Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов.

В настоящее время известно много формул приближенного интегрирования, называемых также квадратурными формулами (формулы вычисления площадей).

Формула прямоугольников. Вывод этой формулы основан на замене определенного интеграла интегральной суммой. Из анализа известно, что

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru

где Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru - интегральная сумма для функции f(x) на отрезке [a, b].

ξ – внутренняя точка отрезка [a, b].

Если отрезок [a, b] разбить на n равных частей:

а=х0 , х1 , …, хп=b,

то

∆хi = = h.

Число h называется шагом квадратурной формулы. При этом условии получаем:

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru

Если взять в качестве точек ξi левые концы частичных отрезков:

f(ξi) = f(хi) (i = 0, 1, …, n-1),

то

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru

Обозначим f(хi) = уi. Заменяя интеграл интегральной суммой, получим приближенное равенство:

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru , (2)

называемое формулой прямоугольников (с левыми ординатами).

Если взять в качестве точек ξi правые концы частичных отрезков:

f(ξi) =f(хi) (i = 1, 2,…, n),

то получим приближенное равенство:

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru , (3)

называемое формулой прямоугольников (с правыми ординатами).

Геометрический смысл формулы прямоугольников состоит в том, что криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой, составленной из прямоугольников. Приближенное значение интеграла равно площади ступенчатой фигуры.

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru

Пример. Вычислим интеграл Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru , разбив интервал интегрирования на 10 равных частей (n = 10). Найдем и запишем в таблицу значения подынтегральной функции

у = в точках деления:

i хi уi = i хi уi =
0,0 1,00000 0,6 0,62500
0,1 0,90909 0,7 0,58824
0,2 0,83333 0,8 0,55556
0,3 0,76923 0,9 0,52632
0,4 0,71429 1,0 0,50000
0,5 0,66667      

По формуле прямоугольников с левыми ординатами получим:

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru

По формуле прямоугольников с правыми ординатами получим:

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru

Значение, полученное по формуле (1):

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru

Мы видим, что формулы прямоугольников дают грубые приближения.

Так как функция у = является убывающей на отрезке
[0; 1], то формула прямоугольников с левыми ординатами позволяет получить приближенное значение интеграла с избытком, формула прямоугольников с правыми ординатами – с недостатком.

Абсолютную погрешность r формул прямоугольников (2) и (3) можно оценить по формуле:

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru (4)

где

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru

Идея вывода квадратурных формул трапеций и Симпсона:

подынтегральной функции f(x) поставить в соответствие близкую ей функцию gn(x), которую можно проинтегрировать, и приближенно заменить искомый интеграл Iинтегралом от этой функции.

Формула трапеций.Пусть требуется вычислить интеграл

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru

Обозначим a = x0 , b = x1.

В качестве аппроксимирующей функции g(x) выберем линейную функцию и произведем замену подынтегральной функции f(x) по формуле линейного интерполирования

f(x) ≈ у0 + tDу0 ,

где

у0 =f(x0) , у1 =f(x1), Dу0 = у1- у0.

В этом случае

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru , (5)

Известно, что t =

Отсюда х=х0 +th и dx =hdt.

При х = х0 t = 0;

при х =х1 t = 1.

Переходя к новой переменной t, получим:

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru

или

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru (6)

так как Dу01 –у0

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru Формула (6) называется формулой трапеций.

Ее геометрический смысл состоит в том, что на отрезке
0; х1] кривая у = f(х) заменяется отрезком прямой (хордой), т. е. криволинейная трапеция заменяется прямолинейной.

Значение интеграла, вычисленное по формуле (6), будет равно площади трапеции. На рисунке эта площадь заштрихована.

Как показывает вычислительная практика, при недостаточно малой длине отрезка интегрирования точность результатов, полученных с помощью формулы (6), бывает недостаточной.

Для получения более точного результата поступают следующим образом:

Отрезок интегрирования [а;b] разбивают на п равных частей точками: х0 = а, х1 , х2 ,…,хn =b. И аппроксимируют кусочно-линейной функцией gп(x). Применяя формулу (6) на каждом из частичных отрезков интегрирования, получают:

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru (7)

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru Сложив равенства, получают формулу, называемую обобщенной формулой трапеций:

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru (8)

где уi =f(хi ) (i = 0, 1, …, n).

Геометрический смысл этой формулы состоит в том, что кривая — график функции у = f(х) — заменяется ломаной, вписанной в кривую АВ. Площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей прямолинейных трапеций. Как показывает практика, формула (8) при большом числе точек деления позволяет получать хорошие результаты.

 
  Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru

Пример 1. Вычислим по формуле трапеций (8) интеграл Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru , разбив отрезок интегрирования на десять равных частей.

Воспользовавшись данными, занесенными в предыдущую таблицу, получим:

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru

Сравнение полученного результата со значением ln2 » 0,693147 показывает, что погрешность значения интеграла, вычисленного по обобщенной формуле трапеций, значительно меньше погрешности, допущенной при вычислении этого же интеграла по формуле прямоугольников.

Можно показать, что погрешность результатов, получаемых по обобщенной формуле трапеций, подсчитывается по формуле

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru (9)

где а < x < b,

а абсолютная погрешность оценивается следующим образом:

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru (10)

где

Численные методы вычисления определенного интеграла. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симсона для вычисления неопределенных интегралов. - student2.ru (11)

Наши рекомендации