Механика и молекулярная физика.

Основные законы и формулы.

Скорость мгновенная v = механика и молекулярная физика. - student2.ru или v = механика и молекулярная физика. - student2.ru , где dх или dS – путь, проходимый точкой за время dt.

Ускорение мгновенное, тангенциальное аτ = механика и молекулярная физика. - student2.ru = механика и молекулярная физика. - student2.ru ,

Нормальное ускорение an = v2 /r, полное ускорение a = механика и молекулярная физика. - student2.ru , где r – радиус кривизны траектории.

Путь при равноускоренном движении тела механика и молекулярная физика. - student2.ru .

Угловая скорость ω = механика и молекулярная физика. - student2.ru , где dφ – угол поворота тела за время dt.

Угловое ускорение ε = механика и молекулярная физика. - student2.ru . Уравнения равнопеременного вращательного движения ω = ω0 + εt; φ = ω 0t+ εt²/2, где ω0 – начальная угловая скорость.

Связь между линейными угловыми величинами при движении точки

по окружности s = φr; v = ωr; aτ = εr; a механика и молекулярная физика. - student2.ru ; Т = 1/ν; ω = 2πν, где T – период, ν – частота вращения.

Импульс точки массы m, движущейся со скоростью v определяется р = mv,

Второй закон Ньютона для поступательного движения механика и молекулярная физика. - student2.ru = m механика и молекулярная физика. - student2.ru ,

где механика и молекулярная физика. - student2.ru – векторная сумма действующих на тело сил.

Закон сохранения импульса для изолированной системы механика и молекулярная физика. - student2.ru .

Сила трения скольжения fтр = μFn, где Fn— сила нормального давления, μ - коэффициент трения.

Скорости шаров массами m1 и m2 после центрального удара:

- абсолютно упругого: механика и молекулярная физика. - student2.ru ; механика и молекулярная физика. - student2.ru ;

- абсолютного неупругого : механика и молекулярная физика. - student2.ru , где v1 и v2 – скорости шаров массой m1и m2 до удара.

Работа переменной силы на пути механика и молекулярная физика. - student2.ru , где α – угол между векторами механика и молекулярная физика. - student2.ru и d механика и молекулярная физика. - student2.ru . Мощность механика и молекулярная физика. - student2.ru

Сила упругости: F = - kx, где k – коэффициент жесткости упругого элемента.

Потенциальная энергия упругодеформированного тела: WП = kx2/2,

Сила гравитационного притяжения: F = Gm1m2/r2, где G – гравитационная постоянная, r – расстояние между телами m1 и m2.

Потенциал гравитационного поля Земли: j = GMЗ/(R3 + h),

Напряженность гравитационного поля Земли: Е = GMЗ/(R3 + h)2, где МЗ – масса и Rз – радиус Земли, h – высота точки над поверхностью Земли.

Потенциальная энергия тела в поле земного тяготения вблизи поверхности: WП = mgh, где g— ускорение свободного падения, h – высота тела

над поверхностью Земли.

Кинетическая энергия движущегося тела: Т = mv2/2 = р2/2m,

Закон сохранения механической энергии: W = Т +WП = const.

Момент инерции материальной точки относительно оси: J = mR2, где R - расстояние от точки массой m до оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m:

- сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси вращения

J = mR2/2;

- полого цилиндра относительно оси вращения J = mR2;

- шара относительно центра J = 0,4mR2, где R - радиус цилиндра или шара;

- стержня длиной l, ось вращения которого перпендикулярна стержню

и проходит через его центр масс J0 = ml2/12, стержня длиной l, ось вращения которого проходит через один из концов стержня J = ml2/3;

-тела c моментом инерции J0 относительно произвольной оси вращения

(теорема Штейнера): J = Jo + md2, где d – расстояние от оси вращения до центра масс тела.

Момент силы относительно оси вращения M = Fd, где d - плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Основное уравнение динамики вращательного движения: M = механика и молекулярная физика. - student2.ru ,

где L = Jω – момент импульса тела. То же, но при J = const M = J механика и молекулярная физика. - student2.ru = Jε,

Закон сохранения момента импульса: механика и молекулярная физика. - student2.ru = const.

Кинетическая энергия вращающегося тела: T = Jω2/2,

Работа при вращательном движении: dA = Mdφ,

Энергия покоя частицы массой m0: E0 = m0c2, где с – скорость света.

