Интегрирование тригонометрических функций
Знать:
v Основные тригонометрические формулы;
v основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.
Уметь:
v Использовать основные приёмы интегрирования тригонометрических выражений.
Использование тригонометрических преобразований
Интегралы вида:
;
;
, (16)
где , находятся с помощью формул:
;
;
.
Интегралы вида:
, (17)
Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби при помощи универсальной тригонометрической подстановки
=
;
.
На практике применяются и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции.
- если функция R(sinx;cosx) нечётна относительно sinx, т.е. R(-sinx;cosx)=-R(sinx; cosx), то следует применить подстановку
t=cosx; dt= -sinxdx; ,
.
- если функция R(sinx;cosx) нечётна относительно cosx, т.е. R(sinx;-cosx)=-R(sinx; cosx), то следует применить подстановку
t=sinx; dt=cos x dx; .
- если функция R(sinx;cosx) чётна относительно sinx и cosx, т.е. R(-sinx;-cosx)=R(sinx;cosx), то следует применить подстановку
t=tgx; ;
,
.
Интегралы вида:
, (18)
1. где k, n — хотя бы одно число нечётное
отделить от нечётной степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;
2. где k, n — чётные положительные
применить формулы понижения степени:
;
;
;
3. где k, n — нечётные положительные
отделить от наименьшей степени один множитель и подвести его под знак дифференциала;
4. где n — целое положительное число
применить подстановку t=sinx;
5. где k — целое положительное нечётное число
применить подстановку t=cosx;
6. где n+k — чётное отрицательное целое число
применить подстановку t=tgx;
7. где n и k — четные и хотя бы одно из них отрицательное
применить подстановку t=tg x или t=ctg x.
Интегралы вида:
,
,
(19)
если n=1, то
;
,
если n>1, воспользоваться формулами:
;
,
позволяющими понизить степень тангенса или котангенса непосредственно, отделяем один множитель и подводим его под знак дифференциала, находим исходный интеграл.
№6. Найти интегралы: 1) ; 2)
; 3)
; 4)
; 5)
;
6) .
►1) =
=
= =
;
2) =
=
=
= =
= =
= ;
3) =
=
= =
=
= =
=
= ;
4) =
=
=
= =
=
;
5) =
=
=
= =
=
=
= =
=
=
= +С;
6) =
=
=
=
= =
, (
.◄
Аудиторное занятие
Найти интегралы:
№248. . Ответ:
.
№249. . Ответ:
.
№250. . Ответ:
.
№251. . Ответ:
.
№252. . Ответ:
.
№253. . Ответ:
.
№254. . Ответ:
.
№255. . Ответ:
.
№256. . Ответ:
.
№257. . Ответ:
.
№258. . Ответ:
.
№259. . Ответ:
.
№260. .
Указание. Замена сosx=t.
Ответ: .
№261. .
Указание. Замена sinx=t.
Ответ: .
Домашнее задание
Найти интегралы:
№262. . Ответ:
.
№263. . Ответ:
.
№264. . Ответ:
.
№265. . Ответ:
.
№266. . Ответ:
.
№267. . Ответ: tg x–x.
№268. . Ответ:
.
№269. . Ответ:
.
№270. . Ответ:
.
№271. . Ответ:
.
№272. . Ответ:
.
№273. . Ответ:
.
№274. . Ответ:
.
№275. . Ответ:
.
№276. . Ответ:
.
№277. . Ответ:
.
№278. . Ответ:
.
№279. . Ответ:
.
№280. . Ответ:
.
Дополнительные задания
Найти интегралы:
№281. . Ответ:
.
№282. . Ответ:
.
№283. . Ответ:
.
№284. .
Ответ: .
№285. . Ответ:
.
№286. .
Ответ: .
№287. .
Ответ: .
№288. . Ответ:
.
№289. .
Указание. Замена t=ctg x. Ответ: .
№290. . Ответ:
.
