Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть f (x ) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f (-x ) = f (x ) .

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

=

=

= 0 , где n =1,2, . . .

Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:

Пусть теперь f (x ) - нечетная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f (-x ) = - f (x ).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

, где n =1,2, . . .

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:

Если функция f (x ) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то

, где ,

,

,

Если f (x ) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L ], то доопределив заданную функцию f (x ) соответствующим образом на [-L, 0]; далее периодически продолжив на (T =2L ), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.

Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a ,b], надо : доопределить на [b ,a +2L ] и периодически продолжить, либо доопределить на [b -2L ,a ] и периодически продолжить.

Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций

Последовательность функций непрерывных на отрезке [a ,b ], называется ортогональной системой функции на отрезке [a ,b ], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если

Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],

если выполняется условие

Пусть теперь f (x ) - любая функция непрерывная на отрезке [a ,b ]. Рядом Фурье такой функции f (x ) на отрезке [a ,b ] по ортогональной системе называется ряд:

коэффициенты которого определяются равенством:

n=1,2,...

Если ортогональная система функций на отрезке [a ,b ] ортонормированная, то в этом случаи

где n =1,2,...

Пусть теперь f (x ) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a ,b ]. Рядом Фурье такой функции f (x ) на томже отрезке

по ортогональной системе называется ряд:

,

Если ряд Фурье функции f (x ) по системе (1) сходится к функции f (x ) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a ,b ]. В этом случае говорят что f (x ) на отрезке [a ,b ] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).

Комплексная форма ряда Фурье

Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f (x ), если определяется равенством

, где

Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:

(n =1,2, . . .)

Задача о колебании струны

Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x= 0 и x =l . Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.

При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u (x,t ) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению

(1) , где а - положительное число.

Наша задача - найти функцию u (x,t ) , график которой дает форму струны в любой момент времени t , т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:

(2)

и начальных условиях:

(3)

Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u (x ,t ) 0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u (x,t )=X (x )T (t ), (4) , где , .

Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:

Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:

Используя это условие X (0)=0, X (l )=0, докажем, что отрицательное число, разобрав все случаи.

a) Пусть Тогда X ”=0 и его общее решение запишется так:

откуда и ,что невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.

б) Пусть . Тогда решив уравнение

получим , и, подчинив, найдем, что

в) Если то

Уравнения имеют корни :

получим:

где -произвольные постоянные. Из начального условия найдем:

откуда , т. е.

(n =1,2,...)

(n =1,2,...).

Учитывая это, можно записать:

(n=1,2,...).

и, следовательно

, (n =1,2,...),

но так как A и B разные для различных значений n то имеем

, (n =1,2,...),

где и произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).

Итак, подчиним функцию u (x,t ) начальным условиям, т. е. подберем и так , чтобы выполнялись условия

Эти равенства являются соответственно разложениями функций и на отрезки [0, l ] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой

где

(n =1,2,...)

Интеграл Фурье

Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Для того, чтобы f (x ) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1) абсолютной интегрируемости на

(т.е. интеграл сходится)

2) на любом конечном отрезке [-L , L ] функция была бы кусочно-гладкой

3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f (x )

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

, где ,

.