Импульс. Закон сохранения импульса

И́мпульс (количество движения) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела.

В классической механике импульс материальной точки равен произведению массы m точки на её скорость , направление импульса совпадает с направлением вектора скорости (рис. 38): = m .

Рис. 38.

В СИ: [P] = или (Н•с).

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости: = .

соответственно величина = m_i называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Если мы имеем дело с телом конечного размера, не состоящим из дискретных материальных точек, для определения его импульса необходимо разбить тело на малые части, которые можно считать материальными точками и просуммировать по ним, в результате получим: = dx dy dz.

В релятивистской механике ( трёхмерным импульсом системы невзаимодействующих материальных точек называется величина:

= ,

где m_i — масса i-й материальной точки.

История появления термина

Рис. 39. Декарт (Descartes) Рене (латинизированное — Картезий; Cartesius) (1596-1650), французский философ, математик, физик и физиолог, и философ, создатель знаменитого метода координат.

Ещё в первой половине XVII века понятие импульса введено Рене Декартом (рис.39). Так как физическое понятие массы в то время отсутствовало, он определил импульс как произведение «величины тела на скорость его движения». Позже такое определение было уточнено Исааком Ньютоном. Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».

Закон сохранения импульса

В инерциальной системе отсчёта импульс замкнутой системы частиц остаётся постоянным: const.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Из определения закона сохранения импульса следует, что он строго выполняется лишь в идеальном случае.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной из фундаментальных симметрий, — однородность пространства[10].

Законы Ньютона

Законы Ньютона – основные законы динамики. Они не выводятся ни из каких более общих теоретических положений, а являются обобщением большого числа опытных фактов. В классической механике эти законы играют такую же роль, как и известные постулаты в геометрии Евклида. . Впервые в полной мере сформулированы Исааком Ньютоном в книге «Математические начала натуральной философии» (1687 год).

Законы Ньютона строго выполняются лишь в инерциальных системах отсчёта.

Сам Ньютон в качестве такой системы отсчёта выбрал систему отсчёта, связанную с т. н. «абсолютным пространством»[11]. Современная физика отказалась от концепции абсолютного пространства и времени классической физики Ньютона. Релятивистская теория продемонстрировала, что пространство и время относительны.

Первый закон Ньютона

Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчета. Поэтому он также известен как закон инерции.

В современной физике первый закон Ньютона принято формулировать в следующем виде:

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальные точки, когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Или аналогичная формулировка:

В отсутствие внешних воздействий (сил) или когда действующие силы взаимно уравновешены, материальная точка сохраняет неизменным состояние своего движения или покоя относительно инерциальной системы отсчёта.

Такое движение называется движением по инерции.

Системы отсчёта, в которых выполняется закон инерции, называют инерциальными системами отсчёта. Все другие системы отсчёта (например, вращающиеся или движущиеся с ускорением) называются соответственно неинерциальными. Проявлением неинерциальности в них является возникновении фиктивных сил, называемых «силами инерции».

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этого ускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта.

Масса материальной точки при этом полагается величиной постоянной во времени и независящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами.

В современной формулировке второй закон Ньютона утверждает:

В инерциальной системе отсчета (ИСО) ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально приложенной к ней силе и обратно пропорционально её массе (рис.40; 41):

= ,

где — ускорение материальной точки; — сила, приложенная к материальной точке; — масса материальной точки .

.

Рис. 40.

Рис.41.

В случае, когда масса материальной точки меняется со временем, второй закон Ньютона формулируется с использованием понятия импульс:

В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на неё силе:

=

где — импульс точки, –производная импульса по времени, скорость изменения импульса.

Действительно, = = = m = m

Однако, вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходится существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила.

Замечания:

1. Когда на материальную точку действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции, второй закон Ньютона записывается в виде: m =

или, = .

2. Второй закон Ньютона, как и вся классическая механика, действителен только для движения тел со скоростями, много меньшими скорости света. При движении тел со скоростями, близкими к скорости света ( , используется релятивистское обобщение второго закона, получаемое в рамках специальной теории относительности.

3. Следует учитывать, что нельзя рассматривать частный случай (при ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.

Третий закон Ньютона

Механическое воздействие тел друг на друга носит характер взаимодействия. Об этом утверждает третий закон Ньютона:

Две материальные точки действуют друг на друга с силами, которые численно равны и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки (рис. 42): ₁ = ₂.

