Номинальная и эффективная ставки

Величину годовой процентной ставки r часто называют номинальной ставкой в отличие от процентной ставки за период r t/T или 1/m.

Для сравнения эффективности предложений различных банков по кредитным операциям их пересчитывают к эффективной процентной ставке , обеспечивающей ту же доходность, но при начислении процентов один раз в году. Сравнивая (1.6) с

,

получим ,

откуда = (1.7)

	Пример 1.9 Определим эффективную годовую ставку в первых трех случаях примера 1.4.   Решение. Очевидно, что в четвертом случае, при ежегодных начислениях процентов, она составляет 12%. Для m = 12 =(1+0,12/12)^12-1=0,1268; m = 4 =(1+0,12/4)^4-1=0,1255; m = 2 =(1+0,12/2)^2-1=0,1236. Как и следовало ожидать, ежемесячное начисление обеспечивает самую большую эффективную ставку.

Замена в договоре номинальной ставки r при m - разовом начислении процентов на эффективную не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении. Вообще разные по величине номинальные ставки являются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки имеют одну и ту же величину.

При подготовке контрактов может возникнуть необходимость в определении r по заданным значениям и m. Из (1.7) находим

(1.8)

НАЧИСЛЕНИЕ НАЛОГОВ И ПРОЦЕНТЫ

Во многих странах проценты облагаются налогом. Очевидно, что налог на проценты уменьшает наращенную сумму и реальную процентную ставку банка.

Пусть процентная ставка банка r, ставка налога на проценты н, начальная сумма банковского вклада PV, задан срок размещения вклада.

Простые проценты

Наращенная сумма вклада: FV= PV (1+ r),где FV и PV взяты по абсолютной величине.

Проценты: I= FV-PV= PV r

Проценты после уплаты налога: I_н=I.·(1- н)= PV· ·r·(1- н)

Наращенная сумма после уплаты налога:

FV=PV+I_н= PV·[1+ ·r·(1- н)]. (1.18)

Сложные проценты

Наращенная сумма вклада: .

Проценты: I= FV-PV= .

Проценты после уплаты налога: I_н=I·(1- н)= ·(1- н).

Наращенная сумма после уплаты налога

FV=PV+I_н= ·(1- н)], откуда

FV= ·(1-н)+н] (1.19)

ПРОЦЕНТЫ И ИНФЛЯЦИЯ

Основные понятия

Инфляция – это обесценивание денег, обусловленное чрезмерным увеличением выпущенной в обращение массы бумажных денег и безналичных выплат по сравнению с реальным предложением платных товаров и услуг.

Проявляется инфляция в росте цен на товары. На одни товары цены могут расти, на другие – уменьшаться, но если наблюдается устойчивая тенденция массового повышения цен, то это уже инфляция.

Изменение цен на товары и услуги определяется при помощи индекса цен. Индекс цен численно равен отношению цен на товары, услуги или работы в один период времени к ценам этих же товаров, услуг или работ в другой период времени. Вводят понятие агрегатного индекса цен. Агрегатный индекс цен численно равен отношению цены группы товаров (услуг) за данный период к цене той же группы в базисном периоде. Индекс цен на потребительские и промышленные товары регулярно публикуется. Процентное изменение индекса потребительских цен называется уровнем инфляции.

Пусть S - некоторая сумма денег, имеющаяся у человека в данный момент; S_t - сумма денег через некоторое время t , покупательная способность которой равна S . Вследствие инфляции S_t >S и S_t=S+DS, где DS - некоторая сумма денег, которая добавляется к S для сохранения стоимости годовой "потребительской корзины".

