Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам
2.1.Наращение по простой процентной ставке. Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока начисления (date of maturity, due date). Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы долга (principal) на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Расчетная формула
зависит от вида применяемой процентной ставки и условий наращения.
К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до 1 года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. Для записи формулы наращения простых процентов (simple interest) примем обозначения:
I — проценты за весь срок ссуды;
РV — первоначальная сумма долга;
FV — наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока;
i — ставка наращения процентов (десятичная дробь);
n — срок ссуды.
Если срок измеряется в годах (как это обычно и бывает), то i означает годовую процентную ставку. Соответственно каждый год приносит проценты в сумме Pv×i. Начисленные за весь срок проценты составят I = PV×ni. Наращенная сумма, таким образом, находится как
FV = РV + I = РV + PV×ni = РV(1 + ni).
Данное выражение называют формулой наращения по простым процентам или кратко — формулой простых процентов, а множитель (1 + ni) — множителем наращения простых процентов. График роста по простым процентам представлен на рис. 1. Необходимо заметить, что увеличение процентной ставки или срока в k раз одинаковым образом влияет на множитель наращения. Последний увеличится в (1 + kni) / (1 + ni) раз.
Рис. 1
Определим проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 700 тыс. руб., срок 4 года, проценты простые по ставке 20% годовых (i = 0,2). Тогда I = 700 × 4 × 0,2 = 560 тыс. руб.; FV = 700 + 560 = 1260 тыс. руб. Увеличим теперь ставку в два раза. Сумма процентов при этом, естественно, удвоится. Однако наращенная сумма увеличится в (1 + 2 × 4 × 0,2) / (1 + 4 × 0,2) = 1,444 раза.
2.2.Практика расчета процентов для краткосрочных ссуд. Поскольку процентная ставка, как правило, устанавливается в расчете за год, то при сроке ссуды менее года необходимо определить, какая часть годового процента уплачивается кредитору. Аналогичная проблема возникает и в случаях, когда срок ссуды меньше периода начисления. Рассмотрим наиболее распространенный в практике случай — с годовыми периодами начисления. Очевидно, что срок ссуды необязательно равен целому числу лет. Выразим срок n в виде дроби
,
где t — число дней ссуды, К — число дней в году, или временная база начисления процентов (time basis). При расчете процентов применяют две временные базы: К = 360 дней (12 месяцев по 30 дней) или К — 365, 366 дней. Если К = 360, то получают обыкновенные или коммерческие проценты (ordinary interest), а при использовании действительной продолжительности года (365, 366 дней) рассчитывают точные проценты (exact interest). Число дней ссуды также можно измерить приближенно и точно. В первом случае продолжительность ссуды определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням. В свою очередь точное число дней ссуды определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно определить по табл. 1 Приложения.
Итак, возможны и применяются на практике три варианта расчета простых процентов.
1. Точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант, естественно, дает самые точные результаты. В коммерческих документах он обозначается как 365/365 или ACT/ACT.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод, иногда называемый банковским (Banker's Rule), обозначается, как 365/360 или АСТ/360 и дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. Заметим, что при числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, если t = 364, то n = 364/360 = 1,01111. Множитель наращения за год при условии, что i = 20% , составит 1,20222.
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например при промежуточных расчетах. Метод условно обозначается как 360/360.
Очевидно, что вариант расчета с точными процентами и приближенным числом дней ссуды лишен смысла и не применяется.
Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев, но разумеется, не всегда, больше приближенного (в чем легко убедиться, определив среднее за год число дней в месяце, которое равно 30,58), то метод начисления процентов с точным числом дней ссуды обычно дает больший рост, чем с приближенным.
ПРИМЕР 1. Ссуда в размере 1 млн руб. выдана 20 января до 05 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применим все три метода. Предварительно определим число дней ссуды: точное — 258, приближенное — 255.
1.При использовании точных процентов с точным числом дней ссуды (365/365) должник заплатит:
2.При использовании обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды (365/360) должник заплатит:
3. При использовании обыкновенных проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360) должник заплатит:
Задание 1. Ссуда в размере 1 млн руб. выдана «Х» января 2013 года до «Y» октября 2013 года включительно под «Z»% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении примените все три метода.
|
2.3.Срок ссуды более года. Если общий срок ссуды захватывает два смежных календарных года и есть необходимость в делении суммы процентов между ними (например, при определении годовых сумм дохода и т.д.), то общая сумма начисленных простых процентов составит сумму процентов, полученных в каждом году: I = I1+I2 = PV×n1×i + PV×n2×i, где n1 и n2 — части срока ссуды, приходящиеся на каждый календарный год.
