Определение ставок и вычисление процентов

СБОРНИК

ЗАДАЧ

ПО КУРСУ

ФИНАНСОВЫХ

ВЫЧИСЛЕНИЙ

Под редакцией

Профессора В.В.Ковалева

Введение

В последние годы в связи с постепенным становлением ры­ночных отношений в экономике России вновь, спустя многие десятилетия, появилась потребность в распространении количе­ственных методов оценки финансовых операций. Причины это­го очевидны: появление реально самостоятельных предприятий, становление рынка капитала, коренное изменение сущности и роли банковской системы. Многие решения финансового харак­тера нецелесообразно принимать лишь на интуитивной основе; гораздо более качественные результаты могут быть достигнуты, если используются формализованные методы оценки. Кроме того, можно привести немало ситуаций, когда оптимальное ре­шение, основанное лишь на интуиции, не может быть принято в принципе. В подобных ситуациях как раз и применяются мето­ды финансовых вычислений, или, как их иногда называют, ме­тоды финансовой математики.

Владение методами финансовых вычислений необходимо не только работникам, специализирующимся в области управления финансами и бухгалтерского учета. Фактически любому челове­ку в жизни приходится выполнять какие-то расчеты финансово­го характера. Изучение большинства методов финансовых вы­числений не требует серьезной математической подготовки, од­нако определенные усилия необходимы, если ставится цель по­нять сущность той или иной используемой формулы. По боль­шому счету без такого понимания нельзя правильно и эффек­тивно применять формулы при расчетах и грамотно освоить на­выки в использовании сравнительно простых, но многочислен­ных вычислительных процедур. Как и в любой дисциплине, в области финансовых вычислений можно выделить основопола­гающие понятия и алгоритмы.

Сразу же отметим, что рассмотренные в пособии и другой подобной литературе формализованные методы не являются панацеей от возможных негативных последствий принятых с их помощью решений финансового характера. Однако владение ими нередко позволяет избежать многих ошибок и недоразуме­ний при заключении финансовых сделок и проведении финан­совых операций.

Пособие содержит три главы, соответствующие трем основ­ным фундаментальным темам: простые проценты, сложные проценты и аннуитеты. Как правило, каждая следующая глава опирается на материал, изложенный в предыдущей главе. Тем не менее каждая глава носит самостоятельный характер и ее можно изучать, обладая, естественно, некоторыми необходимы­ми минимальными знаниями, отдельно от других глав.

Каждая глава содержит ряд параграфов, состоящих из четы­рех разделов: а) основные положения; б) вопросы для обсужде­ния; в) типовые примеры и методы их решения; г) задачи для самостоятельного решения. В разделе "Основные положения" кратко излагаются ключевые понятия и определения, характе­ризующие данную тему. Второй раздел содержит вопросы, ко­торые по существу позволяют повторить и осмыслить теорети­ческий материал параграфа, используемый при решении при­меров и задач. Иногда и сами вопросы представляют собой не­большие задачи, которые можно решить устно. В третьем раз­деле приведены примеры с решениями, на основе которых про­демонстрированы основные приемы и методы, используемые в финансовых вычислениях. Часто при решении конкретного примера даются ответы на большее количество вопросов, чем требуется по условию примера. Более того, в развитии решения периодически излагаются отдельные вопросы теоретического характера. Нередко приводятся два способа решения одного и того же примера. Все это делается с целью демонстрации как разнообразия методов решений, так и тесной (и естественной) их связи между собой. Четвертый раздел содержит задачи для самостоятельного решения. Эти задачи развивают навыки ин­дивидуальной работы. Ответы и указания к задачам приводятся в конце книги.

При осуществлении разнообразных финансовых расчетов приходится использовать большое количество формул. Нумеро­ванный список основных формул приведен в приложении. При изложении решения того или иного примера указывается номер

формулы, которая применяется в данном расчете. Если же ис­пользуемой при решении примера формулы нет в списке, то она приводится непосредственно в тексте.

