Электромагнетизм, оптика и физика вещества.

Основные законы и формулы.

Закон Кулона: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , q1, q2 - заряды, расстояние между которыми r, ε - диэлектрическая проницаемость среды ε0 - электрическая постоянная. Напряжённость электрического поля: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Поток вектора Е: ФЕ = Е·S∙cosα, где α – угол между вектором Е и нормалью к площадке площадью S.

Теорема Остроградского-Гаусса Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Напряжённость электрического поля точечного заряда Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ,

многих точечных зарядов Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ,

бесконечной равномерно заряженной плоскости Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (где Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru - поверхностная плотность заряда),

бесконечной равномерно заряженной нити Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (где Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru - линейная плотность заряда).

Потенциал поля точечного заряда Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Связь между напряжённостью и потенциалом неоднородного: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

и однородного электрического поля: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где d- расстояние между двумя точками.

Электроёмкость уединённого проводника Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru . Электроёмкость сферы радиусом R Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru . Электроёмкость плоского конденсатора Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ,

где S - площадь пластин конденсатора, d - расстояние между ними.

Электроёмкость батареи конденсаторов соединённых:

- последовательно: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ,

- параллельно: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Энергия, запасённая конденсатором: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ,

где U = φ1 – φ2 - напряжение между обкладками конденсатора.

Объёмная плотность энергии электрического поля: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Сила постоянного тока Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru . Плотность тока j = Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Омическое сопротивление проводника: R = Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где ρ - удельное сопротивление, Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru - длина и S – площадь поперечного сечения проводника.

Закон Ома для участка цепи: I= Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru . Закон Ома для полной цепи: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где ε – электродвижущая сила ЭДС, r- внутреннее сопротивление источника тока. Законы Кирхгофа: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ; Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Мощность тока: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru . Закон Джоуля-Ленца: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = I2Rt.

Индукция магнитного поля: В = μμ0Н, где Н –напряженность магнитного поля в А/м, μ0 – магнитная постоянная, μ- магнитная проницаемость вещества.

Индукция магнитного поля в центре кругового тока с числом витков N: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , вокруг бесконечно длинного проводника с током Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ,

вблизи проводника конечной длины с током: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ,

внутри соленоида с током Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где R - радиус витков; Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru - длина соленоида; n = Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru -плотность витков; α1 и α2 – углы между прямыми, соединяющими точку r с концами проводника и направлением тока.

Сила Ампера: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ,где α -угол между вектором Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru и направлением тока. Магнитный момент контура площадью S с током: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Механический момент, действующий на рамку с током в магнитном поле: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где α - угол между направлениями векторов Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru и Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Сила Лоренца: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где α - угол между вектором Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru и скоростью частицы Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru . Магнитный поток: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле: dA = I·dФ.

Индуктивность катушки (соленоида) Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Поток магнитной индукции в катушке с током: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Энергия магнитного поля: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Э.д.с. электромагнитной индукции, возникающей при вращении рамки

площадью S и числом витков N в магнитном поле: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ,

где ω = 2πν – круговая частота. Э.д.с. самоиндукции: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Ток в цепи, содержащей индуктивность, после отключения цепи от источника тока: I = I0 Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где I0 ток в цепи в начальный момент времени (t = 0), R и L - омическое и индуктивное сопротивление цепи, соответственно.

Оптический путь световой волны в однородной среде: L = n×s, где s – геометрический путь световой волны, n – показатель преломления среды.

Оптическая разность хода двух лучей: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где L1 и L2 – оптические пути световых волн.

Условие интерференционных максимумов: Δ = ± 2m Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ,≈ mλ

Условие интерференционных минимумов: Δ = ± (2m+1) Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где λ – длина световой волны, m = 0, 1, 2, 3…- порядок min или max.

Оптическая разность хода световых лучей в тонких плёнках:

в проходящем свете: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ,

в отражённом свете: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru + λ/2,

где d – толщина, n – показатель преломления пленки, i – угол падения света.

Радиусы колец Ньютона:

- светлых в проходящем или темных в отраженном свете: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ,

- темных в проходящем или светлых в отраженном свете: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

где R – радиус кривизны линзы, m = 1, 2, 3… – порядок темных или светлых колец, λ – длина световой волны.

