Сложные ставки ссудных процентов
Практическое занятие 13
С развитием денежного обращения и используемого в расчетах математического аппарата совершенствовались и финансовые вычисления. Они стали необходимыми для успешного проведения любой коммерческой деятельности. Вместе с современными методами анализа и моделирования финансовых ситуаций финансовые вычисления стали основой предпринимательской деятельности.
Речь идет, прежде всего, об аппарате и методах расчетов, необходимых при финансовых операциях, когда оговариваются значения трех параметров: стоимостные характеристики (размеры платежей, кредитов, долговых обязательств), временные данные (даты и сроки выплат, отсрочки платежей, продолжительность льготных периодов), специфические элементы (процентные и учетные ставки). Все эти параметры равноправны, игнорирование какого-либо одного из них может привести к нежелательным финансовым последствиям для одной из участвующих сторон.
Между различными видами параметров существуют функциональные зависимости. Анализ этих зависимостей и разработка на их основе методов решения финансовых задач — важнейшее направление деятельности экономиста менеджера.
Простые ставки ссудных процентов
Первоначальная сумма Р была помещена в банк под i процентов годовых (проценты простые). Необходимо определить наращенную сумму
S = Р(1 + ni).
где Р — первоначальная сумма,
S — наращенная сумма,
i — годовая процентная ставка (проценты простые).
п — период начисления процентов (в годах)
Задача 1. Первоначальная сумма Р = 5000 руб. помещена в банк на п = 2 года под i = 15% годовых (проценты простые).
Решение. Наращенная сумма после двух лет
S = Р(1 + 2i) = 5000(1 + 2 0,15) = 6500 руб.
Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, простую годовую процентную ставку i, можно определить период начисления п (в годах):
Пример 2. Первоначальная сумма Р = 3000 руб., наращенная сумма S = 4500 руб., i = 20% годовых (проценты простые). Тогда период начисления
Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, период начисления п (в годах), можно определить простую годовую процентную ставку i:
Пример 3. Первоначальная сумма P = 2000 руб., наращенная сумма S = 2200 руб., период начисления п = 0,5 года. Тогда простая процентная ставка
Математическим дисконтированием называется операция, когда по наращенной сумме S, периоду начисления п и простой процентной ставке i нужно определить первоначальную сумму
Пример 4. Наращенная сумма S = 7000 руб., период начисления п = 0,25 года (один квартал), простая процентная ставка i = 12% годовых. Тогда первоначальная сумма
Данные для самостоятельных расчетов – в приложении 15.
Все расчеты выполнить в Excel. Построить графики. Сделать выводы по полученным результатам.
Приложение 15
| Буквенные обозначения величин | Значение величин по вариантам | |||||||||
| Р | ||||||||||
| n | ||||||||||
| i | ||||||||||
| S |
Справочно. В формуле S = Р(1 + ni) период начисления п измеряется в годах. Это не всегда удобно, так как период начисления может быть меньше года (например, с 18 марта 2012 года по 20 октября 2012 года). В этом случае полагают
п = t/K,
где t — период начисления (в днях),
К — продолжительность года (в днях).
Тогда
S = Р(1 + it/K).
Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день.
Практическое занятие 14
Сложные ставки ссудных процентов
Процедура начисления сложных процентов подразумевает, что в конце каждого интервала начисления процентная ставка применяется к наращенной сумме на начало этого интервала начисления.
где Р — первоначальная сумма,
S — наращенная сумма,
i — годовая процентная ставка (проценты сложные);
п — период начисления процентов (в годах).
Пример 7. Первоначальная сумма Р = 5000 руб. помещена в банк на п = 2 года под i = 15% годовых (проценты сложные).
Тогда наращенная сумма после двух лет
Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, сложную годовую процентную ставку i
Пример. Первоначальная сумма Р = 3000 руб., наращенная сумма S = 4500 руб., i = 20% годовых (проценты сложные).
Зная первоначальную сумму Р, наращенную сумму S, период начисления п (в годах), можно определить сложную годовую процентную ставку i:
Пример. Первоначальная сумма P = 2000 руб., наращенная сумма S = 3500 руб., период начисления п = 3 года.