Приложение также содержит таблицы порядковых номеров дней в году (обычном и високосном) и финансовые таблицы, с помощью которых можно решить многие задачи пособия.

Для параграфов в пособии применяется двойная нумерация, где первый индекс означает номер главы, второй - номер пара­графа в этой главе. Для примеров и задач используется тройная нумерация: первый индекс означает номер главы, второй - но­мер параграфа в данной главе, третий - номер примера или за­дачи в данном параграфе.

В формулировках условий примеров и задач, как правило, подчеркивается, какая ставка (процентная, учетная или непре­рывная) имеется в виду и за какой период данная ставка уста­новлена. Если же встречаются, например, выражения типа: "ставка 30%", то речь идет о процентной ставке 30% годовых. Аналогичным образом, говоря о непрерывной ставке, например 30%, без уточнения периода, имеем в виду силу роста 30% за год. Вообще, если для любой ставки не конкретизирован пери­од, за который ставка установлена, то, как это принято, речь идет о годовой ставке. Если по условию задачи на некоторую сумму денег начисляются сложные проценты по процентной ставке 30% годовых и количество начислений в году не указано, то сложные проценты начисляются один раз в конце года.

Ответы на вопросы некоторых задач (например, предпола­гающих составление плана погашения кредита) лучше было бы представить в виде таблицы. Однако в целях сокращения объема в пособии ответы к такого рода задачам не даны в виде таблиц, а указаны значения величин только за какой-либо один период. Тем не менее по этим значениям вполне можно судить о пра­вильности решения задачи.

В это пособие не включены задачи, при решении которых приходится иметь дело со степенными уравнениями, имеющими высокую степень, или с трансцендентными уравнениями (на­пример, при определении процентной ставки, использующейся для оценки аннуитета, или при учете инфляции и т.п.). Такого типа уравнения можно решать интерполяционными методами и получать приближенные значения корней с любой степенью точности. В связи с развитием вычислительной техники эти уравнения легко решаются с помощью пакета многочисленных электронных таблиц, в частности Excel, Lotus 1-2-3. Однако па­кетом надо уметь пользоваться, что не предполагается при чте­нии этой книги. Впрочем, логика составления указанных урав­нений, безусловно, должна быть понятна.

Несколько слов о том, насколько соответствуют действи­тельности числовые значения, используемые в примерах и зада­чах. Безусловно, хотелось бы в излагаемом материале дать близ­кие к практике, действующие или хотя бы мало изменяющиеся в течение длительного времени правдоподобные значения ставок и денежных величин. Однако это невозможно сделать в настоя­щее время в связи с инфляционными процессами, захлестнув­шими в последние годы экономику нашей страны. В ряде задач использованы данные второй половины 1998 - начала 1999 г. К счастью, все приведенные вычисления не зависят от выбора де­нежной единицы, от размера ставки. Поэтому читатель может воспринимать, например, появляющиеся в тексте рубли как не­кие условные денежные единицы. По указанным причинам даны в известной степени условные (если не оговорена конкретная дата) курсы валют по отношению к рублю.

Это пособие задумывалось как логически необходимое до­полнение для книги: В.В. Ковалева и В.А. Уланова "Курс фи­нансовых вычислений" (М.: Финансы и статистика, 1999). В ча­стности, поэтому в данном пособии сохранены и обозначения, используемые в "Курсе...". Но конечно, при чтении пособия для ознакомления с теоретическим материалом можно использовать и другую литературу по аналогичной тематике. Список такого рода литературы, изданной на русском языке, приведен в конце пособия. Заметим, однако, что данное пособие в известном смысле является автономным. Многие задачи можно успешно решить после внимательного прочтения методических материа­лов к параграфам, ответов на вопросы и тщательного изучения предложенных решений типовых примеров.