2.4.Переменные ставки. В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом:
где it — ставка простых процентов в периоде t, nt — продолжительность периода с постоянной ставкой,
ПРИМЕР 2. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год — 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года. Находим множитель наращения:
Задание 2. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год — «Х» %, в каждом последующем полугодии ставка повышается на «Y» %. Необходимо определить множитель наращения за «Z»лет.
| № вар-та | X | Y | Z | № вар-та | X | Y | Z | № вар-та | X | Y | Z | № вар-та | X | Y | Z | |||
2.5.Начисление процентов при изменении сумм депозита во времени. Принципиально ничего не меняется, если сумма, на которую начисляются проценты, изменяет свою величину во времени (размер вклада на сберегательном счете, текущий счет при периодическом его пополнении или снятии денег и т.п.). В этом случае
где Rj — остаток средств на счете в момент j после очередного поступления или списания средств, nj — срок хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете. В банковско-сберегательном деле обычно применяют следующий способ, основанный на преобразовании данной формулы. Для этого измерим интервалы между моментами изменений величины остатка на счете в днях, а процентную ставку выразим в процентах (а не в десятичных дробях как выше). После чего получим:
Как и прежде K означает число дней в году, a tj — срок в днях между последовательными изменениями остатков на счете. Величину ∑Rjtj /100 называют процентным числом (interest number), а делитель — процентным (или постоянным) делителем (interest divisor).
ПРИМЕР 3. Движение средств на счете характеризуется следующими данными: 5 февраля поступило 12 млн. руб., 10 июля снято 4 млн. руб. и 20 октября поступило 8 млн. руб. Найти сумму на счете на конец года. Процентная ставка 18% годовых.
Процентный делитель составит 365 : 18 = 20,27778. Расчет суммы процентных чисел приведен в следующей таблице.
| Дата | Движение средств (млн.руб) | (Rj) Остаток (млн.руб) | (tj) Срок (дней) | Процентное число |
| 05.02 | 18,6 | |||
| 10.07 | -4 | 8,16 | ||
| 20.10 | 11,52 | |||
| 31.12 | — | — | — | |
| Итого | 38,28 |
Сумма процентов за весь срок равна
Остаток средств на 31.12 составляет 16 млн.руб., плюс сумма процентов за весь срок 1,888 млн.руб., итого сумма на счете на конец года равна 17,888 млн.руб.
| Задание 3. Движение средств на счете характеризуется следующими данными: «Х» февраля поступило 7 млн. руб., «Y» июля снято 2 млн. руб. и «Z» октября поступило 9 млн. руб. Найти сумму на счете на конец года. Процентная ставка 16% годовых.
|
2.6.Дисконтирование по простым процентным ставкам. В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме FV, которую следует уплатить через некоторое время, необходимо определить сумму полученной ссуды РV. Такая ситуация может возникнуть, например, при разработке условий контракта. Расчет РV по FV необходим и тогда, когда проценты с суммы FV удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче кредита, ссуды. В этих случаях говорят, что сумма FV дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты — дисконтом (discount) или скидкой. Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке краткосрочных обязательств, оплата которых должником произойдет в будущем.
Термин "дисконтирование" употребляется и в более широком смысле — как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведением стоимостного показателя к некоторому, обычно начальному, моменту времени. (Приведение может быть осуществлено на любой, в том числе промежуточный, момент времени.)
Величину PV, найденную с помощью дисконтирования, называют приведенной стоимостью, или современной величиной (present value), будущего платежа FV, а иногда — текущей стоимостью. Современная величина суммы денег является одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. В большинстве случаев именно с помощью дисконтирования, а не наращения, удобно учитывать такой фактор, как время.
Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму FV, при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i? Для решения применяем формулу:
,
где n = t/K — срок ссуды в годах.
Установленная таким путем величина РV является современной величиной суммы FV, которая будет выплачена спустя n лет. Дробь 1/(1 + ni) называют дисконтным, или дисконтирующим, множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.
ПРИМЕР 4. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням? Решение:
Разность FV — РV можно рассматривать не только как проценты, начисленные на РV но и как дисконт с суммы FV.
Задание 4. Через «Х» дней после подписания договора должник уплатит «Y» тыс. руб. Кредит выдан под «Z»% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?
|
2.7.Определение срока ссуды. При разработке условий контрактов или их анализе и сравнении возникает необходимость в решении ряда, если так можно назвать, вторичных задач — определении срока ссуды и размера процентной ставки в том или ином ее виде при всех прочих заданных условиях. Формула для нахождения срока ссуды в годах:
Срок в днях (где n=t/K, где K – временная база):
ПРИМЕР 5. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный 100 тыс. руб., вырос до 120 тыс. руб. при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (АСТ/АСТ)? Решение:
| Задание 5. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный «Х» тыс. руб., вырос до «Y» тыс. руб. при условии, что начисляются простые проценты по ставке «Z»% годовых (АСТ/АСТ)?
