Типовые задачи с решениями. Задача 1.Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями А=2 млн
Задача 1.Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями А=2 млн. руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года без изменения срока ренты. Сложная процентная ставка составляет 20% годовых. Необходимо найти платеж отложенной ренты.
Решение
По формуле (11.4) при А1 =2; t=2; r=0,2
А 2=2∙(1+0,2)2
А 2 =2,88
Отказ от немедленной выплаты ренты приводит к увеличению платежа до 2,88 млн.руб.
Задача 2.Рента с ежегодными платежами в 2 млн. руб. и сроком 5 лет откладывается на три года без изменения сумм выплат. Найти новый срок ренты при условии, что на поступающие платежи ежегодно начисляются сложные проценты по ставке 8% годовых.
Решение
В соответствии с (11.5) при n1 =5; t=3; r=0,08; A=2
Отказ от немедленной выплаты ренты увеличивает ее срок до 6,689 года, т.е. на 1,689 года.
Пусть продолжительность новой ренты в целых годах равна 6. тогда приведенная стоимость новой ренты составит
Современная стоимость исходной ренты составит
Разность в сумме 0,6458 млн. руб. необходимо уплатить в начале действия контракта.
Задача 3.Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями А=2 млн. руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года с изменением срока ренты до 11 лет. Сложная процентная ставка составляет 20% годовых. Необходимо найти платеж отложенной ренты.
Решение
По формуле (11.6) при А1 =2; t=2; r=0,2; n1=8; n2=11
Платеж отложенной ренты равен 2,5539 млн.руб.
Задача 4.Банк предлагает ренту постнумерандо на 15 лет с полугодовой выплатой 100 тыс. руб. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной, сложные проценты начисляются по полугодиям. По какой цене можно приобрести эту ренту, если выплаты будут осуществляться 1) через 3 года; 2) немедленно, а сложная процентная ставка равна 4% годовых?
Решение.
1) используем формулу (11.3), считая полугодие базовым периодом, при t=6
PV=100×FM2(2%,6)×FM4(2%,30)=100×0,888×22,3965=1988,809
Ренту можно приобрести за 1 988 809 руб.
2) используем формулу (11.3), считая полугодие базовым периодом при t=0
PV=100×FM4(2%, 30)=100×22,3965=2239,65
Ренту можно приобрести за 2239650 руб.
Задача 5.Три ренты постнумерандо - немедленные, годовые, заменяются одной отложенной на три года рентой постнумерандо. Согласно договоренности заменяющая рента имеет срок 10 лет, включая отсрочку. Характеристики заменяемых рент:
А1 =100; А2 =120; А3 =300 (тыс. руб.); n1=6; n2=11; n1=8 лет. Необходимо:
1) Определить платеж заменяющей ренты при использовании сложной ставки 20% годовых:
2) Определить срок заменяющей ренты при условии, что размер платежа равен 1500 тыс. руб.
Решение
Данные для определения приведенных стоимостей заменяемых рент занесем в таблицу:
| №№ ренты | Платеж ренты | Срок ренты | FM4(r,n) | PV |
| 3,32551 | 332,551 | |||
| 4,32706 | 519.472 | |||
| 3.83716 | 1151,148 | |||
| Итого | 2002,946 |
1) Платеж заменяющей ренты находим из уравнения:
Платеж заменяющей ренты равен 960 189 руб.
Если бы заменяющая рента была бы немедленной, ее платеж находим из уравнения:
2) Определим современную стоимость заменяющей немедленной ренты:
PV=2002,946∙(1+0,2)3 =3461,091
Неизвестный срок ренты находим из формулы (10.4) (Занятие № 10):
при А=1500; r=20%; PV=3461,091
Установим срок заменяющей ренты 4 года. При этом приведенная стоимость ренты равна
PV=1500∙FM4(20%,4)=1500∙2,5887=3883,05
Излишек в сумме 3883,05-3461,091=421,959 компенсируем в начале финансовой операции.