Оптика и физика твердого тела

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ЗАКОНЫ

Физическая величина или закон Формула
Показатель преломления среды оптика и физика твердого тела - student2.ru где n – показатель преломления среды, с - скорость распространения света в вакууме, оптика и физика твердого тела - student2.ru скорость распространения света в среде
Оптическая длина пути луча L=n l, где L – оптическая длина пути луча, n – показатель преломления среды, l – геометрическая длина луча
Оптическая разность хода волн оптика и физика твердого тела - student2.ru где ∆ - оптическая разность хода волн, L – оптическая длина пути луча
Условие максимума (усиления) света при интерференции оптика и физика твердого тела - student2.ru , k =0,1,2,3…, где ∆ - оптическая разность хода, λ – длина волны
Условие минимума (ослабления) света при интерференции оптика и физика твердого тела - student2.ru где ∆ - оптическая разность хода, λ – длина волны
Линейное и угловое расстояния между соседними интерференционными полосами на экране оптика и физика твердого тела - student2.ru где L – оптическая длина пути луча, l – линейное расстояние между полосами на экране, λ – длина волны, d – расстояние между источниками, ∆λ – угловое расстояние между полосами на экране
Оптическая разность хода волн в тонких пленках в отраженном и проходящем свете оптика и физика твердого тела - student2.ru где ∆ - оптическая разность хода, λ – длина волны, d – толщина, n – показатель преломления среды, i – угол падения волны, r — угол преломления
Разрешающая сила дифракционной решетки оптика и физика твердого тела - student2.ru где R - разрешающая сила дифракционной решетки, λ – длина волны, N — число штрихов решетки, ∆λ – изменение длины волны, k — порядковый номер дифракцион­ного максимума
Световой поток Ф, испускаемый изотропным источником в пределах телесного угла ω Ф = I ω, где Ф – световой поток, ω – телесный угол, I – сила света
Освещенность поверхности E = Ф / S, где Е – освещенность поверхности, Ф – световой поток, S – площадь поверхности
Освещенность, создаваемая изотропным источником света оптика и физика твердого тела - student2.ruгде Е – освещенность поверхности, I – сила света источника, ε — угол падения лучей, r — расстояние от поверхности до источника света
Яркость светящейся поверхности В = I / ΔS, где В – яркость, I – сила света,
Светимость поверхности R = Ф / S, где R – светимость поверхности, Ф – световой поток, S – площадь поверхности
Светимость косинусных излучателей R = π B, где R – светимость, В – яркость
Условие главных максимумов дифракционной решетки оптика и физика твердого тела - student2.ru где d– период дифракционной решетки, k – порядок главного максимума, φ - угол дифракции, λ – длина волны
Условие дифракционных максимумов от одной щели оптика и физика твердого тела - student2.ru где α – ширина щели, k – порядок максимума, λ – длина волны, φ - угол дифракции
Условие дифракционных минимумов от одной щели оптика и физика твердого тела - student2.ru где α – ширина щели, k – порядок минимума, λ – длина волны, φ - угол дифракции
Закон Брюстера оптика и физика твердого тела - student2.ru где оптика и физика твердого тела - student2.ru угол падения, n2, n1 –показатели преломления первой и второй среды.
Закон Малюса оптика и физика твердого тела - student2.ru где I1 – интенсивность света, падающего на анализатор, I2 – интенсивность света, вышедшего из анализатора, α – угол между плоскостями поляризатора и анализатора  
Формула Вульфа-Брегга оптика и физика твердого тела - student2.ru где d – расстояние между атомными плоскостями кристалла, θ – угол скольжения, λ – длина волны
Угол вращения плоскости поляризации в кристаллах и растворах оптика и физика твердого тела - student2.ru где φ - угол вращения плоскости поляризации, l – длина пути света в оптически активном веществе, с – скорость света
Закон Стефана-Больцмана оптика и физика твердого тела - student2.ru где Re – энергетическая светимость, σ – постоянная Стефана-Больцмана, Т - температура
Закон смещения Вина оптика и физика твердого тела - student2.ru где λmax – длина волны с максимальным значением спектральной плотности энергетической светимости черного тела, b – постоянная Вина, Т - температура