|
2.8.Определение величины процентной ставки. Необходимость в расчете процентной ставки возникает при определении финансовой эффективности операции и при сравнении контрактов по их доходности в случаях, когда процентные ставки в явном виде не указаны. Формула для нахождения процентной ставки:
ПРИМЕР 6. В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме 110 тыс. руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга 90 тыс. руб. (АСТ/360). Как видим, здесь не оговорен уровень процентной ставки. Необходимо определить доходность ссудной операции для кредитора в виде ставки процента. Решение:
| Задание 6. В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме «Х» тыс. руб. через «Y» дней. Первоначальная сумма долга «Z» тыс. руб. (АСТ/360). Необходимо определить доходность ссудной операции для кредитора в виде ставки процента.
|
СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
3.1.Начисление сложных годовых процентов. В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты (compound interest). База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной — она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления (running period). Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.
Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная ставка наращения. Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине PV×i, а наращенная сумма составит PV + PV×i = PV×(1+i). К концу второго года она достигнет величины PV×(1+i) + PV×(1+i)i = PV×(1+i)2 и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна:
FV = PV(1+i)n.
Проценты за этот же срок в целом таковы:
Часть из них получена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет:
Как показано выше, рост по сложным процентам представляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен PV, а знаменатель — (1+i). Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды. Графическая иллюстрация наращения по сложным процентам представлена на рис. 2.
Рис.2
Величину (1 + i)n называют множителем наращения (compound interest factor) по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел n приводятся в таблицах сложных процентов. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.). Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется как ACT/ ACT. Если нам необходимо узнать какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых, то находим FV по формуле FV = 1 000 000 (1+0,155)5 = 2055464,22 руб. Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров — i и n. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке. Здесь уместна следующая иллюстрация. Остров Манхэттен, на котором расположена центральная часть Нью-Йорка, был куплен (а точнее выменен) за 24 долл. Стоимость земли этого острова 350 лет спустя оценивалась примерно в 40 млрд. долл., т.е. первоначальная сумма увеличилась в 1,667×109 раз! Такой рост достигается при сложной ставке, равной всего 6,3% годовых.
3.2.Начисление процентов в смежных календарных периодах. Выше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к последнему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия возникает задача распределения начисленных процентов по периодам. Алгоритм деления обшей массы процентов легко сформулировать на основе графика, построенного для двух смежных календарных периодов (см. рис. 3).
Рис.3
Общий срок ссуды делится на два периода n1, и n2. Соответственно, I = I1 + I2, где
ПРИМЕР 7. Ссуда была выдана на два года — с 1 мая 2013 г. по 1 мая 2015 г. Размер ссуды 10 млн. руб. Необходимо распределить начисленные проценты (ставка 14% ACT/ACT) по календарным годам. Получим следующие суммы процентов (в тыс.руб.):
за период с 1 мая до конца 2013 года (244 дня): ;
за 2014 г.: ;
наконец, с 1 января до 1 мая 2015 г. (121 день):
Итого за весь срок — 2 996 тыс. руб.
В качестве проверки рассчитаем начисленные проценты для всего срока в целом:
10 000 ×(1,142 - 1) = 2 996 тыс. руб. Мы получили такой же результат.
Задание 7. Ссуда была выдана на два года — с «Х» мая 2013 г. по «Y» мая 2015 г. Размер ссуды 10 млн. руб. Необходимо распределить начисленные проценты (ставка «Z»% ACT/ACT) по календарным годам.
| № вар-та | X | Y | Z | № вар-та | X | Y | Z | № вар-та | X | Y | Z | № вар-та | X | Y | Z | |||
3.3.Переменные ставки. Если в контракте предусматривается изменение процентных ставок, то общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.
,
где i1,i2,…ik — последовательные значения ставок; n1,n2,…,nk — периоды, в течение которых "работают" соответствующие ставки.
ПРИМЕР 8. Срок ссуды — 5 лет, договорная базовая процентная ставка — 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% в оставшиеся годы. Общий множитель наращения в этом случае составит:
q = (1 + 0,125)2 ×(1 + 0.1275)3 = 1,81407.
Задание 8. Срок ссуды — 7 лет, договорная базовая процентная ставка — «Х» % годовых плюс маржа «Y»% в первые три года и «Z»% в оставшиеся годы. Рассчитайте общий множитель наращения.
|
3.4.Сравнение роста по сложным и простым процентам. Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения (рис. 4).
Рис.4
Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей существенно зависят от срока. В самом деле, при условии, что временная база для начисления процентов одна и та же, находим следующие соотношения (в приведенных ниже формулах подписной индекс s проставлен у ставки простых процентов):
— для срока меньше года простые проценты больше сложных:
(1 + nis) > (1 + i)n ,
— для срока больше года сложные проценты больше простых:
(1 + nis) < (1 + i)n,
— для срока, равного году, множители наращения равны друг другу.