Хорошо известно, что только после самостоятельного реше­ния достаточно большого количества разнообразных задач мож­но сделать заключение о том, как понят соответствующий материал. Тем более это утверждение справедливо, когда необходи­мо освоить основные алгоритмы, используемые при проведении финансовых вычислений. Цель пособия - представить методы решения задач, связанных с финансовыми вычислениями, и дать возможность читателям попрактиковаться самим в финансовых расчетах, поскольку доведение решения до итогового результата играет в финансовой практике основную роль. Точность вычис­лений при решении примеров и задач обычно соответствует ко­личеству знаков в финансовых таблицах, приведенных в прило­жении. Очевидно, что при решении задач для облегчения вы­числений необходимо активно использовать обычный калькуля­тор, а в более сложных случаях — финансовый калькулятор или персональный компьютер. Ответы, получаемые при решении одной и той же задачи с помощью финансовых таблиц и с по­мощью компьютера, могут несколько отличаться друг от друга. Это следует иметь в виду, сверяясь с ответами, представленны­ми в пособии.

При написании данного пособия использовались оригиналь­ные, по мнению автора, задачи, встречающиеся в отечественной и зарубежной литературе. Многие примеры и задачи составлены самим автором пособия. Безусловно, некоторые примеры и за­дачи носят иллюстративный характер, в частности это относится к ситуациям, связанным с налогообложением. Это достаточно сложная и обширная тема, изучению которой должна быть по­священа отдельная работа. В данном пособии при приведении соответствующих примеров и задач ставилась лишь цель пока­зать влияние взимания налогов на доходность финансовых опе­раций и методы возможной оценки этого влияния.

В приложении представлен один из вариантов рабочей про­граммы курса "Финансовые вычисления". В настоящее время в некоторых вузах часть разделов, представленных в программе, излагаются в курсе, называемом "Финансовая математика". Од­нако математика здесь по большому счету не выходит за рамки несложных алгебраических преобразований и знания прогрес­сии. В некоторых случаях, правда, необходимо иметь представ­ление об операции предельного перехода, еще реже - о произ­водной и интеграле, но все необходимые сведения вполне укла­дываются в школьную программу. Представляется, что название дисциплины "Финансовые вычисления" в большей степени со­ответствует как ее логике и содержательной части, так и доре­волюционной русской традиции. Напомним, в частности, что в России сложные проценты и аннуитеты были, как правило, представлены в таких курсах, как "Высшие финансовые вычис­ления", "Долгосрочные финансовые операции", "Политическая арифметика". Важно подчеркнуть, что упор в дисциплине дол­жен делаться не на математику, а на собственно финансовые вычисления; главное не "чисто" математические вычисления, а финансовая природа операций. Математика в данном случае яв­ляется удобным и эффективным аппаратом для количественной оценки финансовых операций.

Материалы пособия могут использоваться в курсах "Финан­совая математика", "Финансовый менеджмент", "Финансовый ана­лиз", а также в практических расчетах работниками финансово-кредитных учреждений.

Г л а в а 1

ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

Определение ставок и вычисление процентов

Основные положения

• Денежные ресурсы, участвующие в финансовой операции, имеют временную ценность: одна и та же сумма денег неравно­ценна в разные периоды. Учет временного фактора в финансо­вых операциях осуществляется путем начисления процентов или дисконтирования.

• Для сопоставления в пространственно-временном аспекте результатов финансовой операции используют показатель, на­зываемый ставкой и определяемый отношением процентных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени (обычно за год), к некоторому базовому капиталу. Это отношение выража­ется в десятичных дробях или в процентах.

• Процентная ставка определяется отношением процентных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени (обычно за год), к величине исходного капитала.

• Учетная ставка определяется отношением процентных де­нег, уплаченных (полученных) за единицу времени (обычно за год), к ожидаемой к получению (возвращаемой) сумме денеж­ных средств.

• Эффективность любой финансовой операции может быть охарактеризована ставкой.

• Удобной и наглядной характеристикой (особенно при оценке вклада) является индекс роста суммы за данный период, показывающий, во сколько раз выросла величина капитала по отношению к величине капитала в конце предыдущего периода.

• Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка, в фи­нансовых вычислениях называется процессом наращения, иско­мая величина называется наращенной суммой, а ставка - став­кой наращения. • Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к полу­чению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина называется приведенной суммой, а ставка - ставкой дисконтирования.

• В качестве ставки наращения или дисконтирования может выступать как процентная, так и учетная ставка.

• Число, равное сумме начального числа и начисленных на него процентов, называется наращенным числом. Проценты по отношению к наращенному числу называются процентами "на 100", а проценты по отношению к начальному числу называют­ся процентами "со 100". Проценты "на 100" находят в задачах следующего типа: даны ставка процента и сумма двух слагае­мых, одно из которых представляет собой проценты "со 100" другого; требуется найти одно из слагаемых.

• Число, равное разности между начальным числом и начис­ленными на него процентами, называется уменьшенным числом. Проценты по отношению к уменьшенному числу называются процентами "во 100". Проценты "во 100" находят в задачах следующего типа: даны ставка процента и разность двух сла­гаемых, одно из которых (вычитаемое) представляет собой про­центы "со 100" другого; требуется найти одно из слагаемых.

Вопросы для обсуждения

1. В чем заключается временная ценность денег?

2. С помощью каких показателей (абсолютных и относитель­ных) можно характеризовать результативность финансовой операции?

3. Как определяется процентная ставка и в каких границах, со­гласно определению, она может меняться?

4. Как определяется учетная ставка и в каких границах, соглас­но определению, она может меняться?

5. Каким образом связаны между собой процентная ставка, учетная ставка и дисконт-фактор? В каких единицах могут выражаться эти показатели?

6. Какими ставками пользуются, как правило, в прогнозных расчетах?

7. Прокомментируйте с финансовой точки зрения ситуацию, когда: а) процентная или учетная ставка равна нулю; б) учетная ставка равна единице.

8. Что показывает индекс роста вклада за некоторый промежу­ток времени? Приведите формулы, связывающие индекс роста с дисконт-фактором и ставками.

9. Как определяется индекс роста за несколько промежутков времени, расположенных последовательно друг за другом?

10. Что называется процессом наращения? Какая ставка может являться ставкой наращения?

11. Что называется процессом дисконтирования? Какая ставка может являться ставкой дисконтирования?

12. О каком направлении во времени денежного потока идет речь при наращении? А при дисконтировании?

13. Как, используя процентную или учетную ставку, показать, что время в определенном смысле генерирует деньги?

14. Чем отличается экономическое понятие "процент" от мате­матического понятия "процент"?

15. Связана ли доходность финансовой операции с риском при проведении этой операции?

16. В чем заключается экономический смысл дисконтирования?

17. Каким образом можно охарактеризовать будущую стои­мость и приведенную стоимость?

18. В виде суммы каких компонент может быть представлена процентная ставка? Поясните такое представление и дайте краткую характеристику каждой компоненте.

19. Приведите определения процентов "со 100" и формулу их вычислений.

20. Какую часть числа составляют: а) 5%; б) 25%; в) 50%; г)75%?

21. Во сколько раз увеличится число, если его увеличить: а) на 100%; б) на 300%; в) на 350%; г) на 900%?

22. Сколько будет 5% от 5%?

23. Приведите определения процентов "на 100" и формулу их вычислений.

24. В задачах какого типа находят проценты "на 100”?

25. Приведите определения процентов "во 100" и формулу их вычислений.

26. В задачах какого типа находят проценты "во 100”?

27. Как проценты "со 100", "на 100" и "во 100" от одного числа соотносятся друг с другом?

28. Во сколько раз 10% "со 100" больше, чем 5% "со /00"? А во сколько раз 10% "на 100" больше, чем 5% "на 100"?

29. Как проверить, правильно ли найдены проценты "на 100" к "во 100”?

30. Как можно интерпретировать величину дохода от предос­тавления в долг некоторой денежной суммы в терминах процентов "со 100", "на 100", "во 100"?