Дисконтирование по простым процентным ставкам

Наращение по простой процентной ставке

Начисление простых процентов не предполагает присоединения начисленных процентов к первоначальной сумме S (o) в течение всего периода начисления.

Из формулы (1), сделав простейшие преобразования можно получить:

S(T) = S(o)(1 + i(T)) (3)

Обозначим годовую процентную ставку через i, тогда

i (T) = i × T.

Формула (3) будет иметь вид S (T) = S(o) (1 + iT).

Это и будет формулой наращения по простым процентам, а множитель A (T) = (1+ iT) называется множителем наращенияпростых процентов. А(Т) показывает во сколько раз увеличился первоначальный капитал за срок Т.

Пример 1.

Ссуда в размере 50000 руб. выдана на полгода по простой ставке 28% годовых. Определить наращенную сумму и сумму начисленных процентов.

Решение:

По формуле

S (T) = 50000 × (1 + 0,5 × 0,28) = 57000 (руб.)

I (T) = 57000 – 50000 = 7000 (руб.)

Обычно к наращению по простым процентам прибегают при выдаче краткосрочных ссуд или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору.

Обозначим срок Т в виде дроби , где τ – срок ссуды, К – число дней в году. Если К =12 × 30 = 360, то получают обыкновенные проценты, если К = 365 или 366, то точные проценты.

На практике применяются три варианта расчета простых процентов:

а) Английская схема. Точные проценты с точным числом дней ссуды.

б) Германская схема. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

в) Французская схема. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды.

Точное число дней ссуды подсчитывается с помощью специальной таблицы, в которой приведены порядковые номера каждого дня в году. При этом день выдачи и возврата ссуды засчитывают за один день. Таблица порядковых дней в году приведена в Справочнике.

При приближенном числе дней ссуды подсчитывается точное число полных месяцев, причем длительность месяца полагают равной 30 дням, и добавляют число оставшихся дней. День выдачи и возврата ссуды засчитывают за один день.

Пример 2.

Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20.01.98 до 05.10.98 под 18% годовых. Определить сумму начисленных процентов.

Решение:

а) английская схема:

S (T) = 1000000 ( × 0,18) = 127232,88 (руб.)

б) германская схема:

S (T) = 1000000 ( ) = 127500 (руб.)

в) французская схема:

S (T) = 1000000 ( × 0,18) = 129000 (руб.)

Переменные ставки.В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся процентные ставки. Множитель наращения в этом случае определяется как A(T) = (1 + ),

где i_n – процентная ставка за период t_n , n = 1, … T.

Пример 3.

Кредит в размере 50000000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год – 28 %, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1%. Определить множитель наращения и наращенную сумму.

Решение:

А (3,5) = 1 + 0,28 + 0,5 (0,27 + 0,26 + 0,25 + 0,24 + 0,23) = 1,905

S (3,5) = 50000000 × 1,905 = 95250000 (руб.)

Формулы наращения по простой процентной и учетной ставкам приведены в соответствующих таблицах Справочника ЭУМК.

Дисконтирование по простым процентным ставкам

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S(T), которую следует уплатить через срок Т, необходимо определить сумму полученной ссуды S(o). В этом случае говорят, что сумма S(T) дисконтируетсяилиучитывается. Термин «дисконтирование» употребляется и в более широком смысле – как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени. Величину S(o) называют современной величинойсуммы S (T). В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования – математическое дисконтированиеи банковский (коммерческий) учет.

Формула математического дисконтирования выводится из формулы наращения простых процентов.

S (o) = S (T) .

Дробь называют дисконтным множителем. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальный капитал в его наращенной сумме.

Дисконтирование по учетной ставке называется банковским учетом. Формула дисконтирования по учетной ставке получается из формулы (2)

S (o) = S (T) (1 – d (T)).

Обозначим годовую учетную ставку через d, тогда d (T) = d ×T.

S (o) = S (T) (1 - dT) (3)

Дисконтный множитель здесь равен (1 - dT). Дисконтирование по учетной ставке используется при учете банком векселей, в этом случае формула (3) будет иметь следующий вид:

S (o) = S(T) (1 – dn),

где S (o) – сумма, выплаченная владельцу векселя банком;

S (T)–обязательство по векселю, которое должно быть погашено в срок Т;

n – срок от момента учета до даты погашения векселя.

Доход (дисконт), который имеет банк от операции учета векселя определяется как разница между обязательством по векселю и ценой покупки:

D (n) = S (T) – S (o) = S (T)d n.

Учет векселей — это покупка их банком, в результате чего они полностью переходят в его распоряжение, а вместе с ними и право требования платежа от векселедателей. Поскольку векселедержатель, предъявивший банку векселя к учету, получает по ним платеж немедленно, т. е. до истечения срока платежа по векселю, то для него фактически это означает получение кредита от банка. Поэтому учет векселей третьих лиц банками — один из способов предоставления ссуд. За такую операцию банк взимает процент, который называется учетным процентом, или дисконтом. Его величина определяется по договоренности с клиентом в зависимости от срока, оставшегося до наступления срока платежа по векселю. Учетный процент удерживается банком из суммы векселя сразу же, в момент его учета (покупки).

Учетный процентпредставляет собой плату за предоставленные векселедержателю кредитные ресурсы банка. Он определяется на основе ставки рефинансирования Центрального банка РФ или исходя из действующих в данном банке ставок кредитов подобной продолжительности (период с даты учета до даты погашения векселя).

Суммарный доход банка от учета векселей (дисконт) складывается из учетного процента и банковской комиссии, которая включает потенциальные рисковые потери по конкретному векселю, а также дополнительные расходы банка по погашению векселя или его протесту в случае нарушения сроков погашения.

Пример 4.

Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн. руб. с уплатой 17.11.95г. Владелец векселя учел его в банке 23.09.95г. по учетной ставке 20%. Определить сумму, уплаченную владельцу векселя и дисконт банка.

Решение:

Используем формулу дисконтирования по учетной ставке.

S (o) = 1000000 (1- 0,2 × ) = 969444,5 (руб.)

D (T) = 1000000 – 969444,5 = 30555,5 (руб.)

Пример 5.

Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дней?

Решение:

Используем формулу математического дисконтирования.

S (o) = = 287328,59 (руб.)

Дисконт равен: D (T) = 310000 – 287328,59 = 22671,41 (руб.)

Экономический смысл операции учета векселей достаточно подробно изложен в учебниках по банковскому делу, например, в работе Белоглазовой Г.Н.и Кроливецкой Л.П., а также учебнике «Основы банковской деятельности», приведенных в Хрестоматии ЭУМК.