Математическим дисконтированием называется операция, когда по наращенной сумме S, периоду начисления п и сложной процентной ставке i нужно определить первоначальную сумму Р. Это делается следующим образом:
Пример 10. Наращенная сумма S = 7000 руб., период начисления п = 2 года, сложная процентная ставка i = 12% годовых.
Если период начисления п не является целым числом, то п = [п] (целая часть) + {п} (дробная часть). Тогда наращенная сумма
Пример 13. Первоначальная сумма Р = 6000 руб. помещена в банк на п = 2,5 года под i = 20% годовых (проценты сложные). Найдем наращенную сумму двумя способами.
Данные для самостоятельных расчетов – в приложении 16.
Все расчеты выполнить в Excel. Построить графики. Сделать выводы по полученным результатам.
Приложение 16
| Буквенные обозначения величин | Значение величин по вариантам | |||||||||
| Р | ||||||||||
| n | ||||||||||
| i | ||||||||||
| S |
Практическое занятие 15
При выработке долгосрочных инвестиционных решений необходимо знать, какую отдачу принесут инвестиции, и сопоставить прибыль от инвестирования в различные проекты.
Стандартным подходом можно вложения денег в безрисковые ценные бумаги (такими считаются особо надежные государственные ценные бумаги), которые будут приносить постоянный доход. Доходность по инвестициям в такие ценные бумаги представляет собой альтернативные издержки по инвестициям, так как инвестированные в особо надежные государственные ценные бумаги средства не могут быть инвестированы еще куда-то.
Альтернативные издержки по инвестициям также называют стоимостью капитала, минимально необходимой нормой прибыли, ставкой дисконтирования и процентной ставкой. Предприятие должно рассматривать только такие инвестиционные проекты, прибыль от которых выше альтернативных издержек по инвестициям.
Метод чистой приведенной стоимости
В методе чистой приведенной стоимости учитывается временная стоимость денег. Предположим, что нам известен будущий денежный поток и его распределение по времени. Дисконтируем денежные потоки до их текущей стоимости (на нулевой момент времени, то есть на начало реализации проекта), используя минимально необходимую норму прибыли. Суммировав полученные результаты, найдем чистую приведенную стоимость (NPV) проекта.
Метод чистой приведенной стоимости особенно полезен, когда необходимо выбрать один из нескольких возможных инвестиционных проектов, имеющих различные размеры требуемых инвестиций, различную продолжительность реализации, различные денежные доходы.
Пример 44. Предприятие анализирует два инвестиционных проекта, стоимость которых составляет 2 млн. руб. Оценка чистых денежных поступлений приведена в таблице.
| Год | Проект А, млн. руб. | Проект В, млн. руб. |
| 0,9 | 0,8 | |
| 1,6 | 1,1 | |
| 0,6 | ||
| Всего | 2,5 | 2,5 |
Альтернативные издержки по инвестициям равны 12%. Определим чистую приведенную стоимость каждого проекта.
Чистая приведенная стоимость проекта А равна:
Чистая приведенная стоимость проекта В равна:
Так как 0,08 > 0,02, то проект А предпочтительнее.
Данные для самостоятельных расчетов – в приложении 17.
Все расчеты выполнить в Excel (1 вариант – простой, 2 – с использованием мастера функций). Построить графики. Сделать выводы по полученным результатам.
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит финансовую функцию ЧПС, которая возвращает величину чистой приведенной стоимости инвестиций, используя ставку дисконтирования, а также стоимости будущих выплат (отрицательные значения) и поступлений (положительные значения).
fx → финансовые → ЧПС → ОК. Появляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. Ставка — это альтернативные издержки по инвестициям. Значения — это выплаты (со знаком «—») и поступления (со знаком «+»). ОК.
В примере 44 для проекта А ЧПС (0,12; -2; 0,9; 1,6) = 0,07 млн. руб. (из-за ошибок округления этот результат отличается от результата примера 44) и для проекта В ЧПС (0,12; -2; 0,8; 1,1; 0,6) = 0,02 млн.руб.
