Основное уравнение гидростатики.

Для получения закона распределения давления по всему объему покоящейся жидкости необходимо проинтегрировать систему уравнений Эйлера по всем трем направлениям (x, y, z), для этого умножим левую и правую части уравнений на соответствующую длину ребра куба и сложим их.

Сумма в скобках выражает изменение давления во всем элементарном объеме, т.е. является полным дифференциалом гидростатического давления

Основное уравнение гидростатики записывается следующим образом:

,

Смысл основного уравнения гидростатики заключается в том, что в любой точке покоящейся жидкости сумма геометрического и пьезометрического напоров остается постоянной. Рассмотрим емкость с покоящейся жидкостью и две точки, одна из которых находится на поверхности жидкости (точка 1), а вторая внутри жидкости (точка 2). Полный напор в этих точках рассматривается относительно плоскости сравнения.

Плоскость сравнения

р0

р1

z1

z0

1 2

Полный напор в точке 1:

Полный напор в точке 2:

Тогда, согласно основному уравнению гидростатики:

=

В точке 2 по сравнению с точкой 1 уменьшился геометрический напор (z₁ < z₀), но возрос пьезометрический напор, так как над ней находится столб жидкости (z₀ - z₁). Тогда:

Из основного уравнения гидростатики следует закон Паскаля: давление, создаваемое в любой точке покоящейся несжимаемой жидкости, передается одинаково всем точкам ее объема.

.

Поскольку величина постоянна, то при изменении величины р₀ на какую-либо величину, ровно настолько же изменится р₁ в любой другой точке жидкости. Выражение может быть представлено как давление на дне сосуда, т.е. , где: Н – высота жидкости в сосуде.

z -	геометрический напор (или нивелирная высота); характеризует потенциальную энергию положения в точке;
-	пьезометрический (статический) напор, т.е. потенциальная энергия давления в точке.

z – представляет собой удельную потенциальную энергию положения данной точки над плоскостью сравнения.

p/ρg – удельная потенциальная энергия в этой точке.

Сумма – это потенциальная энергия единицы объема жидкости.

Т.о., согласно закону, удельная потенциальная энергия во всех точках покоящейся жидкости есть величина постоянная.

Давление на дно сосуда.

. (*)

Поскольку величина постоянна, то при изменении величины р₀ на какую-либо величину, ровно настолько же изменится р₁ в любой другой точке жидкости. Выражение (*) может быть представлено как давление на дне сосуда, т.е.

, где: Н – высота жидкости в сосуде.

Из этого выражения видно, что давление на дне сосуда не зависит от его формы, а лишь от высоты столба жидкости над ним.

Закон Архимеда также вытекает из основного закона гидростатики и гласит: «на тело, погруженное в жидкость, действует направленная вверх сила, равная весу жидкости в погруженном объеме тела».

Техническое приложение основного закона гидростатики:

Сообщающиеся сосуды. Два сообщающихся сосуда заполнены жидкостями с различной плотностью r1 и r2 ( r1 > r2 ). Точка «а» лежит на границе раздела, которая находится в покое тогда, когда давление слева р1 равно давлению справа р2. Учитывая, что давление в обоих сосудах атмосферное, имеем:

paт

paт

r1

r2

а

h2

h1

, или:

, откуда: .

Таким образом, в сообщающихся сосудах высота столба различных жидкостей обратно пропорциональна их плотности.

d1

d2

P

поршни

Гидравлический пресс. Давление, создаваемое левым поршнем, передается на правый поршень и, таким образом, на прессуемое тело. Здесь d₁ и d₂ – диаметры левого и правого поршня соответственно, р – гидроста-тическое давление.

Сила давления на левый поршень,

а сила давления на правый поршень

.