Радиусы зон Френеля:

-для сферической волновой поверхности: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

-для плоской волновой поверхности: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

где m = 1, 2, 3…-порядок зон Френеля, а – расстояние от точечного источника света до волновой поверхности, b – наименьшее расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения.

Дифракционная решетка: d∙sin Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru где d – постоянная решетки, m = 0, 1, 2…. -порядок дифракционных максимумов.

Разрешающая способность дифракционной решетки: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ,

где Δλ – разность длин волн двух соседних спектральных линий, разрешаемых решеткой, m - порядок спектра, N – общее число щелей решетки.

Формула Вульфа–Брэгга для дифракции рентгеновских лучей: 2d·sin Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

где d – расстояние между атомными плоскостями кристалла, θm – угол скольжения рентгеновских лучей, m-

Энергетическая светимость тела: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где W – энергия излучения, S – площадь излучаемой поверхности, t - время излучения, N - мощность или

Ф - поток излучения.

Закон Стефана – Больцмана: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где R – энергетическая светимость абсолютно черного тела, Т – термодинамическая температура тела, σ – постоянная Стефана – Больцмана.

Закон смещения Вина: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где λmax - длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения черного тела, b – постоянная Вина.

Энергия фотона: Еф Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где h – постоянная Планка, ν – частота света, λ – длина волны.

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта: hn = Авых + Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ,

где Авых – работа выхода электронов из металла, m –масса, vmax – максимальная скорость выбитых фотоэлектронов.

Энергия связи нуклонов в ядре атома: Есв2·Δm, где Δm – дефект масс.

Дефект масс: Δm = Z·mp + (А - Z)mn - mЯ, где Z – порядковый номер, А – массовое число элемента, mp – масса протона, mn – масса нейтрона, mЯ – масса ядра.

Изменение энергии при ядерных реакциях: ΔЕ = с2( Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ,

где ∑m1 – сумма масс частиц и ядер до реакции,

∑m2 – сумма масс частиц и ядер после реакции.

Примеры решения задач

1.Два шарика одинакового объема, обладающие массой 0,6·10-3 г каждый, подвешены на шёлковых нитях длиной 0,4 м так, что их поверхности соприкасаются. Угол, на который разошлись нити при сообщении шарикам одинаковых зарядов, равен 600. Найти величину зарядов и силу электрического отталкивания.

Дано: m = 0,6·10-3 г = 0,6·10-7 кг; l = 0,4 м; α= 600; q1 = q2 =q.

Найти: q, F

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru Решение: В результате электростатического отталкивания заряды разойдутся на расстояние равное 0,4 м. Исходя из условия равновесия, запишем: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

В проекциях на ось Х и ось Y получим:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (1) Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (2 )

Поделив первое уравнение на второе получим:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , учитывая что Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru или Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где k0 = Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ; получим: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , откуда Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Подставим данные: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = 7,8·10-9 Кл.= 7,8 нКл

При этом сила отталкивания будет равна:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Ответ: Fк = 3,4·10-6 Н., q=7,8 нКл

2. Вычислить ускорение, сообщаемое одним электроном другому, находящемуся в вакууме на расстоянии 1 мм от первого.

Дано: q = 1.6 · 10-19 Кл; r = 1 мм = 10-3 м.

Найти: а.

Решение. По закону Кулона электроны, находящиеся в вакууме на расстоянии r, взаимодействуют (отталкиваются) с силой Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ;

Под действием этой силы в соответствии со вторым законом Ньютона электрон приобретает ускорение: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где m – масса электрона. Тогда Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ;

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ≈ 2,5 108 (м/с2 ).

Ответ: а = 2,5∙108 м/с2 = 250 Мм/с2.

3 .Заряды по 1 нКл помещены в вершинах равностороннего треугольника со стороной 0,2 м. Равнодействующая сил, действующих на четвертый заряд, помещенный на середине одной из сторон треугольника, равна 0,6 мкН. Определить этот заряд, напряженность и потенциал поля в точке его расположения.