Приложение 17
| Буквенные обозначения величин | Значение по вариантам | |||||||||
| Альтернативные издержки по инвестициям, % | ||||||||||
| Инвестиции, млн. руб. | 0,6 | 1,2 | 2,4 | 4,8 | 9,6 | 19,2 | 38,4 | 76,8 | 153,6 | 307,2 |
| Проект А (чистые денежные поступления), млн. руб. | ||||||||||
| 1 год | 0,2 | 0,4 | 0,8 | 1,6 | 3,2 | 6,4 | 12,8 | 25,6 | 51,2 | 102,4 |
| 2 год | 0,8 | 1,6 | 3,2 | 6,4 | 12,8 | 25,6 | 51,2 | 102,4 | 204,8 | 409,6 |
| Проект В (чистые денежные поступления), млн. руб. | ||||||||||
| 1 год | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,8 | 1,6 | 3,2 | 6,4 | 12,8 | 25,6 | 51,2 |
| 2 год | 0,6 | 1,2 | 2,4 | 4,8 | 9,6 | 19,2 | 38,4 | 76,8 | 153,6 | 307,2 |
| 3 год | 0,3 | 0,6 | 1,2 | 2,4 | 4,8 | 9,6 | 19,2 | 38,4 | 76,8 | 153,6 |
Практическое занятие 16
Метод внутренней нормы доходности
В методе внутренней нормы доходности учитывается временная стоимость денег.
Внутренняя норма доходности (дисконтированная норма прибыли) IRR — это ставка дисконтирования, при которой чистая приведенная стоимость инвестиций равна нулю.
Значение внутренней нормы доходности можно найти приближенно методом линейной интерполяции. Подбираем значение ставки дисконтирования г0, при которой чистая приведенная стоимость инвестиций NPV(ro) < 0. Подбираем значение ставки дисконтирования гх, при которой чистая приведенная стоимость инвестиций NPV(r1) > 0. Тогда внутренняя норма доходности
Пример 45. Определим внутреннюю норму доходности инвестиционного проекта В из примера 44.
Чистая приведенная стоимость проекта В при ставке дисконтирования r равна:
При r1 = 0,12 чистая приведенная стоимость NPV(r) = NPV(0,12) = 0,02 млн. руб. > 0.
При r0 = 0,15 чистая приведенная стоимость NPV(r) = NPV(0,15) = -0,08 млн. руб. < 0.
Тогда внутренняя норма доходности IRR равна:
Данные для самостоятельных расчетов – в приложении 16.
Все расчеты выполнить в Excel (1 вариант – простой, 2 – с использованием мастера функций). Построить графики. Сделать выводы по полученным результатам.
Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит финансовую функцию ВСД, которая возвращает значение внутренней нормы доходности для потока денежных средств. Значение функции вычисляется путем итерации и может давать нулевое значение или несколько значений. Если последовательные результаты функции ВСД не сходятся с точностью 0,0000001 после 20 итераций, то ВСД возвращает сообщение об ошибке #число!.
fx → финансовые → ВСД → ОК. Появляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Предположение указывается предполагаемая величина процентной ставки (если значение не указано, то по умолчанию оно равно 10%). ОК. В примере 45 ВСД(-2; 0,8; 1,1; 0,6) * 13%.
Для определения целесообразности реализации инвестиционного проекта нужно сопоставить внутреннюю норму доходности с альтернативными издержками по инвестициям, или с принятой на данном предприятии минимальной нормой прибыли на инвестиции.
Практическое занятие 17
Метод окупаемости
Достоинство метода окупаемости — его простота. На практике этот метод применяется довольно часто, хотя при этом не учитывается временная стоимость денег.
Нужно определить период окупаемости, который показывает, сколько времени понадобится для того, чтобы инвестиционный проект окупил первоначально инвестированную сумму (то есть до превышения наличным доходом первоначальных инвестиций). Чем короче период окупаемости, тем инвестиционный проект лучше.
Пример 46. Определим период окупаемости каждого инвестиционного проекта в примере 44.