Энергия фотона оптика и физика твердого тела - student2.ru где h – постоянная Планка, ν – частота, λ – длина волны, с – скорость света, оптика и физика твердого тела - student2.ru ω – частота излучения
Импульс фотона оптика и физика твердого тела - student2.ru где оптика и физика твердого тела - student2.ru импульс фотона, оптика и физика твердого тела - student2.ru масса фотона, с – скорость света, h – постоянная Планка, ν – частота, λ – длина волны
Давление света при нормальном падении оптика и физика твердого тела - student2.ru
Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта hv=A+T, где h – постоянная Планка, ν – частота излучения, А – работа выхода, T – кинетическая энергия фотоэлектрона
при T < 5 кэВ оптика и физика твердого тела - student2.ru где T – кинетическая энергия электрона, оптика и физика твердого тела - student2.ru скорость электрона, т0 – масса покоя электрона
при T > 5 кэВ оптика и физика твердого тела - student2.ru где T – кинетическая энергия, т0 – масса покоя электрона, т – масса электрона, Е – энергия электрона, Е0 –энергия покоя электрона, оптика и физика твердого тела - student2.ru т0 – масса покоя электрона
Изменение длины волны при эффекте Комптона оптика и физика твердого тела - student2.ru где ∆λ – изменение длины волны, h – постоянная Планка, с – скорость света, θ – угол рассеивания фотона, т0 – масса электрона отдачи
Формула Бальмера оптика и физика твердого тела - student2.ru где ν – частота испускаемого света, R - постоянная Ридберга, n, m - номера орбит электрона(m=1,2,3…), (n=m+1)  
Момент импульса электрона на стационарных орбитах оптика и физика твердого тела - student2.ru где оптика и физика твердого тела - student2.ru масса электрона, оптика и физика твердого тела - student2.ru скорость электрона, оптика и физика твердого тела - student2.ru радиус орбиты
Второй постулат Бора оптика и физика твердого тела - student2.ru где h – постоянная Планка, ν – частота испускаемого света, En – энергия атома до излучения/поглощения, Em - энергия атома после излучения/поглощения
Соотношения неопределенностей оптика и физика твердого тела - student2.ru где ∆х – неопределенность координаты микрочастицы, ∆р - соответствующая координате неопределенность проекции импульса, h – постоянная Планка, ∆Е – неопределенность энергии некоторого состояния системы, ∆t - время
Длина волны де Бройля оптика и физика твердого тела - student2.ru где λ – длина волны, h – постоянная Планка, р – импульс микрочастицы
Стационарное уравнение Шредингера оптика и физика твердого тела - student2.ru где ψ – волновая функция частицы, оптика и физика твердого тела - student2.ru h – постоянная Планка, U – потенциальная функция частицы в силовом поле, Е – энергия частицы, x,y,z – координаты частицы, т – масса частицы, оптика и физика твердого тела - student2.ru вторые частные производные волновой функции по координатам
Вероятность обнаружения частицы в интервале от x1 до x2 оптика и физика твердого тела - student2.ru где W – вероятность, ψ – волновая функция частицы
Собственное значение энергии En частицы, находящейся на n-ом энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике оптика и физика твердого тела - student2.ru где оптика и физика твердого тела - student2.ru h – постоянная Планка, т – масса частицы, n – главное квантовое число, l – орбитальное квантовое число
Соответствующая этой энергии собственная волновая функция имеет вид оптика и физика твердого тела - student2.ru где ψ – волновая функция частицы, n – главное квантовое число, l - орбитальное квантовое число, х - координата частицы
Коэффициенты отражения ρ и пропускания τ волн де Бройля через низкий (U < E) потенциальный барьер бесконечной ширины оптика и физика твердого тела - student2.ru где оптика и физика твердого тела - student2.ru λ – длина волны
Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера конечной ширины оптика и физика твердого тела - student2.ru где U – высота потенциального барьера, т – масса частицы, оптика и физика твердого тела - student2.ru h – постоянная Планка, Е – энергия частицы