Зависимость от скорости v в релятивистской механике:

-импульса частицы: р = механика и молекулярная физика. - student2.ru , длины тела: l = механика и молекулярная физика. - student2.ru ,

времени: t = механика и молекулярная физика. - student2.ru , кинетической энергии: T = E – E0 =m0c2 механика и молекулярная физика. - student2.ru ,

- полной энергии частицы: E = mc2 = механика и молекулярная физика. - student2.ru ,

Теорема сложения скоростей в теории относительности: u/ = механика и молекулярная физика. - student2.ru ,

где u/ - скорость тела в инерциальной системе К/, которая движется со скоростью v относительно инерционной системы К, в которой тело движется со скоростью u.

Количество вещества: ν = механика и молекулярная физика. - student2.ru , где N – число молекул, NА – число Авогадро, m – масса вещества, μ – молярная масса. Уравнение Клапейрона – Менделеева: pV = механика и молекулярная физика. - student2.ru RT, где р – давление газа, V – его объем, R –универсальная газовая постоянная, T – термодинамическая температура. Уравнение молекулярно – кинетической теории газов:

p = механика и молекулярная физика. - student2.ru , где n = N/V – концентрация молекул,

<Eк> - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул,

m0 – масса, <υкв> - среднеквадратичная скорость молекулы.

Закон Дальтона для смеси газов: р = механика и молекулярная физика. - student2.ru , где pi – парциальные давления компонентов смеси. Средняя кинетическая энергия молекул: <Eк> = механика и молекулярная физика. - student2.ru ,

где i – число степеней свободы молекулы, k – постоянная Больцмана.

Внутренняя энергия идеального газа: U = механика и молекулярная физика. - student2.ru .

Скорости молекул: среднеквадратичная: <vкв> = механика и молекулярная физика. - student2.ru ,

- среднеарифметическая: <v> = механика и молекулярная физика. - student2.ru ,

- наиболее вероятная: vв = механика и молекулярная физика. - student2.ru

Средняя длина свободного пробега молекулы: <λ> = механика и молекулярная физика. - student2.ru ,

где d – эффективный диаметр молекулы.

Среднее число столкновений молекул в един. времени: <z> = механика и молекулярная физика. - student2.ru .

Уравнение диффузии: dm = -D механика и молекулярная физика. - student2.ru dSdt, где механика и молекулярная физика. - student2.ru – коэффициент диффузии, ρ – плотность, dS- элементарная площадка, перпендикулярная оси Х, механика и молекулярная физика. - student2.ru - градиент плотности. Уравнение теплопроводности: dQ = - χ механика и молекулярная физика. - student2.ru ,

где χ = cv ρ механика и молекулярная физика. - student2.ru – коэффициент теплопроводности, сv – удельная теплоемкость при постоянном объёме, механика и молекулярная физика. - student2.ru - градиент температуры.

Сила внутреннего вязкого трения: механика и молекулярная физика. - student2.ru , где механика и молекулярная физика. - student2.ru – динамическая вязкость, механика и молекулярная физика. - student2.ru - градиент скорости.

Удельная теплота плавления: r = механика и молекулярная физика. - student2.ru . Удельная теплота парообразования: λ = механика и молекулярная физика. - student2.ru . Удельная теплоемкость газа: Суд = механика и молекулярная физика. - student2.ru .

Молярная теплоемкость идеального газа: С= механика и молекулярная физика. - student2.ru .

- изохорная: механика и молекулярная физика. - student2.ru , изобарная: механика и молекулярная физика. - student2.ru .

Уравнение первого начала термодинамики: dQ = dU + dA, где dU = механика и молекулярная физика. - student2.ru CvdT, dA = pdV.

Работа расширения газа при процессах:

- изобарный: механика и молекулярная физика. - student2.ru ;

- изотермический: механика и молекулярная физика. - student2.ru ;

- адиабатический:

механика и молекулярная физика. - student2.ru ,

где механика и молекулярная физика. - student2.ru = (i + 2)/i – показатель адиабаты или коэффициент Пуассона.

Уравнения адиабатического процесса:

механика и молекулярная физика. - student2.ru ; механика и молекулярная физика. - student2.ru ; механика и молекулярная физика. - student2.ru .