В проекте А для окупаемости первоначальных инвестиций в сумме 2 млн. руб. необходимо поступление 0,9 млн. руб. в первый год и (2 - 0,9) = 1,1 млн. руб. (из 1,6 млн. руб.) во второй год. Поэтому период окупаемости проекта А равен 1 + 1,1/1,6 = 1,7 лет.
В проекте В для окупаемости первоначальных инвестиций в сумме 2 млн. руб. необходимо поступление 0,8 млн. руб. в первый год, 1,1 млн. руб. во второй год и 2 - (0,8 + 1,1) = 0,1 млн. руб. (из 0,6 млн. руб.) в третий год. Поэтому период окупаемости проекта В равен 1 + 1 + 0,1/0,6 = 2,2 лет.
Так как 1,7 < 2,2, то проект А предпочтительнее.
Задача 46. Определить период окупаемости каждого инвестиционного проекта в задаче 44. Данные для самостоятельных расчетов – в приложении 16.
Все расчеты выполнить в Excel. Построить графики. Сделать выводы по полученным результатам.
Практическое занятие 18
Сравнение инвестиционных проектов с разными сроками реализации
Одним из способов сравнения инвестиционных проектов с разными сроками реализации является определение эквивалентного годового денежного потока для каждого инвестиционного проекта. Зная чистую приведенную стоимость NPV, срок реализации п и альтернативные издержки по инвестициям i инвестиционного проекта, определяют величину отдельного годового платежа
Предпочтение отдается инвестиционному проекту с большим эквивалентным годовым денежным потоком.
Пример 50. Предприятие анализирует два инвестиционных проекта: А (первоначальные затраты 1,5 млн. руб.) и В (первоначальные затраты 1,7 млн. руб.). Оценка чистых денежных поступлений дана в таблице.
| Год | Проект А, млн. руб. | Проект В, млн. руб. |
| 0,5 | 0,2 | |
| 0,7 | 0,4 | |
| 0,9 | 0,7 | |
| 0,8 | ||
| 0,6 | ||
| Всего | 2,1 | 2,7 |
Альтернативные издержки по инвестициям i = 12%. Сравним эти проекты, используя эквивалентные годовые денежные потоки.
Чистая приведенная стоимость проекта А равна
Тогда для проекта А эквивалентный годовой денежный поток равен:
Чистая приведенная стоимость проекта В равна
Тогда для проекта В эквивалентный годовой денежный поток равен:
Так как 0,06 > 0,04, то проект А предпочтительнее.
Задача 50. Проанализировать два инвестиционных проекта: А и В. Сравнить эти проекты, используя эквивалентные годовые денежные потоки.
Данные для самостоятельных расчетов – в приложении 18.
Все расчеты выполнить в Excel. Построить графики. Сделать выводы по полученным результатам.
Приложение 18
| Буквенные обозначения величин | Значение по вариантам | |||||||||
| Альтернативные издержки по инвестициям, % | ||||||||||
| Проект А (чистые денежные поступления), млн. руб. | ||||||||||
| 1 год | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 2,1 |
| 2 год | 0,8 | 0,9 | 1,1 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 1,9 | 2,1 | 2,4 | 2,8 |
| 3 год | 1,1 | 1,3 | 1,5 | 1,7 | 1,9 | 2,2 | 2,5 | 2,9 | 3,4 | 3,9 |
| Инвестиции, млн. руб. | 0,6 | 0,7 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 |
| Проект В (чистые денежные поступления), млн. руб. | ||||||||||
| 1 год | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 2,1 |
| 2 год | 0,8 | 0,9 | 1,1 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 1,9 | 2,1 | 2,4 | 2,8 |
| 3 год | 1,1 | 1,3 | 1,5 | 1,7 | 1,9 | 2,2 | 2,5 | 2,9 | 3,4 | 3,9 |
| 4 год | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 2,1 |
| 5 год | 0,8 | 0,9 | 1,1 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 1,9 | 2,1 | 2,4 | 2,8 |
| Инвестиции, млн. руб. | 0,8 | 0,9 | 1,0 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,6 | 1,7 | 1,9 |