Виды процентных ставок и способы начисления процентов
1. Для начисления процентов применяют постоянную базу начисления и последовательно изменяющуюся (за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования). В первом случае используют простые,во втором –сложныепроцентные ставки, при применении которых проценты начисляются на проценты.
2. Важным является выбор принципа расчетов процентных денег. Существует два таких принципа: от настоящего к будущему и, наоборот, от будущего к настоящему. Соответственно применяют ставки наращения и дисконтные, или учетные ставки. Если проценты начисляются на первоначальную сумму (долга) или на сумму с увеличенными за предшествующие периоды процентами, то в этом случае говорят о ставке процентов (или о ставке наращения). Если же проценты начисляются и вычитаются из суммы ссуды (долга, кредита и т.п.) в начале срока операции, то в этом случае речь идет об учетных ставках.В финансовой литературе проценты, полученные по ставке наращения, принято называть декурсивными,по учетной ставке –антисипативными.
3. Процентные ставки могут быть: фиксированными (в контракте указываются их размеры), плавающими (floating).В последнем случае указывается не сама ставка, а изменяющаяся во времени база(базовая ставка) и размер надбавки к ней –маржи.
Ставка рефинансирования Центрального Банка России – ставка, по которой ЦБ выдает кредит коммерческим банкам.
4. В практических расчетах применяют так называемые дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные интервалы времени (год, полугодие и т.д.). Иначе говоря, время рассматривается как дискретная переменная.
Непрерывныепроценты –проценты, начисленные непрерывно, т.е., за бесконечно малые промежутки времени. Проценты начисляются на практике или дискретно (например, в конце месяца за месяц, в конце года за год), или непрерывно (например, ежедневно).
Простые проценты
Под наращенной суммойссуды (депозита, инвестированных средств, платежного обязательства и т.п.) понимается ее первоначальная сумма с начисленными на нее процентами к концу срока наращения.Величина наращенной суммы представляет собой произведение первоначальной суммы ссуды на множитель наращения, который показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.В зависимости от применяемой процентной ставки и условий наращения формула расчета множителя наращения записывается по-разному.
Например, для наращения по простым процентам наращенная сумма (S) будет рассчитываться так:
,
где Р – первоначальная сумма ссуды, ден. ед.; п –срок ссуды (а днях, месяцах, годах и т. п.); i– ставка наращения (простая постоянная), ед.
Выражение (1 + ni) называется множителем наращения.
В финансово-экономических расчетах срок ссуды обычно измеряется годами, поэтому значение ставки наращения iесть значение годовой ставки процентов. Проценты, начисленные за весь срок ссуды, в этом случае составят:
,
где I– процентная сумма (величина дохода), ден. ед.
Представленная выше формула называется формулой простых процентов, а величину I можно определить как процентный доход, или процентные деньги (проценты).
В практической работе банки, коммерческие организации, финансовые институты и т.п. используют различные способы изменения числа дней ссуды (t) и продолжительности года (временной базыдля расчета процентов) в днях (К).В зависимости от того, как определяются величины t и К– точно, или приблизительно применяются следующие варианты («практики», «системы») начисления простых процентов.
1. Точные проценты с фактическим числом дней ссуды(так называемая «английская» практика).Этот вариант дает самые точные результаты и применяется многими центральными и крупными коммерческими банками мира. В этом случае K=365 дням, а в месяцах 28, 29, 30 и 31 день.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды(так называемая «французская»практика или банковский метод).Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов.Так, если число дней ссуды превышает 360, то данный способ измерения времени приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, при t = 363 дням, n=363:З60=1,0083, а множитель наращения за этот период будет равен: 1+1,0083*i.
3.Обыкновенные проценты с приближенным числом днейссуды («германская»практика). Подсчет числа дней в этом варианте базируется на годе в 360 дней и месяцах по 30 дней. Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, то проценты с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным, a следовательно, и наращенная сумма по процентам с точным числом дней обычно выше.
Наращение суммы в случае изменения простой процентной ставки в течение срока ссуды.На практике часто встречается ситуация, когда кредитные договоры (соглашения) предусматривают изменение процентной ставки в течение срока ссуды (например, в связи с изменением ставки рефинансирования; желанием банка учесть темп инфляции и т. д.). При этом годовая ставка процентов, указанная в кредитном договоре, носит название номинальной.В этом случае наращенная сумма будет исчисляться следующим образом:
,
гдеit, – ставка простых процентов в периоде t; t=l,2,...,m; ед.;
nt, – продолжительность периода; лет;
т – число периодов, ед.
Наращениесуммы при реинвестировании.В целях повышения заинтересованности вкладчиков и быстрого привлечения дополнительных денежных средств, например, в кратко- и среднесрочные депозиты, банки и финансовые компании могут предлагать производить своим клиентам неоднократное наращение вложенной суммы в пределах общего срока займа, т.е. реинвестировать ее. Иными словами, реинвестирование предполагает присоединение начисленных процентов к исходной (первоначальной) сумме и начисление процентов уже на возросшую сумму, и так несколько раз за период.При таком реинвестировании наращенная сумма рассчитывается по формуле:
,
гдеn1,n2,...nt– продолжительность периодов наращения, лет;
причем (общий срок сделки);
i1, i2, … it, – ставки реинвестирования, ед.
В частном случае, когда и , т.е. когда периоды начисления и ставки процентов равны формула принимает
,
где m– число операций реинвестирования, ед.
Пример 1.1.На сумму вклада в размере 50 тыс. р. в течение месяца начисляются простые проценты по ставке 24% годовых. Какова будет наращенная сумма, если эта операция будет повторена в течение 6 мес. текущего года (т.е. при реинвестировании этой суммы шесть раз) при расчете точных процентов с фактическим числом дней ссуды с 1 -го марта?
