Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход (т.е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачиваются, а присоединяются к денежной сумме, имеющей на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.

Пусть

iс ― относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;

kн.с ― коэффициент наращения в случае сложных процентов;

j ― номинальная ставка сложных ссудных процентов (её определение будет дано в дальнейшем).

Если за интервал начисления принимается год, то по прошествии первого года наращенная сумма в соответствии первого года наращенная сумма в соответствии с формулой (1.7), составит

S1 = P (1 + iс).

Еще через год это выражение применяется уже к сумме S :

S2 = S1 ( 1+ iс) = P (1+ iс )²

и так далее. Очевидно, что по прошествии nлет наращенная сумма составит

S = P (1+iс) . (3.1)

Множитель наращения kн.с соответственно будет равен

kн.с = (1+iс) . (3.2)

При начислении простых процентов он составил бы по формулам (1.5) и (1.7):

kн= (1+n∙i).

Сравнивая два последних выражения для коэффициентов наращения, можно видеть, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Эту разницу можно наглядно представить с помощью графиков, изображенных на рис 1. Здесь, как и на всех последующих рисунках, по горизонтальной оси откладываются годы, по вертикальной – тысячи рублей. Первоначальная сумма составляет 1000 руб., процентная ставка – 30% годовых. Верхняя линия соответствует наращению денежной массы в случае применения сложной процентной ставки. Она представляет собой пример экспоненциального роста (чем больше n, тем круче кривая уходит вверх), в то время как нижняя линия (соответствующая случаю простых процентов) является прямой с очень небольшим углом наклона.

Поэтому, когда возникает возможность выбора между низкой сложной процентной ставкой и более высокой простой, следует отдавать предпочтение первому варианту. Естественно, если в нашем распоряжении более или менее значительный период времени. Сумма, наращенная по сложной процентной ставке, уже через небольшое (в зависимости от разницы в величине процентных ставок) количество интервалов начисления превысит сумму. Наращенную по простой ставке (см. рис. 1 в приложении).

Если срок ссуды n в годах не является целым числом, множитель наращения определяют по выражению:

kн.с = (1 + ic) (1 + nb∙ ic), (3.3)

где n = na+ nb;

na ― целое число лет;

nb ― оставшаяся дробная часть года.

На практике в данном случае часто предпочитают пользоваться формулой (3.1) с соответствующим нецелым показателем степени. Но нужно иметь в виду, что с точки зрения сущности начисления процентов этот способ является приблизительным, и погрешность при вычислении будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин. Наибольшее расхождение мы получим при nb = ½ , как раз в том случае, когда очень удобно применить формулу (3.1), ведь на всех калькуляторах есть операция извлечения квадратного корня (т.е. возведения в степень1/2). Следует учитывать, что приблизительный метод дает меньший, чем в действительности результат.

Таким образом, в современной ситуации, когда номиналы денежных сумм достаточно велики, от этого метода лучше отказаться вовсе.

Предположим теперь, что уровень ставки сложных процентов будет разным на различных интервалах начисления.

Пусть n1 , n2 , . . ., nn - продолжительность интервалов начисления в годах; i1, i2, . . . , in - годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам. Тогда наращенная сумма в конце первого интервала начисления

в соответствии с формулой (1.7), составит

S1 = P (1 + n1i1).

В конце второго интервала:

S2 = P∙(1 + n1i1)(1 + n2i2)

и т.д.

При N интервалах начисления наращенная сумма в конце всего периода начисления составит

SN = (3.4)

Если все интервалы начисления одинаковы (как и бывает обычно на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, формула (3.4) принимает вид:

SN = p (1 + n i) . (3.5)

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j - годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равнойj/m.

Если срок ссуды составляет n лет. То, аналогично формуле (3.1), получаем выражение для определения наращенной суммы:

S m n = P (1 + j/m) , (3.6)

Где mn – общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом (mn – целое число интервалов начисления, l – часть интервала начисления), то выражение (3.6) принимает вид:

S = P (1 + j/m) ∙ (1 + l j/m). (3.7)

Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов (3.1), а для оставшейся части – формула простых процентов (1.7).

В России в настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными.