Рис. 42.

Одна из этих сил называется действующей, а другая -–противодействующей. Силы, возникающие при взаимодействии тел, всегда имеют одинаковую природу. Они приложены к разным телам и поэтому не могут уравновешивать друг друга. Складывать по правилам векторного сложения можно только силы, приложенные к одному телу.

Пример.

1). В электростатике взаимодействие электрических зарядов подчиняется третьему закону Ньютона (рис. 43):

Рис. 43.

2). Для силы Лоренца третий закон Ньютона не выполняется.

Энергия

При движении механической системы меняются координаты и скорости входящих в неё тел. Однако существуют характеризующие систему величины, которые с течением времени остаются постоянными. Такими величинами являются в механике энергия, импульс и момент импульса.

Эне́ргия (Е, W) — скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения и взаимодействия материи, мерой перехода движения материи из одних форм в другие.

В СИ: [E, W] = Дж.

Термин «энергия» происходит от слова energeia, которое впервые появилось в работах Аристотеля (др.-греч. ἐνέργεια — «действие, деятельность, сила, мощь»). В 1807 году Томас Юнг первым использовал термин «энергия» в современном смысле этого слова взамен понятия живая сила.

Энергия системы является функцией состояния, а не процесса: она не зависит от того, каким образом достигнуто данное состояние.

С фундаментальной точки зрения энергия представляет собой интеграл движения (то есть сохраняющуюся при движении величину), связанный, согласно теореме Нётер, с однородностью времени. Таким образом, введение понятия энергии как физической величины целесообразно только в том случае, если рассматриваемая физическая система однородна во времени.

В соответствии с различными формами движения материи выделяют различные виды энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную, химическую, ядерную и др.

Механика различает потенциальную энергию (или, в более общем случае, энергию взаимодействия тел или их частей между собой или с внешними полями) и кинетическую энергию (энергия движения). Их сумма называется полной механической энергией.

Энергией обладают все виды полей. По этому признаку различают: электромагнитную (разделяемую иногда на электрическую и магнитную энергии), гравитационную и ядерную энергии (также может быть подразделяться на энергию слабого и сильного взаимодействий).

Термодинамика рассматривает внутреннюю энергию и иные термодинамические потенциалы.

В химии рассматриваются такие величины, как энергия связи и энтальпия, имеющие размерность энергии, отнесённой к количеству вещества.

В механике рассматривается только механическая энергия.

Механическая энергия является мерой движения и взаимодействия механических объектов (материальных точек, твёрдых тел).

Согласно специальной теории относительности между массой и энергией существует связь, выражаемая знаменитой формулой Эйнштейна

E = mc² ,

где E — энергия системы, m — её масса, c — скорость света в вакууме.

Работа силы

Для количественного описания процесса обмена энергией между взаимодействующими телами в механике используется понятие работы силы, приложенной к рассматриваемому телу. Работа силы – это энергетическая характеристика движения.

Понятие работы в физике отличается от её обыденного, физиологического понимания как всякого усилия, мускульного напряжения.

Пусть материальная частица М под действием переменной силы перемещается по криволинейной траектории из точки S₁ в точку S₂ (рис. 44). Выделим элементарный участок пути dS, на котором силу можно считать постоянной, а перемещение прямолинейным.

Рис. 44.

Уравнение второго закона Ньютона для частицы М в этом случае имеет вид: d = •dt. Умножив скалярно обе части этого равенства на скорость частицы , получим: d = • •dt, где • dt = d . В данном случае d – вектор перемещения. Тогда можно записать: А = • d = •d , где А[12] – элементарная работа силы не перемещении d .

Элементарной работой А силы на перемещении d называется скалярное произведение А= • d = F• cos •dS =

Работа на пути конечной длины (S₁S₂) выражается через криволинейный интеграл: А = =

Механическая работа — это скалярная физическая величина, являющаяся количественной мерой действия силы или сил на тело или систему, зависящая от численной величины, направления силы (сил) и от перемещения точки (точек), тела или системы.

Если рассматриваемая сила постоянна ( = соnst), а тело, к которому она приложена, движется поступательно и прямолинейно, то работой, совершаемой силой при прохождении телом пути S, называют величину

А = ,

где а -– угол между силой и направлением движения тела (рис. 45).