Коэффициент полезного действия тепловой машины: η = механика и молекулярная физика. - student2.ru .

Коэффициент полезного действия цикла Карно: механика и молекулярная физика. - student2.ru ,

где QН и TН – количество теплоты, полученное от нагревателя, и его температура, QХ и TХ – количество теплоты, переданное охладителю, и его температура.

Изменение энтропии при обратимом переходе системы из состояния 1 в состояние 2: механика и молекулярная физика. - student2.ru .

Примеры решения задач

1. Движение тела массой 1кг задано уравнением: s = 6t3 + 3t + 2. Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу, действующую на тело в конце второй секунды движения.

Дано: m=1 кг; s = 6t3 + 3t + 2; t = 2 с.

Найти: F, v, а.

Решение. Мгновенную скорость находим как производную от пути по времени: механика и молекулярная физика. - student2.ru ; v = 18t2 + 3 Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени: а = механика и молекулярная физика. - student2.ru = механика и молекулярная физика. - student2.ru ; a = 36 t

Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: F = ma, где а,согласно условию задачи, есть ускорение в конце второй секунды. Тогда: F = m36t; F= 1∙ 36×2 = 72 кг∙м/с2 =72 Н

Ответ: v = 18t2 + 3; a = 36t; F = 72 H.

2. Стержень длиной 1 м движется мимо наблюдателя со скоростью

0,8 с. Какой покажется наблюдателю длина стержня?

Дано: l0 = 1 м, v = 0,8 с.

Найти: l.

Решение. Зависимость длины тела от скорости в релятивистской механике выражается формулой: l = l0 механика и молекулярная физика. - student2.ru , где l0— длина покоящегося стержня; v— скорость его движения; с — скорость света в вакууме. Подставляя в формулу числовые значения, имеем: l =1∙ механика и молекулярная физика. - student2.ru = 1∙ механика и молекулярная физика. - student2.ru = 0,6 м.

Ответ: l = 0,6 м.

3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями:

1) v = 0,5 с и u = 0,75 с;2) v = c и u = 0,75 с. Найти их относительные скорости в первом и во втором случаях.

Дано: 1) v = 0,5 с, u = 0,75 с; 2) v = c, и = 0,75 с. Найти: и/1, u/2.

Решение. Согласно теореме сложения скоростей в теории относительности:

механика и молекулярная физика. - student2.ru ;

где v, u — скорости соответственно первой и второй частиц; u' — их относительная скорость; с — скорость света в вакууме. Для первого и второго случаев находим: механика и молекулярная физика. - student2.ru = 0,91 с; механика и молекулярная физика. - student2.ru = с;

Это означает, во-первых, что ни в какой инерциальной системе отсчета скорость тела не может превзойти скорость света; во-вторых, скорость распространения света в вакууме одна и таже во всех инерциальных системах отсчёта.

Ответ: u¢1 =0,91 с; u¢2 = с.

4. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол a = 60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Дано: m1 = 0,5 кг, m2 =1 кг, a=60°; l = 0,8 м. Найти: h, DEд.

механика и молекулярная физика. - student2.ru Решение. Так как удар шаров неупругий, то после удара шары будут двигаться с общей скоростью v. Закон сохранения импульса при таком ударе имеет вид: m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v. (I)

1. Здесь v1 и v2 — скорости шаров до удара. Скорость большого шара до удара равна нулю (v2 = 0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на yгол a ему сообщается потенциальная энергия, которая при отпускании шара переходит в кинетическую энергию: m1gh1= m1v21/2. Из рисунка видно, что высота h1 равна: h1= l(1— cos a) = 2l sin2 (α/2);

Отсюда: механика и молекулярная физика. - student2.ru (2)

Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:

v = m1v1/(m1 + m2) = 2m1 механика и молекулярная физика. - student2.ru (m1 + m2) (3)

Кинетическая энергия, которой обладают шары после удара, переходит в потенциальную при последующем подъеме обоих шаров на высоту h:

(m1 + m2)v2/2 = (m1 + m2)gh,(4)

Из формулы (4) находим: h = v2/2g,или с учетом (3):

h == 2m21lsin2(α/2)/(m1 + m2)2 h = 2∙0,52∙0,8∙0,25/(0,5 +1)2 = 0,044 м.