Заметим также, что при n > 1 с увеличением срока различие в последствиях применения простых и сложных процентов усиливается. Далее в таблице приведены значения множителей наращения для is = i = 12%, К = 365дней.
| Множители наращения | Срок ссуды | |||||
| 30 дней | 180 дней | 1 год | 5 лет | 10 лет | 100 лет | |
| 1 + in | 1,01644 | 1,05918 | 1,12 | 1,6 | 2,2 | |
| (1 + i)n | 1,00936 | 1,05748 | 1,12 | 1,76234 | 3,10584 | 83522,3 |
Поэтому для краткосрочных ссуд применяют простые проценты.
АННУИТЕТЫ
Часто в сберегательных схемах, инвестиционном проекте или схеме возврата кредита будущие денежные поступления или выплаты (т.е. положительные или отрицательные денежные потоки) остаются неизменными из года в год. Такого рода ряд постоянных поступлений или выплат денег называется аннуитетом, или рентой (annuity). Этот термин пришел к нам из сферы страхования жизни, в которой договором аннуитета называется договор, гарантирующий покупателю ряд выплат за определенный период времени. В финансах этот термин применяется по отношению к любому количеству денежных платежей. Таким образом, ряд платежей по рассрочке или ипотечному договору также называется аннуитетом. Если денежные платежи начинаются немедленно, как это присуще сберегательному плану или аренде, такой договор называется срочным или немедленным аннуитетом (immediate annuity). Если денежный поток начинается в конце текущего периода, а не немедленно, такой договор называется обычным аннуитетом (ordinary annuity). Ипотека является примером обычного аннуитета.
4.1. Будущая стоимость аннуитета. Предположим, вы намерены откладывать по 1000 руб. каждый год на протяжении следующих трех лет. Сколько денег у вас накопится к концу этого периода, если процентная ставка равна 10% годовых? Периодические платежи принято обозначать - РМТ (сокращение от payment).
В нашем примере нам известны значения i, n, РМТ, и мы хотим рассчитать FV.
Формула для вычисления будущей стоимости аннуитета выглядит следующим образом:
Применяя формулу, получим: руб.
Мы определили, что будущая стоимость ежегодных 1000-рублевых взносов по нашему сберегательному плану с учетом трехгодичного периода равняется 3 310 руб.
Если же нам известна будущая стоимость аннуитета (FV), но не известны платежи (PMT), например, мы знаем, сколько нам нужно накопить к определенному сроку, но не знаем, по какой сумме нужно ежегодно вносить на сберегательный счет. Для расчетов воспользуемся формулой, которая по своей сути является обратной предыдущей:
ПРИМЕР 9. Через 10 лет Вам понадобятся деньги в сумме 500 тысяч рублей. Сколько денег ежегодно Вам придется вносить во вклад «Пополняемый», чтобы накопить нужную сумму, если ставка по вкладам равна 10% годовых, начисляемых раз в год:
Задание 9. Через «Х» лет Вам понадобятся деньги в сумме «Y» тысяч рублей. Сколько денег ежегодно Вам придется вносить во вклад «Пополняемый», чтобы накопить нужную сумму, если ставка по вкладам равна «Z»% годовых, начисляемых раз в год.
| № вар-та | X | Y | Z | № вар-та | X | Y | Z | № вар-та | X | Y | Z | № вар-та | X | Y | Z | |||
4.2. Приведенная стоимость аннуитета.Часто нам необходимо узнать еще и приведенную стоимость платежей по аннуитету. Например, сколько денег вам нужно было бы поместить в фонд (данный фонд представляет собой ссудный капитал), на который начисляется 10% годовых для того, чтобы иметь возможность брать оттуда по 1000 рублей в год на протяжении последующих трех лет? Ответом будет приведенная стоимость трех денежных платежей. Приведенная стоимость аннуитета – это сумма приведенной стоимости каждого из трех платежей по 1000 рублей. Формула для расчета приведенной стоимости обычного аннуитета выглядит следующим образом:
Применяя формулу, получим: руб.
Для нахождения размеров платежей (PMT), в счет погашения ипотечного кредита, текущая стоимость которого нам известна, необходимо применить формулу, обратную предыдущей:
ПРИМЕР 10. Определите размер ежемесячных платежей в счет погашения ипотечного кредита (погашаемого по схеме аннуитета), если кредит размером 2 млн. руб. был взят на 25 лет под 15% годовых, начисляемых ежемесячно:
Задание 10. Определите размер ежемесячных платежей в счет погашения ипотечного кредита (погашаемого по схеме аннуитета), если кредит размером «Х» млн. руб. был взят на «Y» лет под «Z»% годовых, начисляемых ежемесячно.
|