Импульс, закон сохранения импульса

И́мпульс(Количество движения) — векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этой точки на её скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Вывод из законов Ньютона

Рассмотрим выражение определения силы

Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru

Перепишем его для системы из N частиц:

Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru

где суммирование идет по всем силам, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru и Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru Тогда после подстановки полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:

Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru

или

Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru (постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы частиц есть величина постоянная. Нетрудно получить аналогичное выражение для одной частицы.

Следует учесть, что вышеприведенные рассуждения справедливы лишь для замкнутой системы.

Также стоит подчеркнуть, что изменение импульса Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности её действия.

Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокуп­ность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механичес­кой системы называются — внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной). Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и проти­воположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны m1, m2,.... mn, и v1, v2,..., vn. Пусть Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru — равнодейст­вующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, a Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru — равно­действующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru

Складывая почленно эти уравнения, получаем

Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru

Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru

или

Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru (9.1)

где Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru — импульс системы. Таким образом, производная по времени от им­пульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru

Последнее выражение и является законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения импульса справедлив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выпол­няется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, т. е. закон сохранения импуль­са — фундаментальный закон природы.

Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симмет­рии пространства — его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

Отметим, что, согласно (9.1), импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

В механике Галилея—Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс. Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С,положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее ра­диус-вектор равен

Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru

где mi и ri — соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки; n — число материальных точек в системе; Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru – масса системы. Скорость центра масс

Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru

Учитывая, что pi = mivi , a Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru есть импульс р системы, можно написать

Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru (9.2)

т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Подставив выражение (9.2) в уравнение (9.1), получим

Импульс, закон сохранения импульса - student2.ru (9.3)

т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (9.3) представляет собойзакон движения центра масс.

В соответствии с (9.2) из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается непо­движным.

Наши рекомендации