При неупругом ударе часть энергии шаров расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется как разность кинетических энергий шаров до и после удара: ΔЕД =(m1v21/2) – (m1 + m2)v2/2.

Используя уравнения (2) и (3), получаем: ΔЕД = 2glm1 механика и молекулярная физика. - student2.ru sin2(α/2);

ΔЕД =2·9,81м/с2·0,8м·0,5кг(1-0,5кг/1,5кг)·0,25=1,3 Дж.

Ответ: h = 0,044 м, ΔЕД = 1,3 Дж.

5. Молот массой 70 кг падает с высоты 5 м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе c изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Систему молот—изделие—наковальня считать замкнутой.

Дано: m механика и молекулярная физика. - student2.ru = 70 кг, m2 = 1330 кг, h = 5 м.

Найти: ЕД.

Решение. По условию задачи система молот—изделие—наковальня считается замкнутой, а удар неупругий. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара.

Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т.е. незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии деформации изделия имеем:

ЕД = m1v2/2 – (m1 + m2)v/ 2/2, (1)

где v —скорость молота в конце падения с высоты h; v/ —общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h определяется без учета сопротивления воздуха по формуле

v = механика и молекулярная физика. - student2.ru ; (2) Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения количества движения: механика и молекулярная физика. - student2.ru = const. (3)

Для рассматриваемой системы закон сохранения количества движения имеет вид: m1v = (m1 + m2)v/, откуда: v/ = m1v/(m1 + m2) (4)

Подставив в формулу (1) выражения (2) и (4), получим:

ЕД = m1m2gh/(m1 + m2); ЕД = 70∙9,8∙5∙1330/(1330 + 70) = 325,85 Дж

Ответ: ЕД = 325,85 Дж.

6. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением: s = 2t2 + 4t + 1. Определить работу силы за 10 с, с начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.

Дано: m = 1 кг, s = 2t2 + 4t + 1.

Найти: A, T = f(t).

Решение. Работа, совершаемая переменной силой, выражается через интеграл механика и молекулярная физика. - student2.ru (1). Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна: F = ma или F = m механика и молекулярная физика. - student2.ru (2). Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени. В соответствии с этим находим:

v = механика и молекулярная физика. - student2.ru = 4t + 4 (3); a = механика и молекулярная физика. - student2.ru = 4 м/с2. (4)

Тогда F = m механика и молекулярная физика. - student2.ru = 4m (5). Из выражения (3) определим ds: ds = (4t+4)dt. (6). Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим: A = механика и молекулярная физика. - student2.ru .

По этой формуле определим работу, совершаемую силой за время 10 с. с начала ее действия:

A = механика и молекулярная физика. - student2.ru = m механика и молекулярная физика. - student2.ru = 1(8∙100 + 16∙10) = 960 Дж.

Кинетическая энергия определяется по формуле: T = mv2/2; (7)

Подставляя (3) в (7), имеем:

T = m(4t + 4)2/2 = m(16t2 + 32t + 16)/2 = m(8t2 + 16t +8)

Ответ:A = 960 Дж, T = m(8t2 + 16t +8).

7. Протон движется со скоростью 0,7 с (с - скорость света). Найти

импульс и кинетическую энергию протона.

Дано: v = 0,7 с; с = 3∙10 механика и молекулярная физика. - student2.ru м/с, m = 1,67∙10-27 кг. Найти: р, Т.

Решение. Количество движения или импульс протона определяется по формуле: p= m0v/ механика и молекулярная физика. - student2.ru = m0v/ механика и молекулярная физика. - student2.ru ; где m0 —масса покоя протона; v— скорость движения протона; c — скорость света в вакууме; v/c = β механика и молекулярная физика. - student2.ru — скорость протона, выраженная в долях скорости света.

p = 1,67∙10-27∙3∙108∙0,7/ механика и молекулярная физика. - student2.ru = 4,91∙10-19 кг·м/с.

В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией Еи энергией покояэтой частицы:

Т = Е – Е0, где Е = m0c2/ механика и молекулярная физика. - student2.ru ; Е0 = m0c2.

Подставив, имеем: Т = m0c2(1/ механика и молекулярная физика. - student2.ru - 1);

Вычисляем: T = 1,67∙10-27∙(3∙108)2 (1/ механика и молекулярная физика. - student2.ru - 1) = 0,6∙10-10 Дж.

