество теплоты, сообщенное системе или отданное ею; - изменение ее внутренней энергии; A – работа системы против внешних сил.

Первое начало термодинамики для малого изменения системы:

. (7.15)

Первое начало термодинамики при изобарном процессе

, (7.16)

при изохорном процессе (А=0)

, (7.17)

при изотермическом процессе ( )

, (7.18)

при адиабатном процессе (Q=0)

. (7.19)

Вопросы для самоподготовки

1. Дайте определение теплоемкости тела, удельной и молярной теплоемкости вещества.

2. Как связаны между собой молярные теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном давлении?

3. На рисунке схематически представлена температурная зависимость молярной теплоемкости при постоянном объеме C_V от температуры T для двухатомного газа. Назовите, какими степенями свободы обладают молекулы газа на участках 1-1^/, 2-2^/, 3-3^/. Почему на участках 1^/-2, 2^/-3 молярная теплоемкость газа изменяется?

Рис. 7.1 к вопросу №3

.

4. Дайте определение внутренней энергии.

5. Получите формулу (7.6) для внутренней энергии идеального газа.

6. Какой процесс называется адиабатным? Приведите примеры такого процесса.

7. Из уравнения Пуассона, связывающего давление и объем , и уравнения Клапейрона pV/T=const получите другие уравнения связи параметров состояния газа при адиабатном процессе и .

8. Сформулируйте первое начало термодинамики.

9. Примените первое начало термодинамики к изотермическому, изобарному, изохорному и адиабатному процессам.

10. Получите формулы для работы газа при изотермическом, изобарном и адиабатном процессах.

Примеры решения задач

7.1.Двухатомный идеальный газ, занимавший при давлении объем V₁=4л, расширяют до объема V₂=6л, при этом давление падает до значения р₂=10⁵ Па. Процесс происходит сначала по адиабате, затем по изохоре. Определить работу газа, количество поглощенной теплоты и изменение внутренней энергии газа при этом переходе.

Дано: Найти:

, 1. А₁₂,

V₁=4л=4∙10^-3 м³, 2. Q₁₂,

V₂=6л=6∙10^-3 м³, 3.ΔU₁₂.

р₂=10⁵ Па.

Решение:

Газ участвует в двух процессах: а) адиабатное расширение из состояния 1 в некоторое состояние B, в котором объем V_B=V₂, давление p_B неизвестно; б) изохорный переход из состояния B в состояние 2. Чтобы определить характер изохорного процесса – нагревание или охлаждение, - надо найти промежуточное значение давления p_B. Согласно уравнению Пуассона для адиабатного процесса (7.13)

. (1)

Газ двухатомный (число степеней свободы его молекулы i=5), следовательно, показатель адиабаты . С учетом этого уравнение (1) примет вид:

. (2)

Неравенство (2) показывает, что при изохорном переходе из состояния B в состояние 2 давление газа уменьшается (рисунок 7.2) и, следовательно, процесс B-2 есть процесс изохорного охлаждения (p/T=const при V=const). Чтобы найти работу А₁₂ и количество поглощенной теплоты Q₁₂ при переходе из состояния 1 в 2, надо рассмотреть каждый из указанных процессов отдельно:

A₁₂=A_1B+A_B2, Q₁₂=Q_1B+Q_B2. (3)

Работа газа при адиабатном процессе:

. (4)

Уравнение Клапейрона-Менделеева для состояний 1 и В соответственно имеет вид:

, . (5)

Подставим уравнения (5) в (4) и найдем работу газа на участке 1В:

. (6)

Учитывая, что , можно получить .

На участке 1-В количество поглощенной теплоты Q_1B=0. На участке В-2 количество поглощенной теплоты можно найти из первого начала термодинамики для изохорного процесса:

. (7)

Подставляя уравнение Клапейрона-Менделеева для состояний В и 2 соответственно

,

в выражение (7), можно получить:

. (8)

Поскольку , общее количество теплоты . Знак минус показывает, что газ отдавал теплоту окружающим телам.

Изменение внутренней энергии не зависит от процесса и может быть определено по формуле (7.6), с использованием уравнения Клапейрона-Менделеева для состояний 1 и 2:

.

Ответ: 1. ,

2. ,

3. .

7.2.Один моль идеального одноатомного газа нагревают от температуры Т₁=150 К до Т₂=400 К так, что в процессе нагрева р/V=const. Определить молярную теплоемкость и рассчитать количество теплоты, поглощенное газом при нагревании.

Дано: Найти:

, 1. C,

Т₁=150 К, 2. Q.

Т₂=400 К,

р/V=const.

Решение:

Запишем первое начало термодинамики в дифференциальной форме (7.15) для количества теплоты, поглощенного газом при нагревании:

. (1)

С другой стороны, по формуле для количества теплоты, переданного системе (7.1):

, (2)

где С – молярная теплоемкость газа.

Приравнивая правые части выражений (1) и (2), получим выражение для молярной теплоемкости газа:

. (3)

Подставив выражение для давления, полученное из уравнения Клапейрона-Менделеева p=mRT/MV, поочередно в (3) и в уравнение процесса p/V=const, можно получить соответственно:

, (4)

. (5)

Чтобы найти dV/dT, продифференцируем выражение (5) по переменной T:

,

откуда

. (6)

Подставив выражение (6) в (4), получим:

. (7)

Рассматриваемый газ – одноатомный (i=3). Тогда . Из формулы (7.1) найдем количество теплоты, поглощенное газом при нагревании:

кДж.

Ответ: 1. ,

2. Q₁₂=4,2 кДж.

7.3.Найти работу, совершаемую одним молем ван-дер-ваальсовского газа при изотермическом расширении его от объема V₁ до V₂ при температуре T.

Дано: Найти:

, .

V₁,

V₂,

T=const.

Решение:

Давление реального газа можно выразить из уравнения Ван-дер-Ваальса для одного моля газа:

. (1)

Подставив в формулу (7.9) выражение (1), можно найти работу, совершаемую одним молем ван-дер-ваальсовского газа при изотермическом расширении:

. (2)

После интегрирования получаем:

.

Ответ: .