Волновая поверхность, волновой фронт.

Волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью ( поверхностью постоянных фаз, фазовой поверхностью).

Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени - один.

Гармоническая бегущая волна S=Acos(ω(t- )+φ₀)(1) является плоской волной, т.к. ее волновые поверхности (ω(t- )+φ₀)=соnst представляет собой совокупности плоскостей, параллельных друг другу и перпендикулярных оси х.

Уравнение гармонической сферической волны имеет вид S=A₀(r)cos(ωt-kх+ φ₀), (2)

где r-радиальная координата. При распространении волны в непоглощающей среде A(r)~1/r [S=A₀ cos(ωt-kх+ φ₀)]

Скорость >v распространения гармонической волны называется фазовой скоростью. Она равна скорости перемещения волновой поверхности. Например, в случае плоской гармонической волны из условия (ω(t- )+φ₀)=соnst следует, что . (3)

Волновое уравнение.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением - дифференциальным уравнением в частных производных.

, (4) где (5)-оператор Лапласа, v - фазовая скорость.

Решением уравнения (4) является уравнение любой волны (плоской, сферической и т.д.). В частности, для анализируемой здесь плоской гармонической волны (1), которая не зависит от координат y и z волновое уравнение принимает вид . (6)

Cоответствующей подстановкой можно убедится, что уравнению (6) удовлетворяет уравнение (1).

Частота, период, длина волны.

Длина волны - это расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний. Так как ,то или .

Свойства волн.

Генерация волн. Волны могут генерироваться различными способами.

Генерация локализованным источником колебаний (излучателем, антенной).

Спонтанная генерация волн в объёме при возникновении гидродинамических неустойчивостей. Такую природу могут иметь, например, волны на воде при достаточно большой скорости ветра, дующего над водной гладью.

Переход волн одного типа в волны другого типа. Например, при распространении электромагнитных волн в кристаллическом твёрдом теле могут генерироваться звуковые волны.

Как правило, волны способны удалиться сколь угодно далеко от генератора колебаний. По этому причине иногда волнами называют «колебание, оторвавшееся от излучателя». Исключение составляют так называемые температурные волны, амплитуда которых экспоненциально спадает при удалении от излучателя.

Распространение. Большинство волн, по своей природе, являются не настоящими новыми физическими сущностями, а лишь условным названием для определённого вида коллективного движения. Так, если в объёме газа возникла звуковая волна, то это не значит, что в этом объёме появились какие-то новые физические объекты. Звук — это лишь название для особого скоординированного типа движения тех же самых молекул. Т.е. большинство волн — это колебания некоторой среды. Вне этой среды волны данного типа (например, звук в вакууме) не существуют.

Имеются, однако, волны, которые являются не «рябью» какой-либо иной среды, а представляют собой именно новые физические сущности. Так, электромагнитные волны в современной физике — это не колебание некоторой среды (называвшейся в XIX веке эфиром), а самостоятельное, самоподдерживающееся поле, способное распространяться в вакууме. Аналогично обстоит дело и с волнами вероятности материальных частиц.

Распространение волн — это, как правило, равномерный процесс, т.е. волны обычно распространяются с некоторой определённой скоростью (которая, конечно же, может зависеть от многих параметров).

При распространении в некоторой среде амплитуда волны может затухать, что связано с диссипативными процессами внутри среды, сквозь которую проходят волны. В случае некоторых специальным образом подготовленных метастабильных сред амплитуда волны могут, наоборот, усиливаться (пример: генерация лазерного излучения).

Взаимодействие с телами и границами раздела. Наиболее «спокойным» образом волна распространяется в однородной, однотипной среде. Если же на пути волны встречается какой-либо дефект среды, тело, или граница раздела двух сред, то это приводит к нарушению нормального распространения волны. Результат этого нарушения часто проявляется в виде следующих явлений:

отражение

преломление

рассеяние

дифракция

Разумеется, конкретный вид законов, описывающих эти процессы, зависит от типа волны.

