Реинвестирование по простым процентам

Простые проценты

В практических финансовых и коммерческих операциях суммы де­нег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответст­вующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат.

Фактор времени играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета фактора времени определяется принципом неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Дело в том, что даже в условиях отсутствия инфляции и риска 1 млн. руб., полу­ченных через год, не равноценен этой же сумме, поступившей сегодня. Неравноценность определяется тем, что теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход. Поступившие доходы в свою очередь могут быть реинвестированы и т.д. Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее цен­ны, чем современные.

Очевидным следствием принципа «неравноценности» является не­правомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени. Подобного рода суммирование допустимо лишь там, где фактор времени не имеет значения - например, в бухучете (для полу­чения итогов по периодам) и в финансовом контроле.

В финансовых вычислениях фактор времени обязательно учитывает­ся в качестве одного из важнейших элементов. Его учет осуществляется с помощью начисления процентов.

2.1.1. Проценты и процентные ставки. Под процентными день­гами или, кратко, процентами в финансовых расчетах понимают абсо­лютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме (предоставление денежной ссуды, продажа в кредит, помещение денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигаций и т.д.).

При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки - от­ношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный от­резок времени, к величине ссуды. Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления. Ставка измеряется в процентах, в виде десятичной или обыкновенной дроби. В последнем слу­чае она фиксируется в контрактах с точностью до 1/16 или даже 1/32.

Проценты либо выплачиваются кредитору по мере их начисления, либо присоединяются к сумме долга. Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением или ростом первоначальной суммы.

В практике существуют различные способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют различные виды процентных ставок. Одно из основных отличий связано с выбором исходной базы (суммы) для начисления процентов. Ставки процентов мо­гут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процен­тами. В первом случае они называются простыми, а во втором - сложны­ми процентными ставками.

Процентные ставки могут быть постоянными (фиксированными) или переменными (“плавающими”). В первом случае размер фиксиро­ванной ставки однозначно указывается в контракте. Во втором - указыва­ется изменяющаяся во времени базовая ставка (база) и размер надбавки к ней (маржи). Примером базовой ставки может служить лондонская меж­банковская ставка ЛИБОР (LIBOR - London interbank offered rate) или мос­ковская межбанковская ставка МИБОР. Размер маржи определяется целым рядом условий (сроком ссудной операции и т.д.). Судя по мировой практи­ке, он обычно находится в пределах 0,5-5%. В контракте может использо­ваться и переменный во времени размер маржи.

Рассмотрим методы анализа сделок, в которых предусматриваются разовые платежи при выдаче и погашении кредита или депозита. Задачи такого анализа сводятся к расчету наращенной суммы, суммы процентов и размера дисконта, современной величины (текущей стоимости) платежа, который будет произведен в будущем.

• Денежные ресурсы, участвующие в финансовой операции, имеют временную ценность: одна и та же сумма денег неравно­ценна в разные периоды. Учет временного фактора в финансо­вых операциях осуществляется путем начисления процентов или дисконтирования.

• Для сопоставления в пространственно-временном аспекте результатов финансовой операции используют показатель, на­зываемый ставкой и определяемый отношением процентных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени (обычно за год), к некоторому базовому капиталу. Это отношение выража­ется в десятичных дробях или в процентах.

• Процентная ставка определяется отношением процентных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени (обычно за год), к величине исходного капитала.

• Учетная ставка определяется отношением процентных де­нег, уплаченных (полученных) за единицу времени (обычно за год), к ожидаемой к получению (возвращаемой) сумме денеж­ных средств.

•Эффективность любой финансовой операции может быть охарактеризована ставкой.

•Удобной и наглядной характеристикой (особенно при оценке вклада) является индекс роста суммы за данный период, показывающий, во сколько раз выросла величина капитала по отношению к величине капитала в конце предыдущего периода.

• Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка, в фи­нансовых вычислениях называется процессом наращения, иско­вая величина называется наращенной суммой, а ставка - став­кой наращения.

• Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к полу­чению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина называется приведенной суммой, а ставка - ставкой дисконтирования.

• В качестве ставки наращения или дисконтирования может выступать как процентная, так и учетная ставка.

• Часто используемые в формулах обозначения: r (d) – годовая процентная (учетная) ставка (в десятичных дробях); r^(m) (d^(m)) номинальная годовая процентная (учетная) ставка (в десятичных дро­бях, индекс m указывает, сколько раз в течение года происходит на­ращение или дисконтирование); n, l - продолжительность финансовой операции в годах; t - продолжительность финансовой операции в днях; Т - количество дней в году, Р - первоначальный капитал; F - наращенный капитал; F_n - наращенный капитал за n лет.

