Нахождение промежутков монотонности, экстремумов функции
Правило Лопиталя
Задача 1.Вычислить 
.
Решение: 
.
Задача 2.Вычислить 
.
Решение:
.
Задача 3. Вычислить 
.
Решение:
Ясно, что рассматриваемый предел представляет собой неопределенность типа 
. Логарифмируем выражение 
, получаем 
.
С учетом последнего равенства находим
= 
0.
Воспользовавшись непрерывностью функции 
на вcей естественной области определения, получим: 
. Отсюда 
=1.
Следовательно, 
=1.
Найти значения пределов:
№1
№2 
№3. 
№4. 
Перепишем данное выражение в виде 
.
№5 
.
№6. 
. В этом случае применение правила Лопиталя ошибочно, лучше сделать преобразования 
, т.к. 
№7. 
.
№8. 
.
№9. 
.
№10. 
.
№11. 
или 
.
№12. 
.
№13. 
.
№14. 
.
№15. 
.
№ 16. 
предел первого множителя 
предел второго множителя: 
Таким образом, искомый предел равен 
.
№17. 
=(логарифмируем заданную функцию, применяем свойство степени, получаем)= 
.
№18
№19. 
Нахождение промежутков монотонности, экстремумов функции
Пример: Исследовать на максимум и минимум функцию.
а) 
.
1. Область определения функции D(y)=R.
2. 
.
Критические точки: 
. 
, 
Þ 
, 
.
3. 
.
| x | x=-1 | x=3 |
 | -12 | |
 | max y(-1)=12 | min y(3)=-20 |
б) 
.
1. Область определения функции D(y)=R.
2. 
.
Критические точки: 
. 
Þ 
.
3. 
.
| x | (-∞;0) | x=0 | (0;+∞) |
| | |||
 | + | – | |
| | возрастает | max y(0)=1 | возрастает |
в) Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума:
а) 
.
1. Область определения функции D(y)=R.
2. 
.
Критические точки: 
. 
, 
Þ 
, 
, 
.
| x | (-∞;-1) | x=-1 | (-1;0) | x=0 | (0;2) | x=2 | (3;+∞) |
 | – | + | – | + | |||
 | убывает | min y(-1)=-3 | возрастает | max y(0)=2 | убывает | min y(2)=-30 | возрастает |
б) 
.
1. Область определения функции D(y): x¹0.
2. 
;
.
Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ ;
– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ .
| x | (-∞;0) | x=0 | (0;2) | x=2 | (2;+∞) |
| | – | не существует | + | − | |
| | убывает | не существует | возрастает | max y(2)=0,25 | убывает |
Найти интервалы монотонности функции 
Решение. Имеем 
. Очевидно 
при 
и 
при 
, т.е. функция убывает на интервале 
и возрастает на интервале 
, где . 
— абсцисса вершины параболы.
Заметим, что необходимое условие монотонности более слабое. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке . 
, то можно лишь утверждать, что производная неотрицательна (неположительна) на этом промежутке: 
( 
) т.е. в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю.
Пример. Найти интервалы монотонности функции 
Решение. Найдем производную 
. Очевидно, что 
, при 
. При 
производная обращается в нуль. Функция же монотонно возрастает на всей числовой оси.
Исследовать на экстремум функцию 
Решение. 1°. Производная функции 
2°. Приравнивая производную к нулю, находим критические
точки функции 
. (Точек, в которых производная не
существует, у данной функции нет —функция определена на всей числовой оси).
3°.
Нанесем критические точки на числовую прямую.
Для определения знака производной слева и справа от критической точки 
выберем значения, например, 
и найдем и 
; следовательно, 
при всех 
на интервале 
. Аналогично устанавливаем, что 
и на интервале 
Согласно достаточному условию — точка минимума
данной функции. В точке х= 1 экстремума нет.
4°. Находим 
►
Решение задач
1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
, 
.
Решение:
;
.
Критические точки:
, т.е. числитель равен нулю Þ 
; 
, 
.
– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ 
.
, 
, 
.
Найдем значения функции в точке и на концах отрезка:
;
;
.
Наибольшее значение функции равно 
при 
;
Наименьшее значение функции равно 
при .
Пример. Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение.
1) Функция определена и непрерывна на всей оси. Итак, 
.
2) Найдем точки пересечения с осями координат.
а) с осью ОХ: 
, 
.
Следовательно, точки пересечения с осью ОХ - 
, 
, 
, 
;
б) с осью ОY: 
.
Следовательно, точка пересечения с осью ОY - 
.
3) Функция четная, так как 
(поэтому ее график будет симметричен относительно оси OY).
Функция непериодическая.
4) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции.
Имеем 
=0. Следовательно, точки 
, 
, 
будут подозрительными на экстремум. Разбиваем всю область определения на промежутки 
, 
, 
, 
и исследуем функцию для 
. Информация о поведении функции на интервале 
необходима для анализа функции в точке 
. По знаку производной определяем монотонность функции на каждом промежутке. Результаты исследований заносим в таблицу:
 | | |  |  |  |
 |  |  |  | |  |
 | Возрастает |  | Убывает |  | Возрастает |
5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную:
.Находим точки, в которых 
или 
не существует.
при 
.
Исследуем знак второй производной на промежутках 
, 
, 
и результаты исследований представим в таблице:
| |  |  |  |  |  |
 | | | | | |
 | Выпукла | Перегиб | Вогнута | Перегиб | Выпукла |
6) Вертикальных асимптот нет, поскольку область определения функции – вся числовая ось.
