Интегрирование рациональных функций от тригонометрических функций.
Пример 1.Найти неопределенный интеграл
.
Пример 2.Найти неопределенный интеграл
.
Пример 3. Найти неопределенный интеграл
.
Пример 4.Найти неопределенный интеграл
.
Пример 5.Найти неопределенный интеграл
.
Пример 6. Найти неопределенный интеграл 
.
Пример 7. Найти неопределенный интеграл
.
Пример 8. Найти неопределенный интеграл: 
.
Решение: Здесь функция sinxстоит в нечетной степени, поэтому 
;
Пример 9. Найти неопределенный интеграл
Пример 10. Найти неопределенный интеграл
= - 
Пример 11. Найти неопределенный интеграл
= 
.
Интегрирование рациональных функций некоторых иррациональностей
Пример 1. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:
В подынтегральном выражении выделим целую часть: 
,
.
Пример 2. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:Сделаем следующую замену переменных: 
.
Пример 3. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:Замена 
интеграл примет вид 
= 
= 
= 
= 
=
= 
+С= 
= 
+С.
Пример 4. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:Замена 
тогда 
= 
. 
Интеграл примет вид 
=
= 
= 
= 
= 
= 
.
Пример 5. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение:Замена 
Тогда интеграл примет вид 
=
= 
= 
= 
= 
= 
=
= 
.
Определенный интеграл
1.Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы:
1). 
2). 
= 
3). 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
Вычисление определенного интеграла методом замены
1. 
Положим 
Вычислим новые пределы интегрирования
2. 
Положим 
Вычислим новые пределы интегрирования
3. 
Положим 
Вычислим новые пределы интегрирования
4. . Вычислить определенный интеграл : 
.
Решение:Сделаем замену переменных 
. Тогда
.
Найдем новые пределы интегрирования, подставив в формулу вместо x сначала единицу, а затем двойку, получим таблицу для нахождения новых пределов:
 | ||
 |
Итак, 
5. Вычислить определенный интеграл : 
.
Решение:Положив 
, Тогда находим, 
и 
6. Вычислить определенный интеграл:
Решение: Сделаем следующую замену переменных: 
. Тогда 
.
(новые пределы интегрирования были найдены из уравнений: 
7.Вычислить интеграл 
.
Решение: Применим подстановку: 
, 
, если 
, то 
. Следовательно,
.
8.Вычислить интеграл 
.
Решение: Применим подстановку: 
, 
, 
, если 
, то 
.
.
Метод по частям для вычисления определенного интеграла.
1. Вычислить определенный интеграл
Решение. Используем тригонометрическую формулу 
,
получаем интеграл:
2. Вычислим 
методом по частям. Положим
Пример 3.
Вычислить определенный интеграл: 
Решение:В формуле интегрирования по частям положим:
Пример 4.
Вычислить интеграл 
.
Решение: Положим 
, тогда получим:
.
Пример 4. Вычислить интеграл 
.
Решение: Сначала применим подстановку 
,
, 
.
.
Последний интеграл будем интегрировать по частям. Положим
Тогда 
.
Пример 5. Вычислить интеграл: 
Пример 6. Вычислить интеграл: 