Ответ: р = 4,91∙10-19 кг•м/с; Т = 0,6∙10-10 Дж.

8. Какую наименьшую скорость нужно сообщить ракете, чтобы она, стартовав с Земли, не вернулась на Землю? Сопротивление атмосферы не учитывать.

Дано: R3 = 6,37∙106 м; g = 9,8 м/с2; R→∞.

Найти v механика и молекулярная физика. - student2.ru .

Решение. С удалением ракеты от Земли будет увеличиваться ее потенциальная энергия и уменьшаться кинетическая. По закону сохранения энергии:

mv02/2 – mv2/2 = m(GM/RЗ – GM/R), (1)

где m- масса ракеты; М-масса Земли; G - гравитационная постоянная; v0 и v- скорость ракеты относительно Земли в начальный и рассматриваемый моменты; R3 и R- расстояния от центра Земли до ракеты в начальный и рассматриваемый моменты; GM/R- потенциал гравитационного поля Земли на расстоянии Rот ее центра. После преобразования уравнения (1) имеем:

v02 - v2 = 2GM(1/RЗ - 1/R) ;

Ракета не вернется на Землю, если ее скорость vбудет больше или равна нулю на бесконечно большом расстоянии от Земли: v = 0 при R → ∞. Отсюда:

v02 = 2GM/RЗ; (2) Из закона всемирного тяготения следует, что на поверхности Земли GmM/RЗ2 = mg, откуда GM = gRЗ2 (3), где g -ускорение свободного падения на поверхности Земли. Подставляя формулу (2) в (3), находим:

v0 = механика и молекулярная физика. - student2.ru . Считая, что ракета приобретает нужную скоростьvo уже вблизи поверхности Земли, находим: v0 = механика и молекулярная физика. - student2.ru = 11,2 км/с.

Такая скорость необходима для преодоления гравитационного поля Земли. Она называется второй космической или параболической скоростью.

Ответ: vо = 11,2 км/с.

9. Тело брошено вверх с высоты 12 м под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 12 м/с. Определить продолжительность полета тела до точек Аи В(cм. рисунок), максимальную высоту, на которую поднимается тело, и дальность полета тела. Сопротивление воздуха не учитывать.

Дано: H = 12 м, φ = 30°, v0 = l2 м/с, g =9,8 м/с.

Найти: tA, tB, ym, xm.

Решение. В обозначенной на рис. системе координат проекции начальной скорости будут равны:vox = v0cosφ (I), и v0y = v0sinφ (2).

 
Координаты тела с течением времени изменяются в соответствии с уравнением для равнопеременного движения:

y = H + v0tsinφ – gt2/2 (3). x = v0tcosφ (4).

механика и молекулярная физика. - student2.ru Время подъема тела найдем из условия, что в наивысшей точке подъема скорость тела:

vy = v0sinφ – gt = 0 (2/)

Тогда время подъема:

tпод = v0sinφ/g (5).

Время спуска тела от точки С до точки А равно времени подъема, поэтому продолжительность полета тела от точки О механика и молекулярная физика. - student2.ru , до точки Аравна:

tA = 2tпод =2v0sinφ/g. (6)

Максимальную высоту подъема найдем из уравнения (3), подставив в него время подъема из уравнения (5):

ym = H + v02sinφ2/2g (7)

Время полета тела до точки Внайдем из уравнения (3), приравняв координату Y нулю (у = 0): tB = v0sinφ/g + механика и молекулярная физика. - student2.ru (8)

Дальность полета найдем из уравнения (4), подставив в него время движения из уравнения (8): xm = v0tBcosφ (9) Тогда, решая совместно (6)-(9), получим:

tA = 2∙12∙0,5/9,8 = 1,22 c. tB = механика и молекулярная физика. - student2.ru + механика и молекулярная физика. - student2.ru = 2,29 c.

уm = 12 + механика и молекулярная физика. - student2.ru = 13,8 м. xm = 12∙2,29∙0,867 = 23,8 м.∙

Ответ: tA = 1,22 c, tB = 2,29 c, уm= 13,8 м, xm = 23,8 м.∙

10. По условию задачи 9 найти в момент приземления тела следующие величины: скорость и угол падения тела, тангенциальное и нормальное ускорения тела, радиус кривизны траектории в точке В.

Дано: H = 12 м, φ = 30°, v0 = 12 м/с.