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

оптика и физика твердого тела - student2.ru Задача 1.В опыте Юнга источником света служит ярко освещенная узкая щель S в экране А (Рис. 26). Свет от нее падает на второй непрозрачный экран В, в котором имеются две щели S1 и S2, находящемся на расстоянии d = 0,2 мм друг от друга. Интерференция наблюдается на экране С, параллельном экрану В и расположенном от него на расстоянии l = 2 м. найти расстояние между двумя соседними максимумами, если длина световой волны

λ = 500 нм. Рис. 26

Интерференционная картина представляет собой чередование светлых и темных полос (максимумов и минимумов), параллельных друг другу. В некоторой точке М экрана С будет наблюдаться максимум при вы полнении условия

оптика и физика твердого тела - student2.ru , (1)

где оптика и физика твердого тела - student2.ru - оптическая разность хода. В данном случае оптика и физика твердого тела - student2.ru , т.к. показатель преломления воздуха n = 1.

Обозначим через xk расстояние от точки М до точки О, симметричной относительно щелей. Из рисунка видно, что

оптика и физика твердого тела - student2.ru , оптика и физика твердого тела - student2.ru

Вычтем из одного уравнение другое и раскроем квадрат разности и квадрат суммы, получим:

оптика и физика твердого тела - student2.ru ,

оптика и физика твердого тела - student2.ru .

Т.к.l »d, то оптика и физика твердого тела - student2.ru , а оптика и физика твердого тела - student2.ru , поэтому

оптика и физика твердого тела - student2.ru . (2)

Подставив значение Δ из равенства (1) в (2), найдем

оптика и физика твердого тела - student2.ru .

Расстояние Δx между двумя соседними интерференционными максимумами

оптика и физика твердого тела - student2.ru .

Выполним анализ размерности:

оптика и физика твердого тела - student2.ru

Подставив числовые значения получим оптика и физика твердого тела - student2.ru .

Отметим, что величина оптика и физика твердого тела - student2.ru называется шириной интерференционной полосы.

Задача 2. Кольца Ньютона образуются в прослойке воздуха между плоскопараллельной стеклянной пластинкой и положенной на нее плосковыпуклой линзой с радиусом кривизны R = 5 м. Наблюдение ведется в отраженном свете. Радиус третьего темного кольца r3 = 3,1 мм. Найти длину волны света, падающего нормально на плоскую поверхность линзы.

Решение. В отраженном свете темные кольца образуются при выполнении условия интерференционных минимумов

оптика и физика твердого тела - student2.ru (k = 0, 1, 2, …), (1)

где Δ – оптическая разность хода волн, отраженных от выпуклой поверхности на границе раздела стекло-воздух и от пластинки на границе воздух-стекло. Во втором случае отражение происходит от оптически более плотной среды, поэтому теряется половина волны. С учетом этого находим, что разность хода

оптика и физика твердого тела - student2.ru , (2)

где d – толщина воздушного зазора, n – показатель преломления

оптика и физика твердого тела - student2.ru воздуха (n = 1).

Из рисунка 27 видно, что

оптика и физика твердого тела - student2.ru , или оптика и физика твердого тела - student2.ru .

Отсюда, учитывая, что d « R, получим

оптика и физика твердого тела - student2.ru .

Подставив это значение d и n = 1 в формулу (2), получим

оптика и физика твердого тела - student2.ru . (3)

Приравняв правые части выражений (1) и (3), будем иметь формулу радиуса k-го темного кольца Ньютона в отраженном свете:

оптика и физика твердого тела - student2.ru (k = 0, 1, 2, …).

Отсюда найдем длину световой волны:

оптика и физика твердого тела - student2.ru .

Следовательно,

оптика и физика твердого тела - student2.ru , λ = 6,4·10-7 м.

Задача 3. На узкую щель шириной a = 0,55 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны λ = 694 нм. Определите направление луча света на вторую светлую дифракционную полосу (по отношению к первоначальному направлению света).

Решение. Запишем формулу условия максимума для дифракции Фраунгофера на одной щели

оптика и физика твердого тела - student2.ru . (1)

В условии нашей задачи необходимо определить направление света - следовательно, мы должны найти угол, под которым падает свет на вторую дифракционную полосу k = 2.

Подставляем значение k = 2 в выражение (1) и получаем значение синуса угла падения на вторую светлую дифракционную полосу

оптика и физика твердого тела - student2.ru

Задача 4. Степень поляризации частично поляризованного света составляет 0,75. Определите отношение максимальной интенсивности света, пропускаемого анализатором, к минимальной.

Решение. По условию задачи степень поляризации P = 0,75. Она определяется согласно следующему отношению максимальной и минимальной интенсивности света

оптика и физика твердого тела - student2.ru

Из этого выражения нам необходимо выразить отношение Imax / Imin

оптика и физика твердого тела - student2.ru

Подставим значения P = 0,75 и получим, что отношение Imax / Imin =7.

Задача 5. Люминесцентная цилиндрическая лампа диаметром d = 2,5 см и длиной l = 40 см создает на расстоянии r = 5 м в направлении, перпендикулярном оси лампы, освещенность E = 2 лк. Принимая лампу за косинусный излучатель, определить: 1) силу света I в данном направлении; 2) яркость В; 3) светимость R лампы.