Процентная ставка:

где PV – представляемая в долг сумма;

FV – возвращаемая сумма.

Учетная ставка:

Сравнение ставки наращения и учетной ставки.Операции наращения и дисконтирования по своей сути противоположны, но ставка наращения и учетная ставка могут использоваться для решения обеих задач. В этом случае, в зависимости от применяемой ставки, можно различать прямую и обратную задачи.

Обе ставки взаимосвязаны, т.е. зная один показатель, можно рассчитать другой:

или .

Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения. Из определения показателей следует, что r_t ≥0 и 0≤d_t ≤1. Случай r_t =0 и d_t = 0 не рассматривается, так как тогда FV=PV.

Степень расхождения между r_t и d_t зависит от уровня процентных ставок, имеющих место в конкретный момент времени.

Часто используют величину, называемую дисконт-фактором (discount-factor):

Показывает, какую часть сумма PV составляет в сумме FV.

d_t= ν_tr_t

Дисконт-фактор может выражаться в процентах.

При оценке вклада применяется индекс роста B_t суммы PV за время t:

выражается в %.

Индекс роста показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма за время t.

Проценты «на 100», «со 100», «во 100».

Число, равное сумме начального числа и начисленных на него процентов, называется наращенным числом. Проценты по отношению к наращенному числу называются процентами «на 100», а проценты по отношению к начальному числу называются процентами «со 100». Проценты «на 100» находят в задачах следующего типа: даны ставка процента и сумма двух слагаемых, одно из которых представляет собой проценты «со 100» другого; требуется найти одно из слагаемых.

Число, равное разности между начальным числом и начисленными на него процентами, называется уменьшенным числом. Проценты по отношению к уменьшенному числу называются процентами «во 100». Проценты «во 100» находят в задачах следующего типа: даны ставка процента и разность двух слагаемых, одно из которых (вычитаемое) представляет собой проценты «со 100» другого; требуется найти одно из слагаемых.

Формула вычисления процентов «со 100»:

Формула вычисления процентов «на 100»:

Формула вычисления процентов «во 100»:

2.1.2. Формула наращения по простым процентам. Под наращен­ной суммой ссуды (долга, депозита, других видов инвестированных средств) понимается первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.

Пусть P - первоначальная сумма денег, i - ставка простых процентов (ниже она выражена в долях, в частности десятичных, первоначальной суммы). Начисленные проценты за один период равны Pi, а за n периодов - Pni.

Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процен­тами описывается арифметической прогрессией, членами которой являют­ся величины

P, P+Pi=P(I+i), P(I+i)+Pi=P(I+2i) и т.д. до P(1+ni).

Первый член этой прогрессии равен P, разность Pi, а последний член, оп­ределяемый как

S=P(I+ni), (2.1)

является наращенной суммой (суммой, наращенной к концу n-го проме­жутка начисления). Формула (2.1) называется формулой наращения по простым процентам или, кратко, формулой простых процентов. Мно­житель (I+ni) является множителем наращения. Он показывает во сколь­ко раз наращенная сумма больше первоначальной суммы. Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы P и суммы процентов I (процентных денег)

S=P+I, (2.2)

где

I=Pni. (2.3)

Процесс роста суммы долга по простым процентам можно предста­вить графически (см. Рис. 2.1). При начислении простых процентов по ставке i за базу берется первоначальная сумма долга - точка P на оси OS.

Рис. 2.1. Наращение по простой процентной ставке

Полагая, что формула (2.1), выведенная для целых п, справедлива для любых нецелых промежутков начисления t, получаем линейный рост нара­щенной суммы S со временем.

Пример. Рассчитаем проценты и сумму накопленного долга, ес­ли ссуда равна 100000 руб., срок долга 1,5 года при ставке простых про­центов, равной 15% годовых.

Решение. По формулам (2.2) и (2.3) находим

I = 100000x1,5x0,15 = 22500 руб. - проценты за 1,5 года

S = 100000+22500 = 122500 руб. - наращенная сумма.

2.1.3. Практика начисления простых процентов. Ставка процен­тов обычно устанавливается в расчете за год, поэтому при продолжитель­ности ссуды менее года необходимо выяснить какая часть процента упла­чивается кредитору. Для этого величину п выражают в виде дроби

n=t/K, (2.4)

где п - срок ссуды (измеренный в долях года),

K - число дней в году (временная база),

t - срок операции (ссуды) в днях.

Здесь возможно несколько вариантов расчета процентов, различаю­щихся выбором временной базы K и способом измерения срока пользова­ния ссудой.