Найти: vB, β, an, R.

Решение. Мгновенная, скорость в точке B(см. рис.):

механика и молекулярная физика. - student2.ru vB = механика и молекулярная физика. - student2.ru Проекцию скорости vу в точке Bнайдем из уравнения (2') задачи (9), подставив в него время

движения tB. из (8):

vy = v0sinφ – gtB = механика и молекулярная физика. - student2.ru .

Результирующую скорость v в точке В найдем как:

v = механика и молекулярная физика. - student2.ru =

= механика и молекулярная физика. - student2.ru =

= механика и молекулярная физика. - student2.ru ; v = механика и молекулярная физика. - student2.ru = 19,5 м/с.

Из рис. определим угол β, образуемый вектором скорости v c осью Оx:

sinβ = vy/v = механика и молекулярная физика. - student2.ru / механика и молекулярная физика. - student2.ru ;

sinβ = 0,85; β = arc sin 0,85 = 57040/.

Построим в точке В «треугольник ускорений». Вектор тангенциального ускорения aτ направлен вдоль вектора мгновенной скорости в данной точке, т. е. по касательной к траектории; вектор нормального ускорения аn перпендикулярен вектору мгновенной скорости v. Из рис. видно, что

aτ = g sinβ = gvy/v; an = g cosβ = gvx cosφ/ механика и молекулярная физика. - student2.ru ;

aτ = 9,8∙0,85 = 8,3 м/с2. an = 9,8∙12∙0,867/ механика и молекулярная физика. - student2.ru = 5,25 м/с2.

Радиус кривизны траектории в точке приземления (расстояние R = ОВ на рис.) определяем из уравнения: an = v2/R.

Отсюдаимеем: R = v2/an; R = 19,52/5,25 = 72,5 м.

Ответ: v = 19,5 м/с, β = 57°40', аτ = 8,3 м/с2, an = 5,25 м/с2, R = 72,5 м.

11.Тонкий стержень массой 300 г и длиной 50 см вращается с угловой скоростью 10 c механика и молекулярная физика. - student2.ru в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти его угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдет через конец стержня.

Дано: m = 300 г = 0,3 кг, l = 50 см = 0,5 м, ω1 = 10 c механика и молекулярная физика. - student2.ru .

Найти: ω механика и молекулярная физика. - student2.ru .

Решение. Воспользуемся законом сохранения момента импульса:

механика и молекулярная физика. - student2.ru = сonst, (1) где J - момент инерции стержня относительно оси вращения. Для изолированной системы тел векторная сумма момента импульсов остается постоянной. В данной задаче вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменится. В соответствии с (1) запишем:

J1ω1 = J2ω2 (2)

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен:

J1 = J0 = ml2/12. (3)

По теореме Штейнера: J = J0 + md2, где J - момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; J0 - момент инерции стержня относительно оси вращения, проходящей через центр масс; d- расстояние от центра масс до выбранной оси вращения. Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярно стержню:

J2 = J1 + md2; J2 = ml2/12 + m(l/2)2 = ml2/3 (4)

Подставим формулы (3) и (4) в (2): ml2ω1/12 = ml2ω2/3,

откуда: ω2 = ω1/4; ω2 = 10/4 = 2,5 c-1.

Ответ:. ω2 = 2,5 c-1

12.Маховик массой 4 кг свободно вращается с частотой 720 мин-1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу с радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.

Дано: ωt = 0, m = 4 кг, ν = 720 мин- 1= 12с-1; Δt = 30 с, R = 0,4 м.

Найти: М, N.

Решение. Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения: JΔω = МΔt, (I), где J - момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; Δω— изменение угловой скорости за промежуток времени Δt.

По условию задачи, Δω=-ω0, где ω0 — начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость ωt = 0. Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика, тогда ω0 = 2πνи Δω = - 2πν. Момент инерции маховика J =mR2, где m - масса маховика; R - его радиус. Тогда формула (1) примет вид: mR22πν = - МΔt, откуда: М = - 2πνmR2/Δt.

Знак «-» свидетельствует о том, что момент силы является тормозящим.