Дано: q1 = q2 = q3 = q = 1нКл = 10-9 Кл; F = 0,6 мкН = 0,6∙10-6 Н;

а = 0,2 м; ε0 = 8,85∙10-12 Ф/м.

Найти: qХ, Е, φ.

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru Решение. Предположим, что в вершинах равностороннего со сторонами «а» треугольника АВС находятся одинаковые положительного знака заряды q, которые создают электрическое поле в точке D, расположенной на середине одной из сторон «а». Пусть в точке D находится положительного знака неизвестный заряд qХ. Равнодействующая сил, действующих на заряд qХ, равна векторной сумме кулоновских сил со стороны зарядов q, находящихся в точках А, В и С (см. рисунок): Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru А.+ Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru В + Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru С. Как следует из рисунка, кулоновские силы FА и FС одинаковые по величине (в силу равенства зарядов q и расстояний AD = АС = а/2), но противоположны по направлению, и их векторная сумма равна нулю. В результате равнодействующая сил от трех зарядов, будет равна кулоновской силе, действующей на заряд qХ со стороны заряда q, находящегося в точке В: F = FB.

Поскольку заряды q и qХ являются точечными, то можно записать:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , (1) где r – расстояние между зарядами q и qX. Как следует из рисунка: r = BD= Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (2) Подставив (1) в (2) имеем: qX = Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru . Вычисления дают:

qX = Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = 2∙10-9 Кл.

Напряженность является силовой характеристикой электрического поля и связана с кулоновской силой, действующей на заряд qX, соотношением:

E = F/qX. (3) Найдем значение поля Е в точке D: E = Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Потенциал является энергетической характеристикой электрического поля, поэтому потенциал поля в точке D будет равен алгебраической сумме потенциалов от зарядов q, находящихся в точках А, В и С:

φ = φА + φВ + φС. (4)

Потенциал поля от точечного заряда равен: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где r – расстояние от точки, в которой рассчитывается потенциал, до точечного заряда. Следовательно, потенциал поля в точке D в силу уравнения (4) будет равен:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru + Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru + Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru . Отсюда:

φ = Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ; (5) Подставив численные значения физических величин в (5) имеем: φ = Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = 231 В.

Ответ: qX = 2∙10-9 Кл, Е = 300 В/м, φ = 231 В.

4. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью τ = 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии

а1 = 0,5 см и а2 = 2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.

Дано: R = 1 см = 10-2 м, τ = 20 нКл/м = 20∙10-9 Кл/м, a1 = 0,5 см, a2 = 2 см.

Найти: φ1- φ2.

Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , или dφ =-Edr.

Интегрируя полученное выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра : φ1 – φ2 Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (1) Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Подставив это выражение Е в (1), получим: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Или: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (2)

Подставим числовые значения. Так как величины r1 и r2 входят в формулу (2) в виде отношения, то их можно выразить в любых, но одинаковых единицах: r1 Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru см; r2 Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru см.

Следовательно: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = 250 В.

Ответ: φ1 – φ2 = 250 В.

5. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью v1 = 106 м/с, чтобы скорость его возросла в 2 раза.

Дано: v1 = 106 м/с, n = 2, m = 9,1∙10-31 кг, e = 1,6∙10-19 Кл.

Найти: U.

Решение. Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля по переносу заряда (электрона). Эта работа определяется произведением заряда электрона e на разность потенциалов U:

А = eU. (1)

Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , (2)

где T1 и T2- кинетические энергии электрона до и после ускорения в поле; m- масса, а v1 и v2 начальная и конечная скорости электрона.

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , или:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Отсюда искомая разность потенциалов: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (3)

Подставив числовые значения физических величин, имеем:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Ответ: U = 8,53 В.

6. Конденсатор емкостью С1 = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором, емкость которого С2 = 5 мкФ. Какая энергия ∆W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Дано: С1 = 3 мкФ, С2 = 5 мкФ, U1= 40 В.

Найти: ∆W.