Решение. 1) Больший из двух размеров лампы – длина в 12 раз меньше расстояния, на котором измерена освещенность. Следовательно, для вычисления силы света в данном направлении можно принять лампу за точечный источник и применить формулу

E = I / r2,

откуда

I = E r2.

Подставив значения величин в эту формулу, и произведя вычисления, получим I = 25 кд.

2) Для вычисления яркости применим формулу

В = I / σ.

Где σ – площадь проекции протяженного источника света на плоскость, перпендикулярную направлению наблюдения.

В случае цилиндрической люминесцентной лампы проекция имеет форму прямоугольника длиной l и шириной d. Следовательно,

оптика и физика твердого тела - student2.ru

3) Так как люминесцентную лампу можно считать косинусным излучателем, то ее светимость

R = π • B=7,9 клк.

Задача 6. Определите, во сколько раз изменится мощность излучения черного тела, если длина волны, соответствующая максимуму его спектральной плотности энергетической светимости сместилась с λ1 = 720 нм до λ2 = 400 нм.

Решение. Для решения этой задачи запишем закон смещения Вина для первой и второй длины волны.

оптика и физика твердого тела - student2.ru (1)

оптика и физика твердого тела - student2.ru Запишем значение мощности излучения для каждого случая и найдем их отношение. Мощность излучения связана с энергетической светимостью черного тела следующим соотношением


Необходимые значения температур Т1 и Т2 выражаем из соотношений (1) и получаем необходимое отношение мощностей Р2 и Р1

оптика и физика твердого тела - student2.ru

Задача 7. Фотоэлектроны, вырываемые с поверхности металла, полностью задерживаются при приложении обратного напряжения Uо = 3 В. Фотоэффект для этого металла начинается при частоте падающего монохроматического света vо = 6•1016 c-1. Определите 1) работу выхода электронов из металла; 2) частоту применяемого излучения.

Решение. Запишем уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.

оптика и физика твердого тела - student2.ru (1)

Максимальная кинетическая энергия электронов равна произведению заряда электрона на величину задерживающего напряжения. Подставляя ее значение в выражение (1) найдем работу выхода электронов из металла.

оптика и физика твердого тела - student2.ru

Частота применяемого излучения определяется по формуле Эйнштейна при условии, что кинетическая энергия электронов будет равна нулю.

оптика и физика твердого тела - student2.ru

Задача 8. Калий освещается монохроматическим светом с длиной волны λ = 400 нм. Определите наименьшее задерживающее напряжение, при котором фототок прекратится. Работа выхода электронов из калия равна 2,2 эВ.

Решение. Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, и укажем, что максимальная кинетическая энергия электронов определяется произведением заряда электрона на величину задерживающего напряжения.

оптика и физика твердого тела - student2.ru

В нашем случае дана частота, которая связана с длиной волны следующим соотношением v = c / λ. Подставляя необходимые значения в формулу Эйнштейна для внешнего фотоэффекта, получим значение задерживающего напряжения. Учитывая, что

А = 2,2 эВ = 2,2•1,6•10-19 Дж = 3,52•10-19 Дж.

оптика и физика твердого тела - student2.ru

Задача 9.Определите энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на второй.

Решение. Обозначим энергию фотона, испускаемого атомом водорода при переходе электрона с третьего уровня на второй

E 3,2 = h v3,2. (1)

Для того, чтобы определить частоту испускаемого излучения воспользуемся формулой Бальмера.

оптика и физика твердого тела - student2.ru .(2)

Согласно условию задачи m = 2, n = 3. Подставляя выражение (2) в уравнение (1), и используя значения постоянной Ридберга R = 3,29•1015 c-1, значения m и n, находим энергию испускаемого фотона.

оптика и физика твердого тела - student2.ru

Полученное значение энергии фотона переводим из единиц измерения в джоулях в значение в электрон-вольтах.

Поскольку 1эВ = 1,6•10-19 Дж, то

оптика и физика твердого тела - student2.ru

Задача 10.Определите скорость υ электрона на третьей орбите атома водорода.