№291. . Ответ:
.
№292. . Ответ:
, где t=tg x.
№293. . Ответ: ln|tg x|.
№294. . Ответ:
.
№295. .
Указание. Замена ctgx=t.
Ответ: .
№296. . Ответ: ln|sinx|-sinx.
№297. .
Ответ: .
Примерный вариан решения
индивидуального домашнего задания
Найти интегралы:
№18. .
► =
=
= =
= =
= .◄
№19. .
► =
=
= =
=
= .◄
№20. .
► =
=
= =
.◄
№38. .
► =
=
= =
=
=
= .◄
№39. .
► =
=
= =
=
=
= .◄
№40.
► =
=
= =
=
=
= =
=
= .◄
Занятие 7
Интегрирование некоторых иррациональностей
Цели
Знать:
v Основные приёмы интегрирования квадратичных иррациональностей.
Уметь:
v Применять основные приёмы интегрирования квадратичных иррациональностей;
v выделять полный квадрат из квадратного трёхчлена под знаком радикала;
v применять дробно-линейную подстановку; тригонометрическую подстановку.
Интегралы вида:
(20)
называют неопределёнными интегралами от квадратичных иррациональностей.
Постановка задачи. Найти интеграл .
План решения.
Для нахождения интеграла следует:
1. Если числитель есть дифференциал подкоренного трёхчлена, то следует сделать замену , что приводит исходный интеграл к виду
.
2. Если числитель не зависит от х, т.е. М=0, то под знаком радикала выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, в результате чего получим квадратный двучлен, в зависимости от знака а исходный интеграл сводится к одной из табличных формул
[11]
или
[12].
3. Если , то под знаком радикала выделив полный квадрат, сделать подстановку
, при этом исходный интеграл разбивается на сумму двух интегралов.
Интегралы вида
, (21)
где R — рациональная функция; p,q,…,s,t — целые числа, находятся с помощью постановки
,
где m — наименьшее общее кратное чисел q,…,t.
Частные случаи:
1) если в интеграле (21) с=0, то он будет иметь вид
, (22)
где ;
2) если b=c=0, a=d=1, то интеграл (21) примет вид
. (23)
Интегралы вида (22) или (23) находятся с помощью подстановки
или
.
К интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, сводятся интегралы:
(24)
подстановкой
x=a sint; dx=a cost dt
или
x=a cost; dx=-a sint dt
(25)
подстановкой
x=a tgt;
или
x=a ctgt;
(26)
подстановкой
;
или
Интегралы вида:
(27)
Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция относительно х и . Выделив под радикалом полный квадрат и сделав подстановку
, интегралы указанного вида приводятся к интегралам вида:
,
,
.
Интеграл от дифференциального бинома
(28),
где a, b — действительные числа; m, n, p — рациональные числа, берутся, лишь в случае, когда одно из чисел р, или
— является целым.
Интеграл от дифференциального бинома сводится к интегралу от рациональной функции в трёх случаях:
1) когда р — целое число,
подстановка , где k — наименьшее общее кратное дробей m и n;
2) когда — целое число,
подстановкой , где s — знаменатель дроби p;
3) когда — целое число,
подстановкой , где s — знаменатель дроби р.
Во всех остальных случаях интегралы вида не выражаются через известные элементарные функции, т.е. «не берутся».
Интеграл вида:
(29)
можно найти подстановкой .
№ 7. Найти интегралы: 1) ; 2)
;
3) ; 4)
; 5)
;
6) ; 7)
; 8)
.
►1) =
=
= =
=
=
= =
;
2) =
=
=
=
= =
;
3) =
=
=
= =
=
= ;
4) =
=
=
= =
=
;
5) =
=
=
= =
=
=
= .
Замечание. Ответ можно упростить, если воспользоваться тем, что и
, следовательно
=
;
6) Это интеграл от дифференциального бинома.