Рис. 45.

Т.е. работа (этой силы) равна произведению величины проекции вектора силы на направление движения и величины совершённого перемещения S.

Работа величина алгебраическая:

А > 0 при > 0 – движущая сила; A < 0 при < 0 – тормозящая сила.

Если на тело одновременно действуют несколько сил, то работа, совершаемая ими, равна сумме работ каждой из сил порознь: А = ∑А_i .

Работа не совершается в следующих случаях:

1. = 0, т.е. на тело сила не действует (например, движение по инерции);

2. = 0, т.е. тело покоится;

3. = , т.е. вектор силы перпендикулярен к направлению вектора перемещения ( ).

Графически работа определяется по площади криволинейной фигуры под графиком F_s(x) (рис. 46).

Рис. 46.

Мощность

Мощность – скалярная физическая величина, численно равная работе, совершаемой за единицу времени:

N = = = , (Вт).

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия – энергия движущегося тела.

Обозначается: Е_к,; W_к; Т; К (Дж).

Пусть частица массой m движется под действием силы Уравнение второго закона Ньютона для частицы М в этом случае имеет вид: d = •dt . Умножив скалярно обе части этого равенства на скорость частицы , получим: d = • dt = m •d Учтем, что •d •d . Тогда: m •d = m •d или m •d = d( ), где К= - кинетическая энергия тела.

Тогда кинетическая энергия тела выражается по формуле:

К = =

где Р - импульс тела.

Кинетическая энергия – величина относительная, всегда выполняется условие: К 0.

Т.к. d( ) = dK, а d = • •dt = = Тогда dK = при конечном перемещении из точки 1 в точку 2: ∆К = А₁₂.

Тогда в общем случае можно утверждать:

изменение кинетической энергии механической системы равно алгебраической сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на эту систему: dK = А_внешн. + А_внутр.

Силовое поле

Материя существует в виде вещества и поля. Поле – переносчик взаимодействий между телами (гравитационное, электромагнитное поле, поле ядерных сил и т.п.).

В механике силовое поле – часть пространства, в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует сила, зависящая от координат частицы.

Силовое поле называется стационарным, если оно не изменяется со временем.

Потенциальное силовое поле

Стационарное силовое поле, в котором работа сил поля, действующих на материальную частицу, зависит только от начального и конечного положения частицы и не зависит от вида её траектории, называется потенциальным. Силы такого поля называются консервативными.

Если это условие не выполняется, то силовое поле не будет потенциальным ( в частности, вихревым, как магнитное поле).

Потенциальными полями являются: гравитационное, электростатическое, поля центральных сил.

Терема: в потенциальном поле работа сил поля на любом замкнутом пути L равна нулю (рис. 47).

L

Рис. 47.

Доказательство

Т.к. поле потенциальное, то А_1а2 = А_1b2, но

А_1b2= - А_2b1. Тогда: А_1а2 + А_2b1= А_1а2 A_1b2= 0.

Обратная теорема: если работа сил поля на любом замкнутом пути L равна нулю, то поле потенциальное.

Доказательство

По условию: А_1а2 + А_2b1 = 0, тогда: А_1а2 = - А_2b1, но

А_2b1 = - А_1b2, то А_1а2 = А_1b2.

Работа сил потенциального поля на произвольном замкнутом пути L выражается через криволинейный интеграл:

А₁₁ = 0,

где 0 – циркуляция вектора вдоль замкнутой кривой L.

Условие: 0 является необходимым и достаточным условием потенциальности поля.

Потенциальная энергия

Для частицы, находящейся в потенциальном поле, можно ввести понятие потенциальной энергии.

Потенциальная энергия – часть механической энергии системы, зависящая от взаимного расположения материальных точек, составляющих эту систему, и от их положения во внешнем силовом поле.

Обозначается: Е_п,; W_п; U; V;П (Дж).

Т.е. потенциальная энергия есть функция координат частицы в поле: П = П (x, y, z) или П = П( ).

Пусть материальная частица перемещается в потенциальном поле сил из разных i –ых точек в фиксированную точку 0 (рис. 48). Т.к. поле потенциальное, то работа сил поля при фиксированной точке 0 зависит только от положения i – той точки. Найдём работу сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2. Т.к. работа не зависит от пути, выберем путь, проходящий через точку 0. Тогда работа на пути 100^′ может быть представлена в виде: A_10′ = A₁₀ + A_00′ = A₁₀ A_00′ . Или с учётом того, что П = П( ), получаем: A_10′ = П₁ П₂, где П₁ П₂ = - ∆П – убыль потенциальной энергии.