Пространственные размеры волны. Когда говорят о пространственном размере волны, то имеют в виду размер той области пространства, где амплитуду колебания нельзя считать (в рамках рассматриваемой задачи) пренебрежимо малой. Большинство волн могут, теоретически, обладать сколь угодно большим размером, как в направлении движения, так и поперёк него. В реальности же все волны обладают конечными размерами. Продольный размер волны, как правило, определяется длительностью процесса излучения волны. Поперечный же размер определяется рядом параметров: размером излучателя, характером распространения волны (например, плоская, сферически расходящаяся волна и т.д.).

Некоторые виды волн, в частности, солитоны, являются ограниченными волнами по построению.

Волна ограниченного размера называется волновым пакетом, или цугом волн. В теории, волновой пакет описывается как сумма всевозможных плоских волн, взятых с определёнными весами. В случае нелинейных волн, форма огибающей волнового пакета эволюционирует с течением времени.

Поляризация. В каждой точке любой волны можно ввести некоторой векторное поле. Так, если волна есть колебание некоторой среды, то этим вектором будет вектор скорости частицы этой среды в данной точке; если это электромагнитная волна, то этим вектором будет электрическое поле и т.д. Направление этого вектора задаёт поляризацию волны. Если этот вектор параллелен направлению движения волны (т.е. если среда колеблется вдоль направления движения), то волна называется продольной. Если вектор перпендикулярен направлению движения волны (т.е. если среда колеблется поперёк направления движения), то волна называется поперечной.

Поперечность или продольность волны определяется её природой. Так, например, плоские электромагнитные и гравитационные волны поперечны, звуковая волна в газе — продольна, а упругие волны в твёрдом теле могут быть как продольными, так и поперечными.

Фазовая когерентность. Когерентность волны означает, что в различных точках волны осцилляции происходят синхронно, т.е. разность фаз между двумя точками не зависит от времени. Отсутствие когерентности, следовательно, это ситуация, когда разность фаз между двумя точками не константа, а почти случайно «скачет» со временем (сбои фаз). Такая ситуация может иметь место, если волна была сгенерирована не единым излучателем, а совокупностью одинаковых, но независимых (т.е. нескорелированных) излучателей.

Изучение когерентности световых волн приводит к понятиям временной и пространственной когерентности. При распространении электромагнитных волн в волноводах могут иметь место фазовые сингулярности. В случае волн на воде когерентность волны определяет так называемая вторая периодичность.

Энергия волны.

Энергия бегущей волны. Вектор плотности потока энергии

Упругая среда, в которой распространяется волна, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией среды. Можно показать, что объемная плотность энергии для плоской бегущей гармонической волны S=Acos(ω(t- )+φ₀)

(14)

где r=dm/dV - плотность среды, т.е. периодически изменяется от 0 до rА2w2 за время p/w=Т/2. Среднее значение плотности энергии за промежуток времени p/w=Т/2

. (16)

Для характеристики переноса энергии вводят понятие вектора плотности потока энергии - вектор Умова. Выведем выражение для него. Если через площадку DS^ , перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время Dt энергия DW, то плотность потока энергии Рис. 2

, (17)

где DV=DS^ uDt - объем элементарного цилиндра, выделенного в среде. Поскольку скорость переноса энергии или групповая скорость есть вектор, то и плотность потока энергии можно представить в виде вектора , Вт/м2 (18) Этот вектор ввел профессор Московского университета Н.А. Умов в 1874 г. Среднее значение его модуля называют интенсивностью волны (19) Для гармонической волны u=v [cм.(14)], поэтому для такой волны в формулах (17)-(19) u можно заменить на v. Интенсивность определяется плотностью потока энергий – этовектор совпадает с направлением, в котором переносится энергия и равен потоку энергии перенсимой через……………..

Когда говорят о интенсивности, то подразумевают физическое значение вектора –потока энергии. Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды.

