Начисление сложных процентов при дробном количестве лет
Пример 2.2. Банк начисляет на вклад 10000 рублей 20% годовых по ставке сложных процентов. Найти сумму на счете через 2,5 года.
| Дано: | Решение: |
| P = 10000 руб. n = 2,5 лет i = 20% = 0,20 | 1) Математический метод: S = 10000· (1 + 0,20)2,5 = 15774,41 (руб.) 2) Банковский метод: S = 10000· (1 + 0,20)2· (1 + 0,5· 0,2) = 15840 (руб.) |
| S = ? | Ответ: 1) 15774,41 руб. 2) 15840 руб. |
2й способ более употребительный и в общем виде формула выглядит следующим образом:
| (2.2) |
где
n = no + l,
no – целая часть;
l – дробная часть срока пользования кредита в годах.
Пример 2.3. Вклад в банк 10000 рублей под 20% годовых по ставке сложных процентов. Найти сумму на счете через 3 года 5 месяцев.
| Дано: | Решение: |
 P = 10000 руб. no = 3 лет i = 20% = 0,20 l = 5/12 года | |
| S = ? | Ответ: 18720 рублей. |
Номинальная процентная ставка.
Начисление процентов несколько раз в году.
Пример 2.4. Вклад в банк 10000 рублей под 20% годовых при ежеквартальном начислении процентов. Найти сумму на счете через 2 года.
Решение:
Количество интервалов m = 4 (в году 4 квартала). На каждом интервале действует ставка:
где
j = 20% - номинальная годовая ставка.
Количество периодов начисления j = 4· 2= 8 (m· n –количество кварталов)
 |
В общем виде формула выглядит следующим образом:
 | (2.3) |
где
P – первоначальная сумма;
j – номинальная процентная ставка;
m – число периодов начисления процентов в году;
n – срок в годах.
Пример 2.5. Кредит 25000 рублей выдан на 1,5 года под 20% годовых при ежемесячном начисления процентов. Найти возвращаемую сумму.
| Дано: | Решение: |
 P = 25000 руб. n = 1,5 лет m = 12 j = 20% = 0,20 | |
| S = ? | Ответ: 33663,13 рублей. |
Начисление процентов несколько раз в году при
дробном количестве периодов начисления.
На практике срок пользования кредитом далеко не всегда представляется целым числом периодом начисления процентов. В этом случае используется формула:
 | (2.4) |
где
no – целая часть, а l – дробная часть цикла периодов начисления.
Пример 2.6 Кредит в размере 50000 рублей выдан под 20% годовых, проценты начисляются ежеквартально. Какую сумму должен заплатить заемщик через 2 года и 7 месяцев?
 Дано: | Решение: |
| P = 50000 руб. n = 2 года 7 месяцев m = 4 j = 20% = 0,20 | |
| S = ? | Ответ: 82802,42 рублей. |
Непрерывное начисление процентов.
 |
В формуле (2.3):
где
m = 2, начисление процентов по полугодиям.
m = 4, начисление процентов по кварталам.
m = 12, начисление процентов по месяцам.
Все указанные выше случаи – дискретное начисление процентов.
В мировой практике встречается и непрерывное начисление процентов (m → ∞).
В этом случае:
 | (2.5) |
где
e ≈ 2,718… - основание натуральных логарифмов.
Пример 2.7. Кредит 30000 рублей был выдан на 2 года под 20% годовых при непрерывном начислении процентов. Найти возвращаемую сумму.
| Дано: | Решение: |
 P = 30000 руб. n = 2 года m → ∞ j = 20% = 0,20 | |
| S = ? | Ответ: 44754,74 рублей. |