Часто за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). В этом случае говорят, что вы­числяют обыкновенный или коммерческий процент. В отличие от него точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366.

Расчет числа дней пользования ссудой также может быть точным или приближенным. В первом случае вычисляется фактическое число дней между двумя датами, во втором - продолжительность ссуды опреде­ляется числом месяцев и дней ссуды, при этом продолжительность всех месяцев приближенно полагается равной 30 дням. В обоих случаях дата выдачи и дата погашения долга считается за один день.

Комбинируя различные варианты временной базы и методов подсче­та дней ссуды, получаем три варианта расчета процентов, применяемые в практике:

а) точные проценты с точным числом дней ссуды (схема 365/365, британская практика);

б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (схема 365/360, французская практика);

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (схема 360/360, германская практика).

Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерени­ем времени ссуды не применяется.

Пример. Ссуда размером 1000000 руб., выдана 21 января 2001 г. до 3 марта 2001 г. при ставке простых процентов, равной 20% годовых. Найти: а) точные проценты с точным числом дней ссуды;

б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение. Используя формулы (2.3) и (2.4)

n=t/K и I=Pni = Pit / K,

получим:

а) K = 365, t = 41, I= 1000000x0.2x41/365 = 22465,75 руб.

б) K = 360, t = 41, I= 1000000x0.2x41/360 = 22777,78 руб.

в) K = 360, t = 43, I= 1000000x0.2x43/360 = 23888,89 руб.

2.1.4. Простые переменные ставки. Как известно, процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных согла­шениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид

S = Px(I+n₁i₁+n₂i₂+...) = P(I+∑n_ti_t), (2.5)

где P - первоначальная сумма (ссуда),

i_t - ставка простых процентов в периоде с номером t,

n_t - продолжительность периода с номером t, т.е. периода начисления по ставке i_t.

Пример. Пусть в договоре, рассчитанном на год, принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 10% годовых, а на каж­дый последующий на 1% меньше, чем в предыдущий. Определим множи­тель наращения за весь срок договора

1 + ∑ n_ti_t = 1+0,25x0,10+0,25x0,09+025x0,08+0,25x0,07 =1,085.

_t=1

Реинвестирование по простым процентам

Сумма депозита, полученная в конце обозначенного периода вместе с начисленными на нее процентами, может быть вновь инвестирована, хотя, скорее всего, и под другую процентную ставку, и этот процесс реинвестирования иногда повторяется неоднократно в пределах расчетного срока N. Тогда в случае многократного инвестирования в краткосрочные депозиты и применения простой процентной ставки наращенная сумма для всего срока N вычисляется находится по формуле

S = P(1+n₁i₁)(1+n₂i₂) …. = ,

где n₁, n₂,..., n_m- продолжительности последовательных периодов реинвестирования,

,

i₁, i₂,..., i_m - ставки, по которым производится реинвестирование.

2.1.5. Дисконтирование и учет по простым ставкам. В практике часто приходится решать задачу обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу финансовой операции, требу­ется найти исходную сумму P. Расчет P по S называется дисконтировани­ем суммы S. Величину P, найденную дисконтированием, называют совре­менной величиной (текущей стоимостью) суммы S. Проценты в виде разности D = S - P называются дисконтом или скидкой. Процесс начисле­ния и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называют учетом.

Таким образом, в практике используются два принципа расчета про­центов: (1) путем наращения суммы ссуды и (2) вычислением скидки с конечной суммы долга.

Величина P эквивалентна сумме S в том смысле, что через опреде­ленный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной S. Поэтому операцию дисконтирования называ­ют также приведением. Но понятие приведения шире, чем дисконтирова­ние. Приведение - это определение любой стоимостной величины на не­который момент времени. Если некоторая сумма приводится к более ран­ней дате, чем текущая, то применяется дисконтирование, если же речь идет о более поздней дате, то - наращение.

Известны два вида дисконтирования: математическое дисконтиро­вание и банковский (коммерческий) учет.

Математическое дисконтирование. Этот вид дисконтирования представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче

S=P(1+ni),

то в обратной

P = S/(1 + ni) (2.6)

Дробь в правой части равенства (2.6) при величине S называется дисконт­ным множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконт суммы S равен

D = S -P. (2.7)

Пример. Через 90 дней после подписания договора, должник уп­латит 1000000 рублей. Кредит выдан под 20 % годовых (проценты обык­новенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение. Применяя формулы (2.6) и (2.7), получим

P = S/(I + ni) = 1000000 / (1+0.20x90/360) = 952380,95 руб

D = S - P = 1000000 - 952380,95 = 47619,05 руб.