Решение. На электрон, движущийся по орбите, действует сила Кулона. В атоме водорода заряд ядра равен заряду электрона, поэтому величина силы Кулона определяется по формуле

оптика и физика твердого тела - student2.ru (1)

Согласно второму закону Ньютона, произведение массы на ускорение равно сумме всех сил, действующих не тело. На электрон действует только сила Кулона, поэтому

оптика и физика твердого тела - student2.ru (2)

Ускорение при равномерном движении электрона по орбите будет направлено к центру, и определяется по формуле

оптика и физика твердого тела - student2.ru

(3)
Подставим в выражение (2) значение центростремительного ускорения (3) и значение силы Кулона и выразим радиус орбиты электрона

оптика и физика твердого тела - student2.ru (4)

Найденный радиус орбиты электрона потребуется нам для того, чтобы определить скорость движения электрона по орбите из формулы для момента импульса электрона на стационарной орбите:

m υ r = n ћ. (5)

Подставим в выражение (5) значение радиуса орбиты электрона, значение n = 3 (третья орбита) и выразим скорость движения электрона по орбите

оптика и физика твердого тела - student2.ru

Задача 11.Определите длину волны де Бройля для электрона, находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите.

Решение. Длина волны де Бройля определяется по формуле

оптика и физика твердого тела - student2.ru

(1)
Скорость электрона на третьей боровской орбите определим из формулы для момента импульса электрона на стационарной орбите

m υ r = n ћ. (2)

В этой формуле нам неизвестен радиус, который мы можем выразить из второго закона Ньютона так же, как и в Задаче № 9, см. формулу (4)

оптика и физика твердого тела - student2.ru (3)

Мы получили два уравнения с двумя неизвестными. Выразим из выражения (2) радиус и приравняем его с уравнением (3)

оптика и физика твердого тела - student2.ru (4)

Из полученного соотношения выразим скорость, подставим ее значение в выражение (1) и учтем, что оптика и физика твердого тела - student2.ru

оптика и физика твердого тела - student2.ru

оптика и физика твердого тела - student2.ru

Задача 12. Используя теорию Бора, определите орбитальный магнитный момент электрона, движущегося по третьей орбите атома водорода.

Решение. Магнитный момент определяется по формуле

оптика и физика твердого тела - student2.ru (1)

где I – сила тока, S – площадь контура, по которому протекает ток.

Согласно определению сила тока I = Δ q /Δ t – отношение заряда ко времени. Величина эквивалентного тока, создаваемого в атоме при орбитальном движении одной зараженной частицы (электрона) будет определяться как отношение заряда электрона к периоду его обращения по орбите.

оптика и физика твердого тела - student2.ru (2)

Период определяем через скорость движения электрона по орбите. Скорость движения определяется как отношение длины окружности, по которой движется электрон к периоду его обращения. Отсюда выражаем период обращения электрона:

оптика и физика твердого тела - student2.ru (3)

Площадь круга, описываемая электроном при движении по орбите равна

S = π r 2. (4)

Подставляя необходимые значения в формулу (1) получаем значение искомого магнитного момента электрона

оптика и физика твердого тела - student2.ru . (5)

В данном выражении присутствуют две неизвестных величины – скорость и радиус орбиты электрона. Согласно условию, электрон движется по третьей орбите атома водорода, следовательно, можно определить неизвестное произведение скорости и радиуса орбиты электрона из формулы для момента импульса электрона

m υ r = n ћ. (6)

и выразим из него произведение υ r

υ r = n ћ / m. (7)

подставим выражение (7) в выражение (5) и получим значение орбитального магнитного момента

pm = e n ћ / 2 m,

оптика и физика твердого тела - student2.ru

Задача 13.Определите из соотношения неопределенностей скорости электрона, если его координата установлена с точностью до Δ x =10-5 м, и пылинки массой m = 10-12 кг, если ее координата установлена с такой же точностью.

Решение. Запишем соотношение неопределенностей для импульса и координаты

оптика и физика твердого тела - student2.ru . (1)

Так как импульс представляет собой произведение массы на скорость, то запишем это же соотношение для двух случаев – для электрона и для пылинки. Найдем минимальное значение неопределенности скорости электрона, для чего в выражении (1) положим равенство левой и правой частей.

оптика и физика твердого тела - student2.ru

Выразим скорости электрона и пылинки и найдем их отношение

оптика и физика твердого тела - student2.ru

Согласно условию задачи, неопределенность координаты электрона такая же, как и неопределенность координаты пылинки, поэтому их можно

сократить

оптика и физика твердого тела - student2.ru .

Задача 14.На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения θ изменяется. Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля λ электронов и их скорость υ.

Решение. К расчету дифракции электронов от кристаллической решетки применятся то же уравнение Вульфа-Брэгга, которое используется в случае рентгеновского излучения

2 d sin θ = k λ ,

где d – расстояние между атомными плоскостями кристалла; θ – угол скольжения, k – порядковый номер дифракционного максимума, λ – длина волны де Бройля.

