Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода.

Сравнив формулы (13.9) и (13.1), увидим, что поверхностный интеграл 2-го рода представляет собой поток векторного поля Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru через выбранную сторону поверхности S. При этом из формулы (13.9) следует, что поток можно задать и в виде поверхностного интеграла 1-го рода вида (13.5).

40. Поток векторного поля. Вывод формулы для его исчесления.

Пусть векторное поле образовано вектором Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru .

Рис. 29
Для наглядности будем считать Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru - вектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность S находиться в этом потоке и пропускает жидкость. Требуется вычислить, какое количество жидкости протекает через поверхность S (рис. 29).

Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности S.

Потоком вектора Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru через поверхность S называется интеграл П= Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru - (этот интеграл ещё называют поверхностным интегралом II-го рода, Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru - скалярное произведение)

Поток П вектора Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru есть скалярная величина, равная объему жидкости, которая протекает через поверхность S за единицу времени. В общем случае, поток поля вектора Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru пропорционален числу векторных линий, пронизывающих поверхность.

Т.О. если мы рассматриваем графическое изображение векторного поля, то можно судить о величине потока через одинаковые площадки по густоте векторных линий – там, где линии расположены ближе друг к другу, там больше и величина потока.

Рис. 30
Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объём V (рис. 30). Тогда поток вектора записывается в виде П= Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru . Если векторное поле Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru - поле скоростей текущей жидкости, то величина потока П через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V и втекающей в неё за единицу времени.

Если П>0, то из области V вытекает больше жидкости, чем в неё втекает. Это значит, что внутри области имеются дополнительные источники. Если П<0, то внутри области V имеются стоки, поглощающие жидкость.

Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru Можно сказать, что источники – точки, откуда векторные линии начинаются, а стоки – точки, где векторные линии кончаются. Так в электростатическом поле источником является положительный заряд, стоком отрицательный заряд магнита (рис. 31).

Рис. 31
Если П=0, то из области V вытекает столько же жидкости, сколько в неё втекает в единицу времени; внутри области либо нет ни источников ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно компенсируется.

41. Формула Остроградского – Гаусса

Если функции Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru дифференцируемы в замкнутой области Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru , ограниченной кусочно-гладкой поверхностью Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru , то имеет место формула Остроградского-Гаусса

Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru ,

где выбрана внешняя сторона поверхности Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru .

Для векторного поля Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru в области Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru существует дивергенция, вычисляемая по формуле

Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru

в любой точке Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru .

Тогда формула Остроградского-Гаусса в векторной форме имеет вид

Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru .

Теорема. Поток вектора Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru через внешнюю сторону замкнутой поверхности Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru равен тройному интегралу от дивергенции Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru по области Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru , ограниченной поверхностью Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru .

Следствие 1.Если для векторного поля Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru дивергенция равна нуль, т.е. Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru , то поток вектора Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Следствие 2. Пусть в точке Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru имеется изолированный источник или сток, т.е. Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru всюду в поле, кроме самой точки Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru . Тогда поток вектора Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru через замкнутую поверхность Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru , содержащую внутри себя точку Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru , не зависит от формы поверхности.


42. Дивергенция векторного поля, ее свойства. Соленоидальные векторные поля.

Дивергенция - численная характеристика плотности источника или стока поля в данной точке.

Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru - предел отношения потока поля через некоторую замкнутую поверхность к объёму, ограниченному этой поверхностью, когда поверхность S (рис. 30) стягивается в точку М, называется дивергенцией поля в точке М.

Если Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru то в точке М иметься источник поля плотности Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru

Если Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru то в точке М сток плотности Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru

Если Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru то в точке М нет источников и нет стоков.

Дивергенция характеризирует мощность (интенсивность) источника или стока.

Формула для вычисления дивергенции:

Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru

Соленоидальное поле.

Поле вектора Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru называется соленоидальным или трубчатым, если во всех его точках дивергенция поля равно нулю: div Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru =0 (нет источников и стоков).

Отличительная особенность соленоидального поля состоит в том, что в таком поле векторные линии нигде не кончаются и нигде не начинаются. Они уходят в бесконечность или замыкаются. Поле электрической напряженности точечного заряда является соленоидальным, векторными линиями являются лучи, выходящие из точки размещения заряда и уходящие в бесконечность.

В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю, а поток соленоидального поля через любое поперечное сечение векторной трубки имеет одно и то же значение, называющееся интенсивностью трубки.

43. Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла. Формулировка теоремы Стокса

Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция

Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru

с непрерывными частными производными первого порядка Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru . Тогда справедлива формула Грина

Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru Если Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru , то формула Грина принимает вид

Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru

где S − это площадь области R, ограниченной контуром C. Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля. Пусть векторное поле описывается функцией

Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru

Ротором или вихрем векторного поля Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru называется вектор, обозначаемый Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru или Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru и равный

Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru

Формула Грина в векторной форме записывается в виде

Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода. - student2.ru 18)

Наши рекомендации