Поток энергии.

Поток энергии – количество энергии , переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени:

Вектор Умова. - связь плотности потока энергии с плотностью энергии упругой волны Для характеристики переноса энергии вводят понятие вектора плотности потока энергии - вектор Умова. Выведем выражение для него. Если через площадку DS^ , перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время Dt энергия DW, то плотность потока энергии Рис. 2

, (17)

где DV=DS^ uDt - объем элементарного цилиндра, выделенного в среде. Поскольку скорость переноса энергии или групповая скорость есть вектор, то и плотность потока энергии можно представить в виде вектора , Вт/м2 (18) Этот вектор ввел профессор Московского университета Н.А. Умов в 1874 г. Среднее значение его модуля называют интенсивностью волны (19) Для гармонической волны u=v [cм.(14)], поэтому для такой волны в формулах (17)-(19) u можно заменить на v. Интенсивность определяется плотностью потока энергий – этовектор совпадает с направлением, в котором переносится энергия и равен потоку энергии перенсимой через……………..

Когда говорят о интенсивности, то подразумевают физическое значение вектора –потока энергии. Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды.

Вектор Умова.

Пусть в некоторой среде вдоль оси х распространяется упругая плоская продольная волна, описываемая уравнением (1.91')

Выделим в среде элементарный объем DV такой, что скорость движения частиц dS/dt и деформацию среды dS/dx во всех точках этого объема можно считать одинаковыми. Это означает, что если m – масса всего выделенного объема DV, то он обладает кинетической энергией

а потенциальнаяэнергия упругой деформации этого объема

где Е – модуль Юнга, характеризующий упругие свойства среды.

Используя известное выражение m = rDV (r – плотность среды) и зависимость скорости распространения упругих волн в твердой среде от свойств среды

получим

Тогдаполная энергия D W, которой обладает выделенный объем

, (1.144)

Введем следующие физические величины:

1. Плотность энергии w, [Дж/м³] – суммарная энергия колебаний всех частиц, находящихся в единице объема среды:

2. Поток энергии Ф, [Дж/с]– энергия, переносимая волной через некоторую поверхность DS в единицу времени:

3. Плотность потока энергии j, [Дж/(м² с)] – поток энергии через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия:

Через площадку DS_^ за время Dt пройдет вся энергия DW, содержащаяся в объеме DV:

DW = wDV = wDS_^ vDt.

Рис. 1.79

Тогда плотность потока энергии:

или в векторной форме

Плотность потока энергии – вектор, направление которого совпадает с направлением вектора фазовой скорости .

Вектор плотности потока энергииназывается вектором Умова. Вектор Умова позволяет вычислить полный поток энергии через определенную поверхность.

На основании (1.144) плотность энергии w в выделенном объеме

Взяв производные по времени и по координате от S(x,t), получим w = rА²w ²sin²(w t – kx + a).

Так как среднее значение , то среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке среды

<w > = (1/2) rА²w ².

Этим значением определяется интенсивность волны. Важно отметить пропорциональность среднего значения плотности энергии квадрату амплитуды волны.

Стоячие волны.

Если в среде распространяется несколько волн, то результирующее колебание каждой частицы среды представляет собой сумму колебаний, которые совершала бы частица от каждой волны в отдельности. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

Интерференцией называется явление наложения когерентных волн, при котором происходит перераспределение энергии колебаний в пространстве, в результате чего в одних его точках наблюдается ослабление, а в других – усиление колебаний.

Когерентными называются колебания (волны, источники), у которых:

1) частоты одинаковые: w₁ = w₂ = w₀;

2) колебания происходят вдоль одного направления (сонаправлены);

3) разность фаз колебаний не изменяется во времени:

d = a₂ – a₁= сonst

Рис. 1.80

Рассмотрим (рис. 1.80) два когерентных источника S₁ и S₂, от которых распространяются волны так, что в точке наблюдения (точка М) колебания описываются выражениями

S₁(t) = A₁ cos (w t – k r₁) = A₁ cos (w t – a₁)

S₂(t) = A₂ cos (w t – k r₂) = A₂ cos (w t – a₂)

где r₁ и r₂ – расстояния от источников до точки наблюдения a₁ и a₂ – начальные фазы колебаний в точке наблюдения.