M = 2∙3,14∙12∙4∙0,42/30 = 1,61 Н∙м

Угол поворота, т. е. угловой путь φ, за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:

φ = ω0t – εΔt2/2, (2) где ε - угловое ускорeние. По условию задачи: ω = ω0 – εΔt; ωt = 0; εΔ t= ω0. Тогда выражение (2) может быть записано в виде:

φ = ω0Δ t- ω0Δt/2 = ω0Δt/2. Так как φ = 2πN; а ω0 = 2πν, то число полных оборотов: N = νΔt/2; N = 12с-1·30с/2 = 180.

Ответ: М = 1.61 Нм, N = 180 оборотов.

13. Определить, сколько киломолей и молекул водорода содержится в объеме 50 м3 под давлением 767 мм рт.ст. при температуре 18 0С. Какова плотность и удельный объем газа?

Дано: V = 50 м3; р = 767 мм рт.ст.≈ 767·133 Па; Т = 18 + 273 = 291 К;

μ = 2·10-3 кг/моль, R = 8,31 Дж/моль∙К, NA = 6,025∙1023 моль-1.

Найти: ν, N, ρ, d.

Решение. На основании уравнения Менделеева – Клапейрона: механика и молекулярная физика. - student2.ru

устанавливаем число молей ν, содержащихся в заданном объеме V. Зная р – давление, V – объем, Т – температуру газа, R –универсальную газовую постоянную определим ν: ν = механика и молекулярная физика. - student2.ru ; ν = механика и молекулярная физика. - student2.ru (кмоль).

Число молекул N, содержащееся в данном объеме газа, найдем, используя число Авогадро (которое определяет количество молекул содержащееся в одном киломоле вещества). Общее количество молекул, находящихся в массе m данного газа, может быть установлено по известному числу киломолей ν:

механика и молекулярная физика. - student2.ru .

Подставив формулу числа киломолей, определяем число молекул, содержащихся в объеме V: N = 2,11·6,02·1026 = 12,7·1026.

Плотность газа ρ = m/V определяем из уравнения Менделеева – Клапейрона: pV = механика и молекулярная физика. - student2.ru ; откуда находим: ρ = механика и молекулярная физика. - student2.ru = механика и молекулярная физика. - student2.ru .

Подставляя числовые значения в формулу, определим плотность газа:

ρ = механика и молекулярная физика. - student2.ru (кг/м3).

Удельный объем газа d определяем из уравнения Менделеева – Клапейрона:

d = механика и молекулярная физика. - student2.ru ; d = механика и молекулярная физика. - student2.ru ≈ 11,9 (м3/кг).

Ответ: ν = 2,11 кмоль, N = 12,7·1026, ρ = 8,44∙10-2 кг/м3, d = 11,9 м3/кг.

14. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением 1 МПа при температуре 300 К. После того как из баллона было выпущено 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до 290 К. Определить давление гелия, оставшегося в баллоне.

Дано: V = 10-2 м3; μ = 4·10-3 кг/моль; р1 = 106 Па; ∆m = 10-2 кг; Т1 = 300 К;

Т2 = 290 К; R = 8,31 Дж/моль∙К; NA = 6,025∙1023 моль-1.

Найти: р2.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа, учитывая, что объем газа не меняется: р2V = механика и молекулярная физика. - student2.ru , (1) где m2 – масса гелия в баллоне в конечном состоянии; μ– масса одного киломоля гелия; R –универсальная газовая постоянная. Из уравнения (1) выразим искомое давление р2: р2 = механика и молекулярная физика. - student2.ru . (2)

Массу гелия m2 выразим через массу m1, соответствующую начальному состоянию, и массу ∆m гелия, взятого из баллона: m2 = m1 - ∆m . (3)

Массу гелия m1 найдем также из уравнения Менделеева – Клапейрона, применив его к начальному состоянию: m1 = механика и молекулярная физика. - student2.ru (4)

Подставляя в выражение (3) массу m1 по формуле (4), а полученное выражение m2 в формулу (2), найдем: р2 = механика и молекулярная физика. - student2.ru , или после преобразования и сокращения: р2 = механика и молекулярная физика. - student2.ru . (5)

р2 = механика и молекулярная физика. - student2.ru ≈ 3,64·105 (Па).

Ответ: р2 = 3,64·105 (Па).

15 В резервуаре объемом 1,2 м3 находится смесь 10 кг азота и 4 кг водорода при температуре 300 К. Определить давление и молярную массу смеси газов.