=
=
= =
= =
= =
=
=
=
= ;
7) =
=
=
= =
.
Здесь учтено, что , что подынтегральная функция определена в интервале –1<x<1, вследствие чего х-1<0 и t<0 и поэтому|t|=-t.
=
=
;
8) =
=
=
= =
=
= =
=
= .
Получили возвратный интеграл. Следовательно, имеем:
=
;
;
;
Учитывая, что t=x-1, получаем
.◄
Аудиторное занятие
№298. . Ответ:
.
№299. .
Ответ: .
№300. . Ответ:
.
№301. .
Ответ: .
№302. . Ответ:
.
№303. . Ответ:
.
№304. .
Ответ: .
Домашнее задание
№305. .
Ответ: .
№306. . Ответ:
.
№307. .
Ответ: .
№308. . Ответ:
.
№309. .
Ответ: .
№310. . Ответ:
.
№311. . Ответ:
.
№312. . Ответ:
.
№313. . Ответ:
.
№314. .
Ответ: .
№315. . Ответ:
.
№316. . Ответ:
.
№317. . Ответ:
.
№318. .
Ответ: .
№319. .
Ответ: .
Дополнительные задания
Найти интегралы:
№320. . Ответ:
.
№321. . Ответ:
.
№322. .
Ответ: .
№323. . Ответ:
.
№324. .
Ответ: .
№325. . Ответ:
.
№326. .
Ответ: .
№327. . Ответ:
.
№328. . Ответ:
.
№329. . Ответ:
.
№330. . Ответ:
.
№331. . Ответ:
.
№332. . Ответ:
.
№333. .
Ответ: .
№334. .
Ответ: .
№335. .
Ответ: .
№336. . Ответ:
.
№337. . Ответ:
.
№338. .
Указание. Замена .
Ответ: .
№339. .
Указание. Избавиться от иррациональности в знаменателе подынтегральной дроби.
Ответ: .
№340. .
Указание. Избавиться от иррациональности в знаменателе подынтегральной дроби.
Ответ: .
Примерный вариан решения
индивидуального домашнего задания
Найти интегралы:
№25. .
► =
=
= =
=
= =
=32t-8sin 4t+C=
= =
= .◄
№26. .
► =
=
= =
=
=
= =
.◄
№36. .
► =
=
= =
=
= =
= .◄
№37. .
► =
=
= =
=
= =
= =
◄
Занятие 8
Обзорное
Цели
v Знать и уметь применять основные приёмы интегрирования.
Найти интегралы:
№341. . Ответ:
.
№342. . Ответ:
.
№343. . Ответ:
.
№344. . Ответ:
.
№345. .
Ответ: .
№346. . Ответ:
.
№347. . Ответ:
.
№348. . Ответ:
.
№349. .
Ответ: .
№350. . Ответ:
.
№351. . Ответ:
.
№352. . Ответ:
.
№353. . Ответ:
.
№354. . Ответ:
.
№355. . Ответ:
.
№356. . Ответ:
.
№357. .
Указание. Учесть, что .
Ответ: .
№358. . Ответ:
.
№359. . Ответ:
.
№360. . Ответ:
.
Примерный вариант контрольной работы
Вариант 1
Найти интегралы:
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
Вариант 2
Найти интегралы:
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
Контрольные вопросы
1. Первообразная и её свойства
- Может ли функция иметь единственную первообразную на некотором промежутке?
- Пусть y=F1(x), y=F2(x) — первообразные функции y=f(x) на некотором промежутке. Какой вид имеет график функции y=F1 - F2?
- Может ли функция, график которой изображён на рисунке, являться первообразной некоторой функции?
- Будет ли функция
являться первообразной для функции
на промежутке: а)
; б)
?
- Верно ли утверждение:
а) графики любых двух первообразных можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси ОХ;
б) графики любых двух первообразных можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси ОY;
в) графики первообразных одной функции могут пересекаться;
г) графики первообразных одной фун<