В соответствии с теоремой косинусов амплитуда результирующего колебания в точке М имеет вид :

где d = a₂ – a₁ – разность фаз колебаний в этой точке.

Из этой формулы следует, что:

1) если d = + 2pn, (cos d = 1), то амплитуда колебаний становится максимальной (A = A_max), т. е. в точке пространства, для которой выполняется указанное условие для d происходитусиление колебаний;

2) если d = + (2n+1)p, (cos d = –1), то амплитуда колебаний становится минимальной (A = A_min), т. е. в точке пространства, для которой выполняется указанное условие для d происходитослабление колебаний. В частности, если А₁ = А₂, то колебаний не происходит вообще – данная частица среды покоится.

Рассмотрим наиболее простой и важный случай интерференции: сложение двух плоских волн, имеющих одинаковую амплитуду и распространяющихся навстречу друг другу. Возникающий при этом колебательный процесс называетсястоячей волной.

Волна, распространяющаяся в положительном направлении оси х:

S₁ = A cos (w t – kх)

Волна, распространяющаяся в отрицательном направлении оси х:

S₂ = A cos (w t + kх)

Результирующая волна получается при сложении

S = S₁ + S₂

Из тригонометрии известно:

Поэтому

S = S₁ + S₂ = 2A cos kx cosw t,

т. е. амплитуда результирующих колебаний является функцией координаты точки пространства, в которой рассматривается колебание

A_рез = А (х) = 2A cos kx

Анализ выражения A_рез = 2A cos kx

1) если cos kx = 0, то A _рез = 0, т.е. точки среды не колеблются (рис. 1.81). Координаты x = x_узл точек среды, в которых колебания отсутствуют, называются узлами:

(n = 0, 1, 2,...)

2) если cos kx= + 1, то A _рез = А_max, т. е. амплитуда колебаний соответствующих точек среды максимальна (рис. 1.81). Координаты x = х_пучн точек среды, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями:

(n = 0, 1, 2,...)

Из этих формул видно, что расстояние между соседними пучностями и соседними узлами одинаковое и равно l/2. Все точки, лежащие по разные стороны узлов колеблются в противофазе, а все точки, находящиеся между узлами, колеблются в одинаковой фазе.

Рис. 1.81

Интерференция.

Интерференция волн - явления усиления или ослабления амплитуды результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами складывающихся двух или нескольких волн с одинаковыми периодами. Если волны когерентны (волны, имеющие одинаковый период и неизменный сдвиг фаз колебаний в каждой точке), то в пространстве получается устойчивое распространение амплитуд с чередующимися максимумами и минимумами. Для когерентности необходим неизменный сдвиг фаз обеих волн, величина этого сдвига роли не играет.Интерференция волн имеет место для всех волн, независимо от их природы. Пусть в каком-то месте в данный момент сошлись гребни обеих волн, т.е. обе волны пришли сюда в одинаковой фазе.В этой точке получится усиленный подъем воды. Через полпериода T/2 гребни сменятся впадинами, причем у обеих волн одновременно, так как их период одинаков. Поверхность воды сильно опустится. Т.о. в указанном месте будет происходить усиленное колебание. Наоборот, в таком месте где сходятся гребень одной волны со впадиной другой, т.е. где волны проходят в противоположных фазах, колебания взаимно ослабятся. Т.о., существенным для возникновения интерференционной картины является то обстоятельство, что волны, идущие из обоих центров, согласованы между собой: сдвиг фаз между колебаниями обеих волн в каждой данной точке остается все время постоянным.