Решение.
По условиям примера Р = 50 тыс. р.; i = 0,24. Точное число дней не високосного года, начиная с марта и заканчивая августом составит: 31+30+31+30+31->-31=184 дня.
По формуле получаем:
Пример 1.2.Потенциальный клиент ряда надежных и расположенных в пределах его пешеходной доступности банков города имеет временно свободные денежные средства в размере 10 тыс. р. и хотел бы поместить их на депозитный счет сроком на 1 год. Первый банк (банк А) предлагает ему сделать вклад на условиях ежеквартального начисления по ставке 20% годовых и капитализации (реинвестирования) процентов. Второй банк (банк Б) на следующих условиях: начисление на вклад по ставке 24% годовых дважды в год с капитализацией процентов. Банк В предлагает ежемесячное начисление процентов по ставке 20% годовых и капитализацией начисленных процентов. И, наконец, банк Г предлагает сделать вклад на условиях начисления 25% годовых без капитализации процентов и начисления их в конце срока вклада.
В каком из банков вкладчик может получить наибольшую сумму по окончании срока договора?
Решение.
По условиям примера Р =10тыс. р.; i1 = 20% ; i2 = 24% ; i3 = 20%; i4 = 25%. Учитывая, что начисление процентов происходит ежеквартально, по полугодиям и ежемесячно с капитализацией, и только в банке Г – в конце года (без реинвестирования), по формуле и получим (тыс. р.):
;
;
;
.
Наращенная сумма при вкладах в конце и в начале каждого года.
Довольно часто по условиям договоров вклада депозитных договоров банки предусматривают возможность довложения определенной (часто – не выше первоначальной) денежной суммы.
В случае если вклады делаются в конце каждого года, то наращенная сумма составит:
,
где m– число вкладов, ед.;D– величина вклада, ден. ед.
Если вклады по своей величине равны, т.е. D1=D2=D3=Dm, Тоформулу можно записать так: ,
или, учитывая, что ,
можно окончательно написать: .
Очевидно, что наращение по ставке простых процентов в случае, когда довложения делаются в начале года, существенно выгоднее по сравнению в довложениями в конце года.Это происходит потому, что в первом случае увеличивается на один год наращения.
Расчет суммы необходимого депозита при ежегодных выплатах. Довольно часто (особенно при работе с клиентами – пенсионерами, со вкладами на несовершеннолетних и т.п.) работники банка, работающие со вкладами населения, сталкиваются с задачей определения необходимой первоначальной суммы вклада (депозита) клиента, который смог бы обеспечить ему определенные ежегодные выплаты в течении n лет по заранее оговоренной ставке процентов. В общем случае эта задача сводится к решению задачи определения «вечной» ренты, которая подробно будет рассмотрена ниже. Сейчас же рассмотрим ее решение исходя из тех знаний, которые мы уже имеем.
Используя формулу , можно составить следующее уравнение:
,
гдеР1,Р2,…,Рn– определенные ежегодные выплаты, ден, ед.; п – время выплат, лет.
При условии равенства ежегодных выплат, т.е. при P1=P2 = Р3 = Рnформулу можно преобразовать в выражение следующего вида:
.
Для приближенных, оценочных расчетов величины первоначального вклада можно использовать примерное равенство выражений:
.
Пример 1.3.Рассчитать необходимую первоначальную величину депозита клиента для того, чтобы он имел возможность ежегодно в течении 5 лет получать со своего счета в банке сумму в размере 6 тыс. руб. при начислении простой процентной ставки, равной 30% годовых.
Решение
По условиям примера Р=6 тыс. руб.; in=30%; n=5 лет. Используя формулу , получим (тыс. р.):
.
Расчет по формуле дает следующий результат:
.
Расхождение по сравнению с результатом, полученным по первой формуле, равно – 0,046 тыс. руб., или менее 0,3%. Как видим, расчет по второй формуле дает вполне приемлемый результат.
Расчет срока ссуды и уровня процентной ставки.При подготовке обоснования для получения ссуды и расчета ее эффективности возникает задача определения срока ссуды и уровня процентной ставки при имеющихся прочих условиях. В этом случае срок ссуды может быть определен как в годах, так и в днях:
в годах ;
в днях .
Соответственно и размер процентной ставки может быть определен при исчислений срока ссуды в годах как: ,
а при исчислении срока ссуды в днях так: .
Наращение и равномерная выплата процентов в потребительском кредите. В потребительском кредите, т.е. кредите, как правило, на личные нужды для приобретения товаров (или услуг) проценты начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу чаще всего уже в момент открытия кредита. Такой подход называется разовым начислением процентов, апогашение долга с процентами в этом случае производится обычно равными суммами на протяжении всего срока кредита. Наращенная сумма долга при таком подходе рассчитывается по формуле , а величина разового погасительного платежа (R) так:
,
где т – число погасительных платежей по кредиту в году, ед.
Заметим, что в связи с тем, что проценты начисляются на первоначальную сумму долга, а фактическая его величина постоянно уменьшается со временем, действительная процентная ставка (по фактически использованному кредиту) оказывается заметно выше, чем ставка по первоначальным договорным условиям.
Вопросы для самопроверки:
1. Что является предметов финансовой математики?
2. Какую роль играет время в финансовых расчетах?
3. Перечислите виды процентных ставок.
4. Что такое наращенная сумма?
5. Что такое дисконтирование?
6. Как определяется величина процентной ставки?
7. Как рассчитывается срок ссуды.