Поскольку d₂ > d₁ , p₂ >p₁, то есть сила давления возрастает пропорционально площади сечения поршня. При этом не нужно забывать, что согласно золотому правилу механики мы выигрываем в силе (p₂ >p₁), но проигрываем в расстоянии, то есть правый поршень перемещается на меньшее расстояние, чем левый.

Дымовая труба является обязательным элементом тепловых установок: печей, котлов, сушилок и т.д. Воздух входит в тепловой агрегат за счет естественной тяги и выбрасывается как отработанный газ через дымовую трубу. Рассмотрим давление в точках «а» и «б».

Р0

Р0

печь

Газ

Воздух

h

;

,

где: р₀ – атмосферное давление;

а

б

r_г , r_в – плотность газа и воздуха, соответственно.

Движущая сила, обусловленная разностью плотностей воздуха и газа Dр = р_б – р_в = h ·g ·(r_в - r_г). Таким образом, в дымовой трубе имеет место не «тяга», а передавливание горячего газа в трубе столбом холодного воздуха.

Сифон используется для перемещения жидкости с верхнего уровня на нижний без использования насоса, т.е. самотеком.

Рассмотрим давление, действующее на точку «а» слева и справа. Обозначим через h₁ и h₂ расстояния от точки «а» до уровней жидкости в нижней и верхней емкостях.

h1

h2

P0

P0

а

.

Отметим, что знак минус обусловлен тем, что столбики жидкости в правом и левом колене стеклянной трубки находятся не над точкой «а», а под ней.

Движущая сила Dр = р_сл – р_спр = r ·g ·(h₂ – h₁).

Таким образом, благодаря разности столбов жидкости (h₂ – h₁) жидкость самопроизвольно перетекает из верхней емкости в нижнюю.

ГИДРОДИНАМИКА.

Изучает движение жидкости и газа.

Внутренняя задача гидродинамики связана с анализом движения жидкости и газа внутри труб и каналов.

Внешняя задача связана с изучением закономерностей обтекания жидкостью или газом различных тел.

Движущей силой при течении жидкости является разность давлений.

При перемещении жидкости разность давлений создается насосами.

Основные характеристики движения жидкости.

1. Скорость и расход.

· Количество жидкости, протекающей через поперечное сечение потока в единицу времени, называется расходом.

Различают объемный [м³/с] и массовый [кг/с] расход.

По сечению трубопровода скорость движения не одинакова.

· Средняя скорость движения потока жидкости – отношение объемного расхода жидкости к площади поперечного сечения.

· Эквивалентный диаметр трубопровода.

При движении жидкости в трубах некруглого сечения используют величину эквивалентного диаметра (d_экв)

d_экв – диаметр гипотетического круглого сечения, у которого отношение площади поперечного сечения к смоченному периметру такое же как и трубопровода некруглого сечения.

· Установившийся поток.

Движение жидкости в трубопроводе является установившемся или стационарным, если скорость частиц жидкости и другие параметры (плотность, температура, давление) не изменяются во времени для каждого сечения потока

Нестационарный поток.

Все величины зависят не только от координат, но и от времени.

Установившиеся условия движения жидкости характерны для непрерывных процессов.

Неустановившееся движение – для периодических процессов, а также возникает кратковременно в периоды пуска и остановки непрерывных процессов.

· Режимы движения жидкости.

Ламинарный режим наблюдается при малых скоростях или высокой вязкости жидкости. При этом жидкость движется параллельными слоями, не смешивающимися друг с другом.

h₂>>h₁

Турбулентный режим – течение жидкости характеризуется вихревым движением потока, в котором присутствуют пульсации и завихрения. Создание турбулентного режима требует больших затрат энергии по сравнению с ламинарным.

Опыты Рейнольдса показали, что переход от ламинарного движения к турбулентному тем легче, чем выше массовая скорость жидкости и длина трубы и чем меньше динамическая вязкость жидкости.

Критерий Рейнольдса:

Величина критерия Рейнольдса определяет режим движения жидкости.