Очевидно, что

λ = 2 d sin θ / k .

Подставив в эту формулу значения величин, получим значение длины волны λ = 360 пм.

Из формулы длины волны де Бройля

оптика и физика твердого тела - student2.ru ,

выразим скорость движения электрона

оптика и физика твердого тела - student2.ru .

Подставив в эту формулу значения h, me (масса электрона), λ и произведя вычисления, получим υ = 2 Мм/с.

оптика и физика твердого тела - student2.ru Задача 15.Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной l. Вычислить вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (n = 2), будет обнаружен в средней трети ящика (Рис. 28).

Решение. Вероятность W обнаружить частицу в интервале x1 < x < x2 определяется равенством

оптика и физика твердого тела - student2.ru , (1) .

где ψn(x) – нормировочная собственная волновая функция, отвечающая данному состоянию частицы.

Нормировочная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике,

имеет вид

оптика и физика твердого тела - student2.ru . (2)

Возбужденному состоянию (n = 2) отвечает собственная функция

оптика и физика твердого тела - student2.ru . (3)

Подставив ψ2(x) из формулы (3) в подынтегральное выражение формулы (1), и вынося постоянные величины за знак интеграла, получим

оптика и физика твердого тела - student2.ru . (4)

Согласноусловию задачи, х1 = ⅓ • l и х2 = ⅔ • l. Подставим эти пределы интегрирования в формулу (4) и произведем замену

оптика и физика твердого тела - student2.ru

и разобьем интеграл на два интеграла

оптика и физика твердого тела - student2.ru

Заметив, что

оптика и физика твердого тела - student2.ru

получим W = 0,195.

Задача 16.Моноэнергетический поток электронов (E = 100 эВ) падает на низкий прямоугольный потенциальный барьер бесконечной ширины. Определить высоту потенциального барьера U, если известно, что 4% падающих на барьер электронов отражается (Рис. 29).

Решение. Прямоугольный потенциальный барьер называют низким, если энергия Е частицы больше высоты U потенциального барьера. Коэффициент отражения ρ от низкого потенциального барьера выражается формулой

оптика и физика твердого тела - student2.ru оптика и физика твердого тела - student2.ru ,

где k1 и k2 – волновые числа, отвечающие движению электронов в областях, соответствующих координате x низкого потенциального барьера в области больше и меньше нуля соответственно.

В области, где координата х меньше нуля, значение высоты барьера U равно нулю, кинетическая энергия электрона будет равна E, и волновое число

оптика и физика твердого тела - student2.ru .

Поскольку координата электрона не определена, то импульс электрона определяется точно, и в данном случае можно говорить о точном значении кинетической энергии.

Во второй области с координатой х большей нуля, находиться потенциальный барьер с энергией U, и поэтому кинетическая энергия электрона будет равна E – U и волновое число

оптика и физика твердого тела - student2.ru .

В случае низкого потенциального барьера коэффициент отражения может быть записан в виде

оптика и физика твердого тела - student2.ru .

Разделим числитель и знаменатель дроби на оптика и физика твердого тела - student2.ru

.

Решая уравнение относительно оптика и физика твердого тела - student2.ru , получим

.

Возведя обе части равенства в квадрат, найдем высоту потенциального барьера оптика и физика твердого тела - student2.ru .

Подставив сюда значение величин, и произведя вычисления, найдем

U = 55,6 эВ.

Задача 17.Электрон с энергией E = 4,9 эВ движется в положительном направлении оси х. Высота U потенциального барьера равна 5 эВ. При какой ширине барьера d вероятность W прохождения электрона через него будет равна 0,2.

Решение. Вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер по своему физическому смыслу совпадает с коэффициентом прозрачности D (W = D). Тогда вероятность того, что электрон пройдет через прямоугольный потенциальный барьер, выразится соотношением

оптика и физика твердого тела - student2.ru , (1)

где m – масса электрона. Логарифмируя это выражение, получим

оптика и физика твердого тела - student2.ru .

Для удобства вычислений изменим знак у правой и левой части этого равенства и найдем d

оптика и физика твердого тела - student2.ru .

Входящие в эту формулу величины выразим в единицах СИ, произведем вычисления и получим d = 0,495 нм.

Учитывая, что формула приближенная, и вычисления носят оценочный характер, можно принять d = 0,5 нм.

ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 3

Наши рекомендации