В случае элементарной работы: = dП, т.е. работа сил потенциального поля (консервативных сил) равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле.

Рис. 48.

Частице, находящейся в точке 0 поля, можно приписать любое наперёд выбранное значение потенциальной энергии. Математически это выражается в том, что потенциальная энергия П – это функция, которая определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Однако это обстоятельство несущественно, т.к. во все формулы входит только разность значений потенциальных энергий в двух положениях частицы. Поэтому произвольная постоянная, одинаковая для всех точек поля, выпадает. Это соответствует тому обстоятельству, что путём измерения работы может быть определена лишь разность потенциальных энергий в двух точках поля, но не её абсолютное значение.

Т.о. потенциальная энергия – величина относительная, т.е. потенциальная энергия может быть как положительной, так и отрицательной или равной нулю величиной.

В отличие от кинетической энергии, где имеется каноническая формула для расчёта, в случае потенциальной энергии, т.к. она зависит от конфигурации системы и её положения во внешнем силовом поле, такой единой формулы нет.

Пример.

1. Потенциальная энергия упругой деформации

Примером силы, модуль которой зависит от координаты, может служить сила упругости пружины, подчиняющаяся закону Гука. Для того, чтобы растянуть пружину, к ней нужно приложить внешнюю силу модуль которой пропорционален удлинению пружины x (рис. 49).

Рис.49. Растянутая пружина. Направление внешней силы совпадает с направлением перемещения FS = kx, где k – жесткость пружины. упр.=

Зависимость модуля внешней силы от координаты x изображается на графике прямой линией (рис.50).

Рис. 50. Зависимость модуля внешней силы от координаты при растяжении пружины.

По площади треугольника на рис. 50 можно определить работу, совершенную внешней силой, приложенной к правому свободному концу пружины: А = , где x – абсолютное удлинение пружины.

Этой же формулой выражается работа, совершенная внешней силой при сжатии пружины. В обоих случаях работа упругой силы _упр равна по модулю работе внешней силы и противоположна ей по знаку.

Эта работа численно равна потенциальной энергии упругой деформации:

П = .

2. Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли

Сила тяжести равна = m и направлена по вертикали вниз. Вблизи поверхности Земли ее можно считать постоянной. При движении тела по вертикали вниз сила тяжести совпадает по направлению с перемещением. При переходе с высоты h₁ над каким-то уровнем, от которого мы начинаем отсчет высоты, до высоты h₂ над тем же уровнем (рис. 53), тело совершает перемещение, по абсолютной величине равное h₁ – h₂.

Так как направления перемещения и силы совпадают, то работа силы тяжести положительна и равна: A = mg(h₁ – h₂).

Высоты h₁ и h₂ не обязательно отсчитывать от поверхности Земли. Для начала отсчета высот можно выбрать любой уровень. Это может быть пол комнаты, стол или стул, это может быть и дно ямы, вырытой в земле, и т. д. Ведь в формулу для работы входит разность высот, а она не зависит от того, откуда начинать их отсчет. Мы могли бы, например, условиться начинать отсчет высоты с уровня В (рис. 51).

Рис. 51.

Тогда высота этого уровня была бы равна нулю, а работа выражалась бы равенством: A = mgh, где h — высота точки A над уровнем В.

Если тело движется вертикально вверх, то сила тяжести направлена против движения тела и ее работа отрицательна.

Если после подъема вверх тело возвращается в исходную течку, то работа на таком пути, начинающемся и кончающемся в одной и той же точке (на замкнутом пути), на пути «туда и обратно», равна нулю. Это одна из особенностей силы тяжести: работа силы тяжести на замкнутом пути равна нулю.

Теперь выясним, какую работу совершает сила тяжести в случае, когда тело движется не по вертикали. В качестве примера рассмотрим движение тела по наклонной плоскости (рис. 52).

Рис. 52.

Допустим, что тело массой m по наклонной плоскости высотой h совершает перемещение S, по абсолютной величине равное длине наклонной плоскости. Работу силы тяжести mg в этом случае надо вычислять по формуле: A = mg .