В мировой практике часто применяется также непрерывное начисление сложных процентов (т.е. продолжительностью интервала начисления стремиться к нулю, а m – бесконечности).

В этом случае для вычисления наращенной суммы служит следующее выражение:

S = P lim (1 + j/m) . (3.8)

Для расчетов можно использовать известную в математике формулу:

lim =e,

Где е = 2, 71828…

Из этой формулы следует:

lim (1 + j/m ) = e .

Тогда для наращенной суммы получаем:

S = P e . (3.9)

Здесь

kн.с = e . (3.10)

Значения наращенной суммы S можно вычислять с помощью финансового микрокалькулятора или находя значения е и других требуемых величин в специальных таблицах.

Очевидно, что непрерывный способ начисления процентов дает максимальную величину наращенной суммы при прочих равных условиях (т.е. при одинаковых n, j, P).

Аналогично случаю простых процентов полученные формулы можно преобразовывать, выражая одни величины через другие, в зависимости оттого, что известно, а что требуется найти.

Так, из формулы (3.1) получаем

P = = S∙a. (3.11)

a − коэффициент дисконтирования, kн.с ∙a=1, т.е. a=

Напомним, что, как и в случае простых процентов, определение современной величины суммы S называется дисконтированием.

Формула (3.11), а также соответствующие формулы для случая простых ставок ссудного процента и для учетных ставок дают легко понять, что текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше норма доходности.

Также из формулы (3.1) получаем

i = - 1. (3.12)

Из формулы (3.6):

j = m . (3.13)

Применяя операцию логарифмирования к обеим частям формулы (3.1), получаем

. (3.14)

Подобным же образом из формулы (3.6) получаем формулу:

. (3.15)

Если нет специального калькулятора, значения логарифмов также находят по таблицам.

Существует несколько правил, позволяющих быстро рассчитать срок удвоения первоначальной суммы для конкретной процентной ставки.

Правило «72»:

n = .

Правило «69» (более точное):

n = + 0,35 .

Данные правила дают весьма точный результат при небольших значенияхi (%).

В качестве примера найдем срок удвоения капитала при годовых ставках: а) 20% и б) 110% по формуле (3.14) и по правилам «72» и «69».

а) n = ln2/ln1,2 = 3,8 года, или

n = 72/20 = 3,6 года, или

n = 69/20 + 0,35= 3,8 года;

б) n = ln 2/ln2,1 = 0,93 года, или

n = 72/110 = 0,65 года, или

n = 69/110+0,35 = 0,98 года (разница с точным значением – 18 дней).

Следующие примеры иллюстрируют использование полученных формул.

Пример 10

Первоначальная вложенная сумма равна 200 000 руб. Определить наращенную сумму через пять лет при использовании простой и сложной ставок процентов в размере 28% годовых. Решить этот пример также для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально, непрерывно.

Решение:

По формуле (1.7) для простых процентных ставок имеем

S =200 000 (1+5∙0,28) = 480 000 (руб.).

По формуле (3.1) для сложных процентов:

S = 200 000 (1+0,28) = 687 194,7 (руб.).

По формуле (3.6) для начисления по полугодиям:

S = 200 000 (1+0,14) = 741 444,18 (руб.).

Из той же формулы для поквартального начисления:

S = 200 000 (1+0,07) = 773 936,66 (руб.).

По формуле (3.9) для непрерывного начисления:

S = 200 000 e = 811 000 (руб.).

Пример 11

Первоначальная сумма долга равна 50 000 000 руб. Определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления сложных процентов по ставке 25% годовых.

Решение:

По формуле (3.3) получаем

S = 50 000 000 (1 + 0,25)² (1 + 0,125) = 87 890 625 (руб.)

Для второго способа используем формулу (3.1) с нецелым показателем степени:

S = 50 000 000 (1 + 0,25) = 87 346 390 (руб.)

Отчетливо видно расхождение: при использовании приблизительного метода упущенная выгода могла бы составить около 550 000 руб.

Пример 12

Какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы первоначальный капитал утроился за пять лет? Решить пример также для случая начисления процентов по полугодиям.

Решение:

По формулам (3.12) и (3.13) вычисляем:

i = 3 – 1 = 0,245 = 24,5%;

j = 2 ( 3 - 1) = 0,232 = 23,2%.