Решение. Энергия ∆W, израсходованная на образование искры: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (1), где W1- энергия которой обладает первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W2- энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , (2)

где С- емкость конденсатора или батареи конденсаторов; U- разность потенциалов на обкладках конденсаторов. Подставив в (1) энергии W1 и W2 из (2) и принимая во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (3), где С1 и С2- емкости первого и второго конденсаторов; U1- разность потенциалов; до которой был заряжен первый конденсатор; U2- разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежний, выразим разность потенциалов U2 следующим образом: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru . Подставив выражение U2 в формулу (3), получим: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru После простых преобразований найдем:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

В полученное выражение подставим числовые значения и вычислим ∆W:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = 1,5 мДж.

Ответ: ∆W = 1,5 мДж.

7. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени Δt = 2 с. по линейному закону от I0 = 0 до I = 6 А . Определить теплоту Q1, выделившуюся в этом проводнике за первую и Q2-за вторую секунды, а также найти отношение Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Дано: R = 20 Ом; Δt = 2 с; I0 = 0; I = 6 A.

Найти: Q1, Q2, Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Решение. Запишем закон Джоуля-Ленца в виде: dQ = I2Rdt. (1)

Здесь сила тока I может являться некоторой функцией времени. В нашем случае ток линейно зависит от времени: I = kt (2)

где k – коэффициент пропорциональности, численно равный приращению силы тока в единицу времени, т.е. Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = 3 А/с.

С учетом (2) формула (1) примет вид: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (3)

Для определения теплоты, выделившейся за промежуток времени Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , выражение (3) необходимо проинтегрировать в пределах от t1 до t2:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

При определении теплоты, выделившейся за первую секунду, необходимо взять пределы интегрирования t1 = 0, t2 = 2 c. Следовательно:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru Q1 = Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = 60 Дж.

При определении теплоты, выделившейся за вторую секунду, необходимо взять пределы интегрирования t1 = 1, t2 = 1 c. Следовательно:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = 420 Дж.

Таким образом, за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую секунду. Следовательно: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Ответ: Q1 = 60 Дж, Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = 420 Дж, Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

8. По проводу, согнутому в вид квадрата со стороной, а = 10см, течет ток силой I = 100A. Найти индукцию В магнитного поля в точке пересечения диагоналей квадрата.

Дано: I = 100 А; а = 10 см = 0,1 м; μ0 = 4π∙10-7 Гн/м.

Найти: В.

Решение: Расположим квадратный контур в плоскости чертежа (см. рисунок). Согласно принципу суперпозиции индукция В магнитного поля от квадратного витка будет равна векторной сумме индукций магнитных полей, создаваемых каждой стороной квадрата в отдельности:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (1)

В точке О пересечения диагоналей квадрата все векторы индукции будут направлены перпендикулярно плоскости контура ‹‹к нам››. Кроме того, из соображений cимметрии следует, что абсолютные значения этих векторов одинаковы:

В1 = В2 = В3 = В4. Это позволяет векторное равенство (1) заменить скалярным равенством: В = 4В1. (2)

Магнитная индукция В1 поля, создаваемого отрезком прямолинейного провода с током, выражается формулой: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (3)

Учитывая, что Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru и Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (смотри рисунок), формулу (3) можно переписать в виде: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Подставив это выражение для В1 в формулу (2), найдем: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Заметив, что Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru и Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (так как Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ), получим: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Подставим в полученную формулу числовые значения физических величин: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru л

Ответ: В = 1,13∙10-3 Tл.

8. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 A, свободно установился в однородном магнитном поле индукцией В = 1 Т. Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) φ1 = 900; 2) φ2 = 30. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Дано: I = 100 А, В = 1 Т, а = 10 см = 0,1 м, φ1 = 900, φ2 = 30.

Найти: А1, А2.

Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент сил: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (1), где - Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru магнитный момент контура; В- магнитная индукция; φ - угол между вектором Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , направленным по нормали к контуру, и вектором Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

По условию задачи, в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю (М = 0), а значит, φ = 0, т.е. вектора Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru и Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru совпадают по направлению.