Банковский или коммерческий учет. Операция учета (учета вексе­лей) заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являю­щегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть вы­плачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дискон­том.

Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка, которую мы обозначим символом d.

По определению, простая годовая учетная ставка находится как

d = (S- P)/ Sn (2.8)

Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен

D = Snd, (2.9)

откуда

P = S-D = S-Snd = S(I-nd). (2.10)

Множитель (1-nd) называется дисконтным множителем. Срок n из­меряет период времени от момента учета векселя до даты его погашения в годах. Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при условии, что год равен 360 дням.

Пример. Через 90 дней предприятие должно получить по вексе­лю 1000000 рублей. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель учетной ставке 20% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт?

Решение. Используем формулы (2.9) и (2.10):

D = Snd = 1000000x0.2x90/360 = 50000 руб.

P = S - D = 1000000 - 50000 = 950000 руб.

Наращение по учетной ставке.Учетная ставка может использоваться для наращения, т.е. для расчета S по P. В этом случае из формулы (2.10) следует, что

. (11)

Совмещение начисления процентов по ставке наращения и дисконтирования по учетной ставке. В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, предусматривающее начисление простых процентов на первоначальную сумму долга, необходимо решить две задачи: (1) определить конечную сумму долга на момент его погашения; (2) рассчитать сумму, получаемую при учете, путем дисконтирования конечной суммы долга, применяя учетную ставку, действующую в момент учета.

Решение двух этих задач можно записать в виде одной формулы, содержащей наращение по ставке простых процентов, фигурирующей в долговом обязательстве, и дисконтирование по учетной ставке:

P₂=P₁(1+n₁i)(1-n₂d),

где P₁ - первоначальная сумма ссуды,

P₂ - сумма, получаемая при учете обязательства,

n₁ - общий срок платежного обязательства, в течение которого начисляются проценты,

n₂ - срок от момента учета до погашения долга.

Пример.Платежное обязательство уплатить через 100 дней 2 млн. руб. с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i=20% годовых, было учтено за 40 дней до срока погашения по учетной ставке d=15%. Требуется определить сумму, получаемую при учете.

Решение.

млн. руб.

Отметим, что при наращении здесь использовалась временная база 365 дней, а при дисконтировании - 360.

Определение продолжительности ссуды. Иногда задача ставится таким образом, что требуется найти временной интервал, за который исходная сумма при заданной ставке процентов вырастет до нужной величины, или срок, обеспечивающий определенный дисконт с заданной величины. Другими словами, речь идет о решении формул (1) и (10) относительно n.

При использовании простой ставки наращения i из (1) получаем

, (12)

а при учетной ставке d из (10) имеем

. (13)

Формулы (12) и (13) дают срок, измеряемый в годах, но простые ставки в основном используются в краткосрочных операциях, когда срок исчисляется днями. В этом случае срок финансовой операции в днях выражается как

t=nK, (14)

где K - временная база.

Определение уровня процентной ставки.Уровень процентной ставки может служить мерой доходности операции, критерием сопоставления альтернатив и выбора наиболее выгодных условий. Из тех же формул (1) и (10) получаем ставку наращения i и учетную ставку d

(15)

(16)

где использовалось соотношение (14). Напомним, что срок n в двух формулах имеет разный смысл: в первом случае это весь срок операции, а во втором - оставшийся срок до погашения.

Пример.Определить доходность операции для кредитора, если им предоставлена ссуда в размере 2 млн. руб. на 100 дней и контракт предусматривает сумму погашения долга 2,5 млн. руб. Доходность выразить в виде простой ставки процентов i и учетной ставки d. Временную базу принять равной K=360 дней.

Решение.

, т.е. 90%,

т.е. 72%.

Иногда размер дисконта в контрактах фиксируется за весь срок ссуды в виде доли (или процента) от суммы погасительного платежа. Таким образом, уровень процентной ставки здесь задается в неявном виде. Но нетрудно вывести формулы, с помощью которых значения этих ставок можно вычислить.

Пусть S - размер погасительного платежа, d_n - доля этого платежа, определяющая величину дисконта за весь срок ссуды n. Требуется определить каким уровням годовых ставок i и d эквивалентны такие условия.

Итак, S - сумма возврата в конце срока ссуды, P=S(1-d_n) - реально выдаваемая ссуда в момент заключения договора.

(17)

(18)

Пример.Кредитор и заемщик договорились, что из суммы кредита, выданного на 200 дней, сразу удерживается дисконт в размере 25% указанной суммы. Требуется определить цену кредита в виде простой годовой учетной ставки d и годовой ставки простых процентов i. Считать временную базу K равной 365 дням.

Решение.

т.е. 45,625%,

т.е. 60,833%.