Ламинарный режим ω_ср=0,5ω_max

Турбулентный режим ω_ср=(0,7÷0,9)ω_max

ЛЕКЦИЯ 5

Режим движения жидкости по трубопроводам оказывает первостепенное влияние на процессы тепло- и массопереноса. Необходима высокая турбулизация потока. Независимо от развитости турбулентного режима у стенки трубы турбулентное движение всегда сопровождается ламинарным. И это определяет сопротивления движению жидкости за счет наличия сил трения.

Уравнение неразрывности потока.

Устанавливает общую зависимость между скоростями в потоке жидкости, для которого соблюдается условие сглаженности (неразрывности) движения.

Рассмотрим движение жидкости по трем направлениям.

ОХ: Mx=ρω_xdydzdτ

Mx – количество вещества, зашедшее от х за единицу времени.

OY:

Общее накопление массы вещества в единице объема составит:

В соответствии с законом сохранения массы сумма накоплений в единице объема dV должна быть равна убыли массы в этом объеме за время dτ, т.е.

Полученное выражение представляет собой дифференциальное уравнение неразрывности потока для неустановившегося режима движения.

Уравнение неразрывности выражает закон сохранения массы для неустановившегося и установившегося режима движения.

Представим систему: труба, по которой движется материальный поток (установившийся режим).

В случае одномерного движения вдоль оси X: После умножения на сечение трубопровода F имеем: Тогда:

w ·F =V = const.

Полученное выражение является уравнением расхода, показывающим, что при движении несжимаемой жидкости объемный расход жидкости (V) остается постоянным в любом сечении трубопровода.

Тогда для двух произвольных сечений трубопровода 1 и 2 имеем: w₁F₁=w₂F₂ , а , то есть скорость жидкости в трубопроводе изменяется обратно пропорционально сечению. Когда площадь сечения возрастает, скорость падает, и наоборот.

Полученные уравнения позволяют при заданном режиме движения жидкости рассчитать площадь поперечного сечения

Дифференциальные уравнения Эйлера.

Рассмотрим установившийся поток идеальной жидкости, движущийся через элементарный объем dV=dxdydz

Рассмотрим проекции всех действующих сил на соответствующие оси (смотреть уравнение Эйлера для покоящейся жидкости).

Согласно основному принципу динамики, сумма проекций сил, действующих на движущийся элементарный объем жидкости по трем направлениям, равна произведению массы жидкости на ее ускорение по соответствующим осям.

В итоге:

Полученная система уравнений представляет собой дифференциальные уравнения идеальной жидкости для установившегося режима.

ДУ Навье-Стокса.

Описывают движение реальной вязкой жидкости, в которой помимо сил давления и тяжести действуют и силы трения.

При наличии сил трения имеет место касательная сила и касательное напряжение τ (движение внутреннего трения).

При учете наличия всех сил ДУ Навье-Стокса выглядит следующим образом:

Уравнение Бернулли.

Решение уравнений Эйлера называется уравнением Бернулли.

Разделим правую и левую части на ρ и соответственно умножим на dx, dy, dz.

Складываем правую и левую части с учетом

Разделим обе части на g

z – геометрический напор;

Согласно уравнению Бернулли, сумма статистического и динамического напоров при установившемся движении идеальной жидкости является постоянной, т.е., если по каким-либо причинам изменяется один из напоров, то на ту же величину в сумме изменятся и остальные.

ЛЕКЦИЯ 6.

Уравнение Бернулли является частным случаем закона сохранения энергии и выражает энергетический баланс материального потока для идеальных жидкостей.

Для реальных жидкостей, при их движении по трубопроводу, начинают действовать силы внутреннего трения, обусловленные

· Вязкостью жидкости;

· Режимом движения;

· Силами трения о стенки трубы.