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешних сил. Так как момент сил зависит от угла поворота φ, то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru . Подставив в это выражение М по формуле (1) и учитывая, что pm = IS = Ia2, где I – сила тока в контуре; S = a2 – площадь контура, получим Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru . Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте рамки с током на конечный угол φ: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (2)

Вычислим работу при повороте рамки на угол φ 1= 900:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru . (3)

Подставим в (3) числовые значения величин: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = 1 Дж.

Вычислим работу при повороте рамки на угол φ2 = 30. Поскольку угол φ2 мал, воспользуемся соотношением: sin φ ≈ φ и подставим его в выражение (2):

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru . (4)

Подставим числовые значения величин в (4), предварительно выразив угол φ2 в радианах:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = 1,37·10-3Дж = 1,37 мДж.

Отметим, что задача могла быть решена и другим способом. Известно, что работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока через контур: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где Ф1 – магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения а Ф2–после перемещения. В случае φ1 = 900 Ф1 = BS, Ф2 = 0: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , что совпадает с полученным выше результатом (смотри формулу (3)).

Ответ: А1 = 1 Дж, А2 = 1,37∙10-3 Дж.

10. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 400 В, попал в однородное магнитное поле напряженностью H=103 А/м. Определить радиус R кривизны траектории и частоту ν обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля.

Дано: U = 400 В; Н = 103 А/м; α = 900; m = 9.11∙10-31 кг; е = 1,60∙10-19 Кл; Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru Гн/м.

Найти: R, ν.

Решение. Радиус кривизны траектории электрона определим, исходя из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (действием силы тяжести можно пренебречь). Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, сообщает электрону нормальное (центростремительное) ускорение: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru :

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (1), где е- заряд, v- скорость, m- масса электрона; В- индукция магнитного поля; R- радиус кривизны траектории; Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru - угол между направлением вектора скорости Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru и вектором Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru . Из формулы (1) найдем: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (2)

Входящий в равенство (2) импульс mv может быть выражен через кинетическую энергию электрона: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (3)

Но кинетическая энергия электрона, проходящего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Подставив это выражение в формулу (3), получим: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Индукция В может быть выражена через напряженность H магнитного поля в вакууме соотношением: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , где Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru - магнитная постоянная.

Подставив найденные выражения В и mv в формулу (2),найдем Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (4)

Подставим числовые значения в формулу (4) и произведем вычисления:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = 5,37∙10-2 м = 5,37 см.

Для определения частоты обращения ν воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью движения электрона и радиусом траектории: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (5)

Подставив в формулу (5) выражение (2) для радиуса кривизны, получим:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , или Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Подставим все величины, в системе СИ и произведем вычисления:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Ответ: ν Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

11. Резонанс в колебательном контуре, содержащем конденсатор емкостью С1 = 1 мкФ, наступает при частоте ν1 = 400 Гц. Когда же параллельно конденсатору С1 подключили еще один емкостью С2, резонансная частота становится равной ν2 = 100 Гц. Найти емкость конденсатора С2.

Дано: С1 = 1 мкФ = 10-6 Ф; ν1 = 400 Гц; ν2 = 100 Гц.

Найти: С2.

Решение: Резонанс в колебательном контуре наступает, когда собственная частота колебаний становится равной частоте вынужденных колебаний, возбуждаемых внешним передатчиком. При этом амплитуда электромагнитных колебаний в контуре становится максимальной. Частота вынужденных колебаний, равная собственной частоте колебательного контура, называется резонансной частотой. Резонансная частота ν1 в колебательном контуре, содержащем только один конденсатор С1, определяется формулой Томсона: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (1), где L – индуктивность катушки колебательного контура. Когда к конденсатору С1 подключили параллельно конденсатор С2, емкость батареи конденсаторов стала равна С12. Резонансная частота ν2 при этом равна: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (2)

Обе частоты ν1 и ν2, а также емкость С2 известны. Неизвестна индуктивность катушки L и искомая емкость С2. Следовательно, необходимо исключить из уравнений (1) и (2) индуктивность L, например, поделив левые и правые части этих уравнений соответственно друг на друга. После деления, сокращения и упрощения получаем: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru , Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Отсюда Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru ; Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Задача в общем, виде решена. Проведем вычисления:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = 1,5·10-5 Ф.