Найдем наклонную асимптоту 
:
= 
.
Следовательно, наклонных асимптот нет.
7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис.1).
Рис. 1
Пример. Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение.
1) Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точки 
. Итак, 
.
2) Найдем точки пересечения с осями координат.
а) с осью ОХ: 
.
Следовательно, точка пересечения с осью ОХ - 
.
б) с осью ОY: 
.
Следовательно, точка пересечения с осью ОY - .
3) Функция общего вида, так как 
.
Функция непериодическая.
4) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции.
Имеем 
.
Следовательно, точка 
будет подозрительной на экстремум. Точка 
, в которой производная не существует, но в этой точке не существует и функция. Разбиваем всю область определения на промежутки 
, 
, 
и исследуем функцию на указанных интервалах. По знаку производной определяем монотонность функции на каждом промежутке. Результаты исследований заносим в таблицу:
| | |  | |  | |
| | | |  | нет |  |
| | Убывает |  | Возрастает | нет | Убывает |
5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную:
.
Находим точки, в которых или не существует: при 
, не существует при 
.Исследуем знак второй производной на промежутках 
, 
, 
и результаты исследований представим в таблице:
 |  |  |  |  |  |
| |  |  | | нет | |
 | Вогнута | Перегиб | Выпукла | нет | Выпукла |
6) Найдем вертикальные асимптоты:
Исследуем поведение функции в окрестности точки 
:
; 
.
Пределы не конечны, следовательно, вертикальная асимптота имеет вид: .
Найдем наклонную асимптоту :
;
.
Следовательно, наклонная асимптота: 
.
7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис.2).
Рис. 2
Замена переменных
1) 
Положим 
. Продифференцируем обе части полученного равенства 
; 
Тогда 
2) 
. Положим 
. Продифференцируем обе части полученного равенства ;
3) 
Положим 
. Продифференцируем обе части полученного равенства 
; 
;
4) 
; Положим 
. Продифференцируем обе части полученного равенства 
; 
5) 
. Положим 
. Продифференцируем обе части полученного равенства 
; 
6) 
. Положим 
. Продифференцируем обе части полученного равенства 
;
7) 
Так как 
, то 
или:
8) 
Положим 
. Тогда 
Так как 
, то
9) 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
.
10) 
= 
= 
11) 
.
12) 
.
Определенный интеграл
1.Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы:
1). 
2). 
= 
3). 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
Частные производные.
Задача 1.Найти частные производные от функций:
а) 
.
Решение. Частную производную 
находим как производную функции 
по аргументу 
в предположении, что 
. Поэтому,
Аналогично,
б) 
в) 
г) 
Пример 2
. Показать, что 
.
Пример 3
. Показать, что 
.
Экстремум функции
Дана функция 
.
а) исследовать функцию на экстремум;
Решение. а) Найдем стационарные точки функции из системы уравнений: 
Следовательно,
Точка 
- стационарная точка функции. Вычислим значения частных производных второго порядка в точке 
.
Составим дискриминант 
. Так как 
, то экстремум есть, так как 
, то - точка минимума.
Решение.
1.Для решение задачи воспользуемся формулой для нахождения производной от функции 
в заданной точке 
по направлению вектора 
:
,
где 
, 
- направляющие косинусы вектора 
, которые вычисляются по формулам: 
, 
.
По условиям задачи вектор имеет координаты 
, 
. Тогда его длина равна: 
.
Следовательно, для направляющих косинусов вектора получим следующие значения: 
, 
.
Для решения задачи необходимо найти все частные производные первого порядка от функции 
:
Вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке 
В заключении подставим полученные значения для направляющих косинусов вектора и значения частных производных первого порядка от функции z в точке 
в формулу производной по направлению в заданной точке:
2. 
Правило Лопиталя
Задача 1.Вычислить .
Решение: .
Задача 2.Вычислить .
Решение:
.
Задача 3. Вычислить .
Решение:
Ясно, что рассматриваемый предел представляет собой неопределенность типа . Логарифмируем выражение , получаем .
С учетом последнего равенства находим
= 0.
Воспользовавшись непрерывностью функции на вcей естественной области определения, получим: . Отсюда =1.
Следовательно, =1.
Найти значения пределов:
№1
№2
№3.
№4. Перепишем данное выражение в виде .
№5 .
№6. . В этом случае применение правила Лопиталя ошибочно, лучше сделать преобразования , т.к.
№7. .
№8. .
№9. .
№10. .
№11.
или .
№12. .
№13. .
№14. .
№15. .
№ 16.
предел первого множителя
предел второго множителя: Таким образом, искомый предел равен .
№17. =(логарифмируем заданную функцию, применяем свойство степени, получаем)= .
№18
№19.
Нахождение промежутков монотонности, экстремумов функции
Пример: Исследовать на максимум и минимум функцию.
а) .
1. Область определения функции D(y)=R.
2. .
Критические точки: . , Þ , .
3. .
| x | x=-1 | x=3 |
| | -12 | |
| | max y(-1)=12 | min y(3)=-20 |
б) .
1. Область определения функции D(y)=R.
2. .
Критические точки: . Þ .
3. .
| x | (-∞;0) | x=0 | (0;+∞) |
| | Наши рекомендации |