Вопрос 2. Математические модели индивидуального и коллективного риска. Биномиальная модель
В имущественном страховании используется два основных типа моделей: модель индивидуального и коллективного риска. В модели индивидуального риска рассматривается полисов с независимыми выплатами . Ее характерными чертами являются сравнительно короткий промежуток времени для адекватного применения модели, а также фиксированное и неслучайное количество договоров . В модели коллективного риска по одному полису допускается более одной выплаты, количество подаваемых исков заранее неизвестно, а рассматриваемая модель носит динамический характер, когда процесс подачи исков "растянут" во времени.
Зададим некоторое вероятностное пространство и введем следующие понятия:
· – начальный капитал страховой компании.
· Неубывающая последовательность случайных величин – моменты наступления отдельных исков от клиентов, – время между наступлениями исков.
· Общее количество поданных исков к моменту времени : , при этом .
· Последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин определяет возможный размер исков в момент с функцией распределения , .
· Процесс риска определяет суммарные выплаты по искам к моменту , , если .
· – величина всех премий, полученных к моменту времени .
· определяет капитал компании к моменту .
Процессы и считаются независимыми. Если , то говорят о страховых моделях дискретного времени, если – о моделях непрерывного времени.
Согласно актуарной традиции мерой платежеспособности, или финансовой состоятельности компании,выбирается вероятность неразорения (соответственно, на бесконечном и конечном промежутке времени):
|
Поскольку договор страхования предполагает передачу того или иного риска от клиента к компании, то гарантировать исполнение своих обязательств компания может лишь в случае, когда в среднем поступающие премии больше средних выплат по искам:
M(П(t))= M(R(t))
Данное соотношение предполагается выполненным для всех рассматриваемых ниже моделей. Распространенным принципом начисления премий является принцип математического ожидания, когда выбирается некоторое число , называемое коэффициентом нагрузки, и полагается .
Введенные выше вероятности зависят не только от временного промежутка функционирования страховой компании и начального капитала, но и от "внутренних" параметров процессов и . Тем не менее, ключевой является зависимость именно от времени и начального капитала . По этим параметрам удается получать уравнения интегрального (разностного) и интегро-дифференциального типа для нахождения вероятностей неразорения, что позволяет производить количественный финансовый анализ экономической деятельности страховой фирмы.
Часто поиск явного аналитического выражения для решения представляет существенные технические трудности, а получаемые при этом формулы неудобны для дальнейшего анализа. В такой ситуации оказывается полезным иметь адекватные апроксимации для вероятности неразорения.
Рассмотрим биномиальную модель:
· – биномиальный процесс, т. е. представим как сумма бернуллиевских случайных величин с некоторой вероятностью успеха ;
· (детерминированные премии);
· – сложный биномиальный процесс.
В качестве процесса премий может рассматриваться независимый от другой сложный биномиальный процесс . Тогда капитал компании имеет вид
Это означает, что в каждый момент времени независимым от прошлого образом с некоторой вероятностью компания получает, вообще говоря, случайную премию , и с некоторой вероятностью вынуждена выплачивать величину .
В случае целочисленных процессов для вероятностей неразорения могут быть получены разностные уравнения, которые удается разрешить аналитически для некоторых типов распределений премий и исков. В общем случае оценивание вероятности неразорения может проводиться с помощью техники мартингалов дискретного времени:
если – положительное решение характеристического уравнения
(в терминах функций распределения и случайных величин и это уравнение переписывается в виде
то – мартингал и .