Дано: V = 1,2 м3; m1= 10 кг; μ1 = 28·10-3 кг/моль; m2=4 кг;

μ2 = 2·10-3 кг/моль; Т=300 К, R = 8,31 Дж/(моль·К).

Найти: р, μ.

Решение. Определим парциальные давления р1азота и р2 водорода, воспользовавшись уравнением Менделеева – Клапейрона:

механика и молекулярная физика. - student2.ru ; (1) механика и молекулярная физика. - student2.ru , (2)

где m1 – масса азота; μ1 – молярная масса азота; V – объем резервуара;

Т – температура газа; m2 – масса водорода; μ2 – молярная масса водорода.

По закону Дальтона: р = р1 + р2. (3)

Из уравнений (1) и (2) выразим р1 и р2 и подставим в уравнение (3):

Р = механика и молекулярная физика. - student2.ru . (4)

Найдем молярную массу смеси газов по формуле: μ = механика и молекулярная физика. - student2.ru , (5)

где m1 – масса азота; m2 – масса водорода; ν1 – количество молей азота; механика и молекулярная физика. - student2.ru ν2 – количество молей водорода.

Количество молей азота и водорода v1 и v2 найдем по формулам:

механика и молекулярная физика. - student2.ru ; (6) механика и молекулярная физика. - student2.ru . (7) Подставляя формулы (6) и (7) в выражение (5), найдем: μ = механика и молекулярная физика. - student2.ru . (8)

Вычислим: механика и молекулярная физика. - student2.ru (Па);

μ = механика и молекулярная физика. - student2.ru (кг/моль).

Ответ: р = 4,9∙106 Па, μ = 6∙10-3 кг/моль.

16. Сосуд емкостью 2 л содержит азот при температуре 27 0С и давлении 0,5 атм. Найти число молекул в сосуде, число столкновений между всеми молекулами за 1 с, среднюю длину свободного пробега молекул.

Дано: V = 2 л = 2·10-3 м3; Т = 27 0С = 300 К; р = 0,5 атм = 5,065·104 Па; d = 3,1·10-10 м; μ = 28·10-3 кг/моль, NА = 6,02·1023 моль-1; k = 1,38∙10-23 Дж/К.

Найти: N, z, < λ >.

Решение. Число молекул в сосуде найдем исходя из уравнения Менделеева – Клапейрона: механика и молекулярная физика. - student2.ru . В газе массой m содержится N молекул газа, так что m = Nm0, где m0 – масса отдельной молекулы. B одном киломоле вещества содержится число молекул, равное числу Авогадро NА. Поэтому μ = m0NА и, следовательно: механика и молекулярная физика. - student2.ru ; механика и молекулярная физика. - student2.ru . (1)

Среднее число столкновений каждой молекулы с остальными за 1 с:

< z > = механика и молекулярная физика. - student2.ru , где < v >= механика и молекулярная физика. - student2.ru - средняя арифметическая скорость молекул газа. Средняя длина свободного пробега молекул газа < λ > равна:

< λ > = механика и молекулярная физика. - student2.ru , где d – эффективный диаметр молекулы, n – концентрация молекул. Исходя из уравнения (1), механика и молекулярная физика. - student2.ru . (2)

Общее число столкновений за 1 с равно: механика и молекулярная физика. - student2.ru n·<z>.

Согласно уравнениям (1) и (2) имеем: механика и молекулярная физика. - student2.ru . (3)

Средняя длина свободного пробега молекул: < λ > = механика и молекулярная физика. - student2.ru . (4)

Вычисляем, подставив численные значения величин в системе СИ: механика и молекулярная физика. - student2.ru ; механика и молекулярная физика. - student2.ru-1);

<λ>= механика и молекулярная физика. - student2.ru (м)

Ответ: n = 2,45∙1023 молекул, z = 2,5∙109 с-1, <λ> = 1,92∙10-7 м

17. Определить коэффициент внутреннего трения для водорода, имеющего температуру 27 0С.

Дано: Т = 270С = 300 К; d = 2,3·10-10 м; NА= 6,02·1023 моль-1;

μ = 2·10 -3 кг/моль; R = 8,31 Дж/(моль·К).

Найти: η.

Решение. Из молекулярно-кинетической теории газов коэффициент внутреннего трения равен: механика и молекулярная физика. - student2.ru , (1) где ρ – п

Наши рекомендации