Первообразная и неопределенный интеграл.

Первообразная и неопределенный интеграл.

Функция называется первообразной для функции на промежутке , конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если справедливо равенство F’(x)=f(x).

В общем случает, если для функции f(x) есть первообразная F(x), для которой выполняется равенство, то f(x) +с так же первообразная для функции f(x), где с – произвольная константа.

Функция вида F(x)+c – семейство первообразных.

(О бесконечном множестве первообразных для функции)

Если функция является первообразной для функции на некотором промежутке, то и функция , где - произвольная постоянная, также будет первообразной для функции на рассматриваемом промежутке.

(Об общем виде первообразной для функции)

Если функции и - две любые первообразные функции , то их разность равна некоторой постоянной, то есть

Теорема 1.Пусть F(x) некоторая первообразная для f(x), тогда все первообразные представлены в виде семейства f(x)+с, где с – константа.

Док-во. Пусть F(x) –первообразная для f(x).

Фи(х)= f(x)

По условию теоремы F(x) так же первообразная f(x)= F(x)

Вычтем: фи(х)- f(x)=0

По св-ву производной:

(фи(х)- f(x))’=0

Следовательно:

фи(х)- f(x)=с

фи(х)- f(x)+с

Следствие: любые две первообразные для одной и той же функции отличаются разве лишь на постоянное число.

Семейство первообразных f(x)+c функции f(x) называют неопределенными интегралами и обозначают значком интеграла.

Теорема 2(без док-ва).

Если f(x) подинтегральная функция непрерывная на некотором промежутке, то для нее существет первообразная и неопределенный интеграл.

Совокупность всех первообразных функции , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . То есть

Знак называется интегралом, - подынтегральным выражением, - подынтегральной функцией, а - переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции называется интегрированием функции . Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

Т. о. с геометрической точки зрения неопределенный интеграл есть семейство интегралов кривых, полученных х в результате сдвига интегральной кривой у= f(x) в направлении оси ОУ вверх/вниз на отрезок произвольной длины с.

Теорема о среднем.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка , такая что .
Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда . Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между mи M. Таким образом, существует точка , такая что .
Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).

Важное следствие

Утверждение:

Пусть — непрерывна на . Тогда на этом отрезке у неё существует неопределённый интеграл.

В силу непрерывности функции на отрезке и теоремы Барроу — одна из первообразных. Значит, неопределённый интеграл существует.

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема (формула Ньютона-Лейбница):

Пусть дифференцируема на , её производная интегрируема на этом же отрезке. Тогда

Доказательство:

Так как — интегрируема, то равен пределу интегральных сумм при любой системе промежуточных точек для . Поэтому, если — разбиение , то . Так как дифференцируема, то, применив для каждого промежутка из разбиения формулу Лагранжа, получим: , следовательно, правая часть стремится к интегралу, левая — постоянна. Значит, в пределе, получаем нужную формулу.

Следствие

Объединяя эту теорему со следствием к теореме Барроу получаем следующий факт:

Утверждение:

Пусть — непрерывна на , — одна из первообразных. Тогда

Формулы

]Вычисление определенного интеграла по частям

Формула Ньютона-Лейбница.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то .
Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b. Окончательно, .
Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от a до b"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .
Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .

Первообразная и неопределенный интеграл.

Функция называется первообразной для функции на промежутке , конечном или бесконечном, если функция дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если справедливо равенство F’(x)=f(x).

В общем случает, если для функции f(x) есть первообразная F(x), для которой выполняется равенство, то f(x) +с так же первообразная для функции f(x), где с – произвольная константа.

Функция вида F(x)+c – семейство первообразных.

(О бесконечном множестве первообразных для функции)

Если функция является первообразной для функции на некотором промежутке, то и функция , где - произвольная постоянная, также будет первообразной для функции на рассматриваемом промежутке.

(Об общем виде первообразной для функции)

Если функции и - две любые первообразные функции , то их разность равна некоторой постоянной, то есть

Теорема 1.Пусть F(x) некоторая первообразная для f(x), тогда все первообразные представлены в виде семейства f(x)+с, где с – константа.

Док-во. Пусть F(x) –первообразная для f(x).

Фи(х)= f(x)

По условию теоремы F(x) так же первообразная f(x)= F(x)

Вычтем: фи(х)- f(x)=0

По св-ву производной:

(фи(х)- f(x))’=0

Следовательно:

фи(х)- f(x)=с

фи(х)- f(x)+с

Следствие: любые две первообразные для одной и той же функции отличаются разве лишь на постоянное число.

Семейство первообразных f(x)+c функции f(x) называют неопределенными интегралами и обозначают значком интеграла.

Теорема 2(без док-ва).

Если f(x) подинтегральная функция непрерывная на некотором промежутке, то для нее существет первообразная и неопределенный интеграл.

Совокупность всех первообразных функции , определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . То есть

Знак называется интегралом, - подынтегральным выражением, - подынтегральной функцией, а - переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции называется интегрированием функции . Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

Т. о. с геометрической точки зрения неопределенный интеграл есть семейство интегралов кривых, полученных х в результате сдвига интегральной кривой у= f(x) в направлении оси ОУ вверх/вниз на отрезок произвольной длины с.