Эти силы оказывают сопротивление движению жидкости – гидравлическое сопротивление. На его преодоление должна расходоваться некоторая часть энергии потока. Поэтому общее количество энергии потока, т.е. сумма потенциальной и кинетической, по длине трубопровода будет снижаться.

(Епот+Ек)₁=(Епот+Ек)₂+Еп

Еп – потерянная энергия.

hпот представляет собой удельную энергию, расходуемую на преодоление гидравлического сопротивления при движении реальной жидкости.

Практические приложения уравнения Бернулли.

1. Определение расхода

V=ωF

ω₁F₁=ω₂F₂

Чтобы найти объемный расход жидкости, необходимо знать скорость и площадь поперечного сечения.

Принципы измерения скорости и расхода жидкости:

· Пневматические трубки (трубка Пито);

· Дроссельные приборы, включающие в себя диафрагму и трубу Вентури.

В трубке Пито-Прандляиспользуется другой принцип измерения. В центре трубопровода помещают две трубки, а и б, соединенные с дифманометром. Размещение трубок в трубопроводе таково, что трубка «а» измеряет статический напор р_ст , а трубка «б» - суммарно статический и скоростной напоры р_ст + р_ск , то есть полный напор.

w

rм

Трубка Пито-Прандля

а

б

Dр

Следовательно, разность уровней в манометре соответствует величине скоростного напора.

.

Отсюда можно выразить максимальную скорость по оси трубопровода:

м/с.

Зная отношение средней по сечению скорости к максимальной по оси находим среднюю скорость: , м/с, а затем объемный расход: , м³/с.

Dp

d1; w1

rср d2; w2

rм

Измерительная диафрагма

Измерительная диафрагмапредставляет собой перегородку в трубопроводе с центральным круглым отверстием. Протекая через отверстие диафрагмы, среда увеличивает свою скорость с w₁ до w₂ . При этом часть статического напора затрачивается на увеличение кинетической энергии по уравнению Бернулли.

Величину Dр можно замерить дифференциальным манометром. Этот манометр измеряет перепад давления Н, который является напором для истечения газа (жидкости) через отверстие диафрагмы. Запишем уравнение Бернулли:

.

Скорость истечения через отверстие:

, м/с ,

где r_м и r_ср - плотность жидкости в манометре и плотность среды соответственно, кг/м³;

a - коэффициент расхода.

Н - разность уровней жидкости в дифманометре, м.

Объемный расход воздуха:

, м/с, где - сечение отверстия в диафрагме, м².

Скорость среды в трубопроводе:

, м/с, где - сечение трубопровода, м².

Истечение жидкостей и газов через отверстия также, как и работа насосов, подчиняется уравнению Бернулли. Из открытого бака происходит истечение жидкости через отверстие в днище диаметром d₀. Высота уровня жидкости в баке Н; этот уровень поддерживается постоянным. Скорость перемещения жидкости в баке и в отверстии соответственно w₁ и w₀ . Запишем уравнение Бернулли в точке «а» и в точке «в» (Р₀ – атмосферное давление):

плоскость сравнения

р0

w0

w1

z1

z2

H

р0

d0

Восполнение

;отсюда:

а

.

в

Поскольку скорость перемещения жидкости в баке можно принять равной нулю (уровень жидкости постоянный), то Откуда скорость истечения из отверстия:

,м/с .

Н – высота жидкости в баке, а в более общем случае – напор истечения. Если бак закрытый и давление в нем р отличается от атмосферного, то в выражении вместо величины Н подставляют величину :

, м .

Если в баке избыточное давление, то величина р – р₀ = р_изб , то есть . Это означает, что скорость истечения возрастает. Если в баке разряжение, то величина (р – р₀) – отрицательная т.к. р < р₀ , то есть . Это означает, что скорость истечения снизится по сравнению с открытым баком, либо жидкость вообще не потечет ( ).

Скорость истечения с учетом местных сопротивлений при выходе жидкости из отверстия

, м/с.

ЛЕКЦИЯ 7.