Основными показателями инфляции являются

1. средний годовой уровень инфляции t= (S_t - S )/S = DS/S

2. годовой индекс инфляции IN= S_t/S=1+t

Коэффициент падения покупательной способности денег определяется как величина, обратная индексу цен. В США за базисный год принят1967 г. Индекс цен в 1967 году считается за 100%. Индекс цен в 1985 г. равен 322,2%, то есть цены за это время выросли более, чем в 3 раза. Коэффициент падения покупательной способности денег за 1985 г. равен 1/3,222*100%=31,04%. Таким образом, реальная покупательная способность денег равна 31,04% от уровня 1967 года.

Индекс потребительских цен определяется по стоимости "потребительской корзины". Она определяется для трудоспособного мужчины на месяц: хлеба черного - 7 кг 20 г, белого - 3 кг 60 г, муки пшеничной - 540 г, макаронных изделий - 580 г, крупы - 630 г, картофеля - 15 кг, капусты - 2 кг 480 г, яблок - 1 кг 670 г, говядины - 1 кг, свинины - 1 кг 580 г, колбасных изделий -580 г, молока - 10 литров, масла - 500 г, яиц -26 штук, сахара - 2 кг 130 г, чая - 80 г, соли - 830 г.

В России стоимость "потребительской корзины" фиксируется к уровню сентября 1977 года.

Годовой индекс инфляции показывает, во сколько раз возрастает цена "потребительской корзины" за год. При инфляции потребители ускоренно стараются материализовать деньги в товары, что в некоторой степени стимулирует производство, способствует более быстрому обороту денег и развитию экономики. Поэтому в последнее время инфляции не приписывают исключительно деструктивных качеств, так как развитие без инфляции приводит к накоплению денег и оттоку их из производства.

Учет инфляции

Простые проценты

Определим годовую процентную ставку r_t, которая бы обеспечила прибыль от наращения по годовой ставке r и покрывала потери от инфляции. Пусть без инфляции будущая сумма

FV = PV (1+ r). (1.20)

Наращенная сумма с учетом инфляции, имеющая ту же покупательную способность, что и без инфляции

FV_t = PV·(1+ r_t). (1.21)

Естественно, что FV_t больше FV,

FV_t = FV·(1+ t). (1.22)

Из (1.20)-(1.22) получаем

FV_t = PV·(1+ r_t)= PV (1+ r) (1+ t) (1.23)

и годовая процентная ставка, покрывающая инфляцию, должна быть больше, чем без инфляции.

r_t=r+t+ r×t (1.24)

Коэффициент наращения с учетом инфляции

К_t=(1+ r) (1+ t). (1.25)

Он должен быть больше, чем без инфляции К=(1+ r).

Пусть клиент делает вклад в размере PV в условиях инфляции с годовым уровнем t. Банк обеспечивает ставку r_t . Какова реальная годовая процентная ставка прибыли r?

Из (1.24) получаем

(1.26)

Следовательно, реальная покупательная стоимость будущего вклада составит

Пример 1.11 Фирма договорилась с банком о выделении кредита размером 300 тыс. руб. сроком на полгода под 22% годовых без учета инфляции (проценты простые). Ожидаемый годовой уровень инфляции 14%.Какую процентную ставку с учетом инфляции возьмет банк, каков при этом коэффициент наращения и дисконт банка? По (1.24) Решение. PV=300 тыс. руб. r=0,22 t=0,14 t/T=0,5 rt=? Кt=? D=?

FV=PV·(1+ ). (1.27)

		rt=r+t+ r×t=0,22+0,14+0,5·0,22·0,14=0,4454, т.е. rt=44,54% Согласно (1.25) Кt=(1+ r) (1+ t)=(1+0,5·0,22)·(1+0,5·0,14)= 1,1877

пришлось бы вернуть

	Наращенная сумма FV=PV·Кt=300·1,1877=356,31 тыс. руб. - такую сумму фирме придется вернуть банку с учетом инфляции. Дисконт банка D=FV-PV=356,31-300=56,31 тыс. руб. Без учета инфляции пришлось бы вернуть FV=PV(1+r·t/T)=300(1+0,5·0,22)=333 тыс. руб.