Но из рисунка видно, что = . Поэтому: A = mgS .

Мы получили для работы то же самое значение. Выходит, что работа силы тяжести не зависит от того, движется ли тело по вертикали или проходит более длинный путь по наклонной плоскости. При одной и той же «потере высоты» работа силы тяжести одинакова (рис. 53).

Рис. 53.

Это справедливо не только при движении по наклонной плоскости, но и по любому другому пути. В самом деле, допустим, что тело движется по какому-то произвольному пути, например по такому, какой изображен на рисунке 54.

Рис. 54.

Весь этот путь мы можем мысленно разбить на ряд малых участков: AA₁, A₂A₁, A₂A₃ и т. д. Каждый из них может считаться маленькой наклонной плоскостью, а все движение тела на пути АВ можно представить как движение по множеству наклонных плоскостей, переходящих одна в другую. Работа силы тяжести на каждой такой наклонной плоскости равна произведению mg на изменение высоты тела на ней. Если изменения высот на отдельных участках равны h₁, h₂, h₃ и т. д., то работы силы тяжести на них равны mgh₁, mgh₂, mgh₃ и т. д. Тогда полную работу на всем пути можно найти, сложив все эти работы: A = mgh₁ +mgh₂ + … = mg(h₁ + h₂ + …).

Ho, h₁ + h₂ + … = h. Следовательно, A = mgh.

Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела и всегда равна произведению силы тяжести на разность высот в исходном и конечном положениях. При движении вниз работа положительна, при движении вверх — отрицательна. Эта работа численно равна потенциальной энергии тела над поверхностью земли: П = mgh. Почему же в технике и быту при подъеме грузов часто пользуются наклонной плоскостью? Ведь работа перемещения груза по наклонной плоскости такая же, как и при движении по вертикали! Это объясняется тем, что при равномерном движении груза по наклонной плоскости сила, которая должна быть приложена к грузу в направлении перемещения, меньше силы тяжести. Правда, груз при этом проходит больший путь. Больший путь — это плата за то, что по наклонной плоскости груз можно поднимать с помощью меньшей силы. Связь между потенциальной энергией и силой поля Т.к. выполняются соотношения: •d = или •d = •dS = , где dП – убыль потенциальной энергии в направлении перемещения d . Последняя формула устанавливает связь между потенциальной энергией и силой поля. Взаимодействие тел можно описать либо с помощью сил, либо с помощью потенциальной энергии. В классической механике широко используются оба способа. Однако первый способ обладает большей общностью, т.к. он применим и к диссипативным силам, для которых нельзя ввести потенциальную энергию. В квантовой механике, описывающей явления микромира, диссипативных сил нет. В уравнения квантовой механики входит лишь потенциальная энергия взаимодействующих микрочастиц. Величины, количественно описывающие силовое поле Количественными характеристиками силового поля являются напряжённость и потенциал поля. а). Напряжённость поля Силовой характеристикой поля является напряжённость поля. Опыт показывает, что в случае гравитационных и электростатических взаимодействий сила , действующая на частицу, помещённую в некоторую точку соответствующего поля, пропорциональна массе m (в случае гравитационного поля) или электрическому заряду q (в случае электростатического поля) частицы. В этом случае говорят о массе как «гравитационном заряде». Напряжённостью силового поля называется векторная величина, равная отношению силы, действующей со стороны на помещенную в него материальную частицу, к величине массы (в случае гравитационного поля) или электрического заряда (в случае электростатического поля) этой частицы: = – в случае гравитационного поля; = – в случае электростатического поля. Направление векторов напряжённости ( ) совпадает по направлению с вектором силы . Величинs массы m и заряда q должны быть так малы (m ; q чтобы поле не искажалось. Пример. Гравитационное поле (поле тяготения), один из видов поля физического,посредством которого осуществляется гравитационное взаимодействие (притяжение) тел, например Солнца и планет Солнечной системы, планет и их спутников, Земли и находящихся на ней или вблизи нее тел. Представим закон всемирного тяготения для двух материальных частиц (рис. 55): Рис. 55. 1= 2 = где 1 и 2 – силы притяжения соответствующих частиц 1 и 2; m1 и m2 – массы частиц; -–гравитационная постоянная. Если обозначить массу частицы, создающей поле М, массу «пробной» частицы, вносимой в поле m (m<