Ответ: С2=1,5·10-5 Ф.

12. Максимум энергии излучения абсолютно черного тела приходится на длину волны 450 нм. Определить температуру и энергетическую светимость тела.

Дано: λmaх = 450 нм = 4,5·10-7 м; b = 2,89·10-3 м·К; σ = 5,67·10-8 Вт/(м2·К4).

Найти: Т, R.

Решение. Длина волны λmax, на которую приходится максимум энергии излучения черного тела, по закону Вина равна: λmax = Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru .

Отсюда: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

В соответствии с законом Стефана – Больцмана энергетическая светимость R абсолютно черного тела равна: R = σT4. В результате вычислений имеем:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Ответ: Т = 6422 К, R = 9,6∙107 Вт/м2.

13. Красная граница фотоэффекта для никеля равна 0,257 мкм. Найти длину волны света, падающего на никелевый электрод, если фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов, равной 1,5 В.

Дано: λк= Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Найти: λ.

Решение. Согласно уравнению Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru Екmax. (1)

Красная граница фотоэффекта определяется из условия равенства энергии фотона Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru работе выхода электронов АВ, т. е. Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru . (2)

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов может быть определена через задерживающую разность потенциалов Uз: Екmax= eU3, (3)

где е – заряд электрона.

Подставляя выражения (2) и (3) в (1), получим: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (4)

Из уравнения (4) найдем длину волны света:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru (5)

Подставляя в (5) числовые значения, получим:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Ответ: λ = 0,196 мкм.

14. Определить максимальную скорость электрона, вырванного с поверхности металла γ – квантом с энергией 1,53 МэВ.

Дано: Е = 1,53 МэВ; Е0 = 0,511 МэВ.

Найти: vmax,

Решение: По формуле Эйнштейна для фотоэффекта: Е = Авыхк.max.. Энергия кванта излучения расходуется на работу вырывания электрона Авых и сообщение ему кинетической энергии Ек.max.. Так как Авых<< Е, то электрон будет релятивистским и Е Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru Ек, а кинетическая энергия будет выражаться формулой:

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

где Е0 – энергия покоя электрона.

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Ответ: v = 2,9∙108 м/с.

15. Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru

Дано: m Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = 1.00783 а.е.м.; mn = 1,00867 а.е.м.; m Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = 15,99492 а.е.м.;

Z = 8; А = 16.

Найти: Δm, Есв, εсв.

Решение. Дефект массы Δm ядра определяется по формуле:

Δm = Zmp + (A-Z)mn - mя. (1)

В таблицах чаще всего приводят массу атомов (изотопов), т.е. суммарную массу ядра вместе с электронами, то формулу (1) можно записать также в виде:

Δm = Zm Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru + (А-Z)mn - ma, (2)

где ma-масса изотопа, дефект массы ядра которого необходимо определить.

Подставляя в (2) числовые данные, получим: Δm = 0,13708 а.е.м.

Энергия связи ядра Есв определяется по формуле:

Есв = с2Δm. (3)

Если дефект массы Δm выражать в а.е.м., а энергию связи Есв в МэВ, то формула (3) примет вид:

Есв = 931 Δm (МэВ) (4)

Подставляя в (4) числовые значения, получим: Есв = 931·0,13708 ≈ 128 (МэВ).

Удельная энергия связи εсв вычисляется по формуле:

εсв= Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru . (5)

Проведя вычисления, получим: εсв = Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru = 8 (МэВ).

Ответ: Δm = 0,13708 а.е.м., Есв = 128 МэВ, εсв =8 МэВ.

16. Вычислить энергию ядерной реакции: Электромагнетизм, оптика и физика вещества. - student2.ru Выделяется или поглощается энергия при этой реакции?

Решение. Энергия ядерной реакции определяется по формуле:

Q = c2(m1 + m2 - ∑mi), (1)

где m1 и m2

Наши рекомендации