Определение ставок и вычисление процентов

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА

Магнитогорск
2005

Сборник задач по курсу «Математическая экономика». — Магнитогорск: МаГУ, 2005. – 184 с.

В сборнике дан обзор ключевых категорий и положений, используемых в курсе «Математическая экономика». Представлены примеры решения типовых задач, приведены вопросы для самопроверки по изучаемому материалу. Материалы пособия могут быть использованы в курсах «Финансовая математика», «Математические методы финансового анализа», «Финансовый менеджмент», «Финансовый анализ» и др.

Работа ориентирована на преподавателей, аспирантов и студентов очного и заочного отделения, научным и практическим работникам, специализирующимся в области управления финансами и инвестиционными проектами, применения математических методов и моделей в исследования экономических систем и явлений.

Составители. Г.Н. Чусавитина,

В.Б. Лапшина.

ã Чусавитина Г.Н., Лапшина В.Б. 2005

ã Магнитогорский государственный
университет, 2005

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 4

Глава 1 ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ 6

1.1. Определение ставок и вычисление процентов 6

1.2. Простая процентная ставка 9

1.3. Простая учетная ставка 20

1.4. Погашение кредита и амортизационные отчисления 31

1.5. Вычисление средних значений 39

1.6. Валютные расчеты 47

1.7. Налог на прибыль 51

1.8. Инфляция 54

1.9. Замена и консолидация платежей 63

Глава 2 СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ 71

2.1. Сложная процентная ставка 71

2.2. Сложная учетная ставка 89

2.3. Непрерывная ставка 99

2.4. Эквивалентность ставок 105

2.5. Инфляция и начисление сложных и непрерывных процентов 110

2.6. Замена платежей и сроков их выплат 122

Глава 3 АННУИТЕТЫ 129

3.1. Постоянный аннуитет 129

3.2. Непрерывный и переменный аннуитеты 145

3.3. Оценка аннуитета с периодом больше года 153

ПРИЛОЖЕНИЯ 156

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 180

ВВЕДЕНИЕ

«Математическая экономика» — это название дисциплины, придуманное математиками. Экономистам больше нравится другое название –«Экономико-математические модели и методы». В учебных программах и стандартах экономических факультетов часто встречается именно такое название. На наш взгляд, эти два названия одинаково точно передают внутреннее содержание предмета, где гармонично сочетаются экономические и математические аспекты. К сожалению, на практике часто программа курса ЭММиМ целиком составляется из отдельных разделов "Исследования операций и математического программирования", которые, во-первых, уже были пройдены до этого курса, во-вторых, содержат математические модели принятия решений и оптимизации, а не экономико-математические модели как таковые.

Математическая экономика — это наука, которая использует математический аппарат в качестве метода исследования экономических систем и явлений.

Таким образом, объектом изучения (или предметной областью) математической экономики является экономика — как часть бытия или часть обширной области человеческой деятельности.

Как и другие науки, изучающие экономику в целом или ее составные части, математическая экономика пользуется определенной методологией и имеет свою специфику. Специфика математической экономики, ее методологическая особенность заключается в том, что она изучает не сами экономические объекты и явления как таковые, а их математические модели. Ее цель— получение объективной экономической информации и выработка имеющих важное практическое значение рекомендаций. Формально математическую экономику можно отнести как к экономической, так и к математической наукам. В первом случае ее следует понимать как тот раздел экономики, который изучает количественные и качественные категории, а также поведенческие аспекты экономических субъектов. Считая же математическую экономику одним из направлений математики, можно отнести ее к тем разделам прикладной математики, которые занимаются оптимизационными задачами и задачами принятия решения

По своей природе экономика — самая близкая к математике социальная наука. Уже в определении самого понятия экономики, ее главных задач можно увидеть математические понятия и терминологию.

Действительно, экономика — это общественная наука об использовании ограниченных ресурсов с целью максимального удовлетворения неограниченных материальных потребностей населения. Центральные проблемы экономической науки — рациональное ведение хозяйства, оптимальное распределение ограниченных ресурсов, изучение экономических механизмов управления, разработка методов экономических расчетов — по существу являются задачами, решаемыми в рамках математических наук. Количественные и качественные методы математики являются наилучшим вспомогательным аппаратом для получения ответов на основные вопросы экономики:

· что должно производиться (т. е. какие товары и услуги и в каком количестве надо производить)?

· как будут производиться товары (т. е. кем и с помощью каких ресурсов и какой технологии)?

· для кого предназначены эти товары (т.е. кем и как будут потребляться эти товары)?

Наконец, задача экономической теории, связанная с приведением в систему, истолкованием и обобщением поведения участников экономики в процессе производства, обмена и потребления, восходит к математическим проблемам оптимизации и принятия решения.

С учетом сказанного выше можно говорить о следующих основных задачах, стоящих перед математической экономикой:

· разработка математических моделей экономических объектов, систем и явлений (общих и частных задач экономики при различных условиях, предпосылках и на различных уровнях);

· изучение поведения участников экономики (условий существования оптимальных решений и их признаков, а также методов их вычисления в моделях потребления, фирмы, совершенной и несовершенной конкуренции и др.);

· изучение описательных моделей экономики (модели планирования, "затраты - выпуск", расширяющейся экономики, экономики благосостояния и роста и др.);

· анализ экономических величин и статистических данных (эластичности, средних и предельных величин, регрессионный и корреляционный анализ и прогнозирование экономических факторов и показателей).

В сборнике дан обзор ключевых категорий и положений, используемых в курсе «Математическая экономика». Представлены примеры решения типовых задач, приведены вопросы для самопроверки по изучаемому материалу. Материалы пособия могут быть использованы в курсах «Финансовая математика», «Математические методы финансового анализа», «Финансовый менеджмент», «Финансовый анализ» и др.

Работа ориентирована на преподавателей, аспирантов и студентов очного и заочного отделения, научным и практическим работникам , специализирующимся в области управления финансами и инвестиционными проектами, применения математических методов и моделей в исследования экономических систем и явлений.

Глава 1 ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

Определение ставок и вычисление процентов

Основные положения

· Денежные ресурсы, участвующие в финансовой операции, имеют временную ценность: одна и та же сумма денег неравноценна в разные периоды. Учет временного фактора в финансовых операциях осуществляется путем начисления процентов или дисконтирования.

· Для сопоставления в пространственно-временном аспекте результатов финансовой операции используют показатель, называемый ставкой и определяемый отношением процентных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени (обычно за год), к некоторому базовому капиталу. Это отношение выражается в десятичных дробях или в процентах.

· Процентная ставка определяется отношением процентных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени (обычно за год), к величине исходного капитала.

· Учетная ставка определяется отношением процентных денег, уплаченных (полученных) за единицу времени (обычно за год), к ожидаемой к получению (возвращаемой) сумме денежных средств.

· Эффективность любой финансовой операции может быть охарактеризована ставкой.

· Удобной и наглядной характеристикой (особенно при оценке вклада) является индекс роста суммы за данный период, показывающий, во сколько раз выросла величина капитала по отношению к величине капитала в конце предыдущего периода.

· Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения, искомая величина называется наращенной суммой, а ставка - ставкой наращения.

· Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина называется приведенной суммой, а ставка - ставкой дисконтирования.

· В качестве ставки наращения или дисконтирования может выступать как процентная, так и учетная ставка.

· Число, равное сумме начального числа и начисленных на него процентов, называется наращенным числом. Проценты по отношению к наращенному числу называются процентами "на 100", а проценты по отношению к начальному числу называются процентами "со 100". Проценты "на 100" находят в задачах следующего типа: даны ставка процента и сумма двух слагаемых, одно из которых представляет собой проценты "со 100" другого; требуется найти одно из слагаемых.

· Число, равное разности между начальным числом и начисленными на него процентами, называется уменьшенным числом. Проценты по отношению к уменьшенному числу называются процентами "во 100". Проценты "во 100" находят в задачах следующего типа: даны ставка процента и разность двух слагаемых, одно из которых (вычитаемое) представляет собой проценты "со 100" другого